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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列部分专题复习一、新高考数列位置数列是连接初等数学与高等数学的桥梁,在高考中的位置举足轻重,近年来的新课标高考都把数列作为核心内容来加以考查,并且创意不断, 常考常新 明白高考中数列问题的命题规律,把握高考中关于数列问题的热点题型的解法,. 针对性地开展数列学问的复习和训练,对于在高考中取得抱负的成果具有非常重要的意义考纲对数列的考查出现出综合性强、立意新、难度大的特点,留意在学问交汇点设 计题目,经常与函数、方程、不等式、三角变换、导数、解析几何、推理与证明以及数学归 纳法等有机地结合在一起 . 二、数列学问网络体数列概念
2、表示解析法： an f n 数列是特殊的函数图象法通项公式列表法等差数列与等比数列的类比递推公式通项公式ana1n1dan a1q n1等差数列求和公式anam ap aranam apar等比数列性质前 n 项和前 n 项积 an 0 an 0,q 0 判定Snna1an 2Tna1annSnna1,q 1 a11 q n,q 1 1qan1anf n 逐差累加法an + 1 anf n 逐商累积法常见递推类型及方法 an 1 panq构造等比数列 anq p 1 an + 1panqn化为an 1 q n =p q an n11 转为公式法：应用等差、等比数列的前 n 项和公式倒序相加法
3、常见求和方法 分组求和法 裂项求和法 错位相加法四、数列基本学问一数列的概念 ：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集 1,2,3, ,名师归纳总结 n）的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式；如第 1 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）已知ann2nn学习必备欢迎下载an的最大项为 _ ）；N*,就在数列 156（答：1 25二等差数列的有关概念：1等差数列的判定方法： 定义法 a n 1 a n d d为常数 ）或 a n 1 a n a n a n 1 n 2；2等差数列的通项：a n a 1 n 1 d
4、或 a n a m n m d ；3等差数列的前 n 和：S n n a 1 a n ,S n na 1 n n 1d ；2 22如（1）已知数列 a n 的前 n 项和 S n 12 n n ,求数列 | a n | 的前 n 项和 T n2 *12 n n n 6, n N （答：T n 2 *）. n 12 n 72 n 6, n N 4等差中项： 如 a A b 成等差数列,就 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A a b；2提示 ：（1）等差数列的通项公式及 前 n 和公式中,涉及到 5 个元素：a 、 d 、 n 、a 及 S ,其中 1a 、 d 称作为基本元素；只要已知这
5、5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2；（2）为削减运算量,要留意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为 ,a2 , d ad a ad a2 d （ 公 差 为 d ）； 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 ,a3 , d ad ad a3d , （公差为 2 d ）三等差数列的性质 ：名师归纳总结 1当公差d0时,等差数列的通项公式a na 1n1 ddna 1d 是关于 n 的一第 2 页,共 19 页次函数,且斜率为公差 d ；前 n 和S nna 1n n1ddn2a 1dn 是关于222n 的二次函数且常数项为0. 2如公差d0,就为递增等差数列,
6、如公差d0,就为递减等差数列,如公差d0,就为常数列；3当 mnpq 时,就有amanapaq,特殊地,当mn2p时,就有ama n2a .4如 an、nb是等差数列,就 ka n、ka npbn k 、 p 是非零常数 、ap nqp qN*、S n,S 2 nS n,S 3nS 2n, 也成等差数列, 而 aa n成等比数列；如a n是等比数列,且a n0,就 lga n是等差数列 . 5在等差数列 a n中,当项数为偶数2n 时, S 偶S 奇nd；项数为奇数2n1时 , S 奇S 偶中,S 2n12n1a中 （ 这 里 a中 即an）；S 奇:S偶 k1:k ；6如等差数列 a n、
7、b n的前 n 和分别为A 、B ,且A nf n ,就B nan2n1a nA 2n1f2n1. b n2n1 b nB2n1如设 a 与b 是两个等差数列,它们的前n 项和分别为S 和T ,如- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Sn3n1,那么an学习必备欢迎下载_Tn4n3b n（答：6 n 2）8 n 77“ 首正” 的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是全部非负项之和； “ 首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是全部非正项之和；法一：由不等式组 a n 0或 a n 0 确定出前多少项为非负（或非正） ；法二：因等差数a n 1 0
8、a n 1 0列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要留意数列的特殊性 n N ；上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想）*,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列 a n 中,a 1 25,S 9 S ,问此数列前多少项和最大？并求此最大值；（答：前 13 项和最大,最大值为 169）；（2）如 a n 是等差数列,首项 a 1 0, a 2003 a 2004 0,a 2003 a 2004 0,就使前 n 项和 S n 0 成立的最大正整数 n 是（答： 4006）8假如两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,
9、且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 . 留意 ：公共项仅是公共的项,其项数不肯定相同,即争论 a n b . 四等比数列的有关概念：1等比数列的判定方法： 定义法 a n 1 q q 为常数 ）,其中 q 0, a n 0 或 a n 1 a na n a n a n 1 n 2；2等比数列的通项：a n a q n 1 或 a n a q n m；n3等比数列的前 n 和：当 q 1 时,S n na ；当 q 1 时,S n a 11 q a 1 a q；1 q 1 q特殊提示： 等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,第一要判定公比 q 是否为
10、1,再由 q 的情形挑选求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q 1 和 q 1 两种情形争论求解；4等比中项： 如 a A b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项； 提示 ：不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ab ；如已知两个正数 a b a b 的等差中项为 A,等比中项为 B,就 A与 B的大小关系为_（答： AB）提示 ：（1）等比数列的通项公式及 前 n 和公式中,涉及到 5 个元素：a 、q 、n 、a 及 S ,其中 a 、 q 称作为基本元素；只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,
11、即知 3 求 2；（2）为削减运算量,要留意设元的技巧,如奇名师归纳总结 数个数成等比, 可设为 ,a 2, qa a aq aq q2（公比为 q ）；但偶数个数成等比时,第 3 页,共 19 页不能设为a,a,aq,aq3, ,因公比不肯定为正数,只有公比为正时才可如此q3q设,且公比为2 q ；如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载12,求此四个数；且第一个数与第四个数的和是16,其次个数与第三个数的和为（答： 15,9,3,1 或 0,4,8,16）5. 等比数列的性质 ：（ 1
12、）当 m n p q时,就有 a m a n a p a ,特殊地,当 m n 2 p 时,就有a m a n a p 2 . 2 如 a n 是等比数列,就 | a n |、 a p nq p q N * 、 ka n 成等比数列；如 a n 、b n 成等比数列,就 a b n 、 a n 成等比数列；如 a n 是等比数列,且公b n比 q 1,就数列 S n , S 2 n S n , S 3 n S 2 n, 也是等比数列；当 q 1,且 n 为偶数时,数列 S S 2 n S n , S 3 n S 2 n, 是常数数列 0,它不是等比数列 . 3 如 a 1 0, q 1,就 a
13、 n 为递增数列；如 a 1 0, q 1 , 就 a n 为递减数列；如a 1 0, 0 q 1,就 a n 为递减数列；如 a 1 0,0 q 1 , 就 a n 为递增数列；如q 0,就 a n 为摇摆数列；如 q 1,就 a n 为常数列 . 4 当 q 1 时,S n a 1 q n a 1 aq n b,这里 a b 0,但 a 0, b 0,1 q 1 q这是等比数列前 n 项和公式的一个特点, 据此很简洁依据 S ,判定数列 a n 是否为等比数列；5假如数列 a n 既成等差数列又成等比数列,那么数列 a n 是非零常数数列,故常数数列 a n 仅是此数列既成等差数列又成等比
14、数列的必要非充分条件；如设数列 a n 的前 n 项和为 S （n N）, 关于数列 a n 有以下三个命题： 如 a n a n 1 n N , 就 a n 既 是 等 差 数 列 又 是 等 比 数 列 ； 如Sn a n 2 b n a、b R,就 a n 是等差数列；如 S n 1 1 n,就 a n 是等比数列；这些命题中,真命题的序号是（答：）五. 数列的通项的求法 ：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式；名师归纳总结 已知S（即a 1a2anf n ）求a ,用作差法：anS 1 ,S nn S n1 1 ,n2；第 4 页,共 19 页已知a a2anf n 求a ,用作
15、商法：a nf1, nf n 12；,nf n1如数列an中,a 1,1对全部的n2都有a 1a2a3ann2,就a3a5_ （答：61 16）如an1anf n 求a 用累加法：ananan1an1an2a 2a 11a n2；如已知数列 an满意a 11,anan1n1nn2,就a =_ 1（答：a nn121）已知a nn1f n 求a ,用累乘法：ana n1an1a 2a 1n2；aanan2a 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如已知数列an中,a12学习必备欢迎下载n2an,求an,前 n项和S ,如S n（答：a n41）n n已知递
16、推关系求a ,用构造法（构造等差、等比数列） ；特殊地,（1）形n如 a n ka n 1 b 、a n ka n 1 b （k b 为常数） 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 a ；如已知 a 1 1, a n 3 a n 1 2,求 a （答：n 1 n n 1 n 1a n 2 3 1）；已知 a 1 1, a n 3 a n 1 2,求 a （答：a n 5 3 2）；（2）形 如 a n a n 1 的 递 推 数 列 都 可 以 用 倒 数 法 求 通 项 ； 如 已 知ka n 1 ba 1 1, a n a n 1, 求 a n（ 答 ：a n
17、1）； 已 知 数 列 满 足 a =1 ,3 a n 1 1 3 n 2a n 1 a n a a n 1,求 a （答：a n 12）n留意 ：（1）用 a n S n S n 1 求数列的通项公式时,你留意到此等式成立的条件了吗？（n 2,当 n 1 时,a 1 S 1）；（2）一般地当已知条件中含有 a 与 S 的混合关系时,常需运用关系式 a n S n S n 1,先将已知条件转化为只含 a 或 S 的关系式,然后再求解；如 数列 a n 满意 a 1 4, S n S n 1 5a n 1,求 a （答：3a n 3 4 4, nn 1 1, n 2）六. 数列求和的常用方法 ：
18、1公式法 ：等差数列求和公式；等比数列求和公式,特殊声明 ：运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类争论 .；常用公 式：1 2 3 n 1 n n ,1 22 2n 2 1 n n 12 n 1,2 61 32 33 3n 3 n n2 1 2. 2分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时,常将“ 和式” 中“ 同类项” 先合并在一起,再运用公式法求和 . 如求：S n 1 3 5 7 1 2 nn 1（答： 1 n n ）3倒序相加法 ：如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联, 就常可考虑选用倒序相加法, 发挥其共性的作用求和 （这也是等
19、差数列前 n 和公式的推导方法） . 如2 已 知 f x x2, 就 f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 1f 11 x 2 3 4_ （答：7）24错位相减法 ：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n 和公式的推导方法） . 名师归纳总结 如（1）设a n为等比数列,T nna 1n1 a 22a n1a ,已知T 11, 24,第 5 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求数列 an学习必备欢迎下载a 11,q2；的首项和公比；求数列T n的通项公式 .（
20、答：n 1 T n 2 n 2）；（ 2 ） 设 函 数 f x x 1 2,g x 4 x 1, 数 列 a n 满 足 ：a 1 2 , f n a a na n 1 g a n n N , 求 证 ： 数 列 a n 1 是 等 比 数 列 ； 令2h x a 1 1 x a 2 1 x a n 1 x ,求函数 nh x 在点 x 8 处的导数 h 8 ,并比较 h 8 与 2 n 2n 的3 3 3大小；（答：略； h 8 n 1 2 n1,当 n 1 时,h 82 n 2n；当 n 23 3时,h 8 2 n 2n）3 35裂项相消法 ：假如数列的通项可“ 分裂成两项差” 的形式,
21、且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和 1 1 1； 1n n 1 n n 1 n n k . 常用裂项形式有：1 1 k n n 1 k；1k111k11k11,1111111 k；k222kk1k1 kk2k1 kk1n n1n2111n12；nn1.1n11.；12n n1nn.）；2n1nn2n1n2n12nn1. 1n如（ 1）求和：11441713n23 n1（答：n1（2）在数列a n中,a nn3 n1n1,且 S,就 n_ （答： 99）；6通项转换法 ：先对通项进行变形,发觉其内在特点,再运用分组求和法 求和； 如名师归纳总结 求数列 1 4,2 5,3 6, ,n
22、n3, 前 n项和S = 5）；第 6 页,共 19 页求和：1112113121n（答：n n1n323（答：2n）n1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、高考数列题型分析（一）近三年高考数列内容分布统计表年号题号分值重点考察的学问点及学问点交汇情形所占比例2022 理 8 5 此题难度适中,考查了S 与a 的关系、等比数列和极限文 8% 文 20 12 文：此题难度适中,考察了基本量求等差数列的通项、差比数列的求和理 11.3% 理 21 12 理：此题难度适中,考查了赋值求项、等差数列的证明、差比数列的求和2022 文 9 5
23、 文： 9 题难度适中,考查了S 与a 的关系及等比数列的相关学问11.3% 理： 8 题难度适中,考查了基本量运算求等差数列通项、前n 项和公式及理 8 文 20 12 累加法文：此题难度适中,考察了基本量的运算、等差数列的证明理：此题难度适中,考查了组合数性质,等比数列相关学问,差比数列的理 20 求和文：12 题难度很大, 考查了等差数列性质及函数的变形,考察构造新函数 的才能和转化化归才能文 12 文 5 理：12 题难度很大, 考查了等差数列的性质及三角函数公式,同时考察了化归思想和规律推理才能理 12,16 理 5+5 16 题难度很大,考查了直觉猜想、合理估算、反例构造、演绎推理
24、等方法, 不简洁查找到解题的切入点,特殊值列举是很有效的解决办法 .2022 文 20,22 文 12+14 文： 20 题难度适中,考查了S 与a n的关系及递推公式求通项、数列前文 20.7% n 项和的最值理 24% 22 题与理科类似,难度大理 20,22 理 12+14 理： 20 题难度适中,考查了赋值求项、S 与an的关系、数列前 n 项和的最值22 题属于高档题,难度大,考查了导数的应用、不等式、数列等基础学问； 考查了思维才能、 运算才能、 分析问题与解决问题的才能和创新 意识才能； 又深层次的考查了函数、转换与化归、 特殊与一般等数学思 维方法 . 需要考生具备扎实的数学基
25、础和解决数学问题的才能 . （二） 2022-20XX 年高考数列内容分析及 20XX年高考题型猜测,小题为中难度题,大题几乎都为综合题；数列在高考中基本上是一小一大 内容： 1、关于等差、等比数列的基本量问题,一般是求项、求和；2、通过递推或探究来判定数列及其性质的问题,常用的方法有构造、累加、累乘法；3、数列与函数、方程、不等式、导数、解几等的综合问题；假如数列问题显现在最终一两题,必定是综合性很强的问题,大多以数列为考查平台,综合运用函数、 方程、 不等式、 简洁数论等学问, 通过运用递推、 函数与方程、 归纳与猜想、名师归纳总结 等价转化、 分类整合等各种数学思想方法,考查同学敏捷运用
26、数学学问分析问题、解决问题第 7 页,共 19 页的才能和数学探究创新的才能. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20XX 年新课标高考数列新题型估计会具有肯定的探究性和开放性 , 可能显现 数列解决实际应用问题 ；题目特点：1、没有给出条件, 或者没有给出足够的条件,需要考生自己去查找出充分条件或充要条件；2、没有给出结论,或者没有确定的结论,需要考生自己去探求结论；3、给出的信息比较生疏,比较新奇,或所给学问没有学习过,需要考生自己去懂得,挑选；4、给出一个特殊的情形或类似的问题,需要考生自己去归纳、联想、类比；（三）高考基此题型
27、与基本策略示例基此题型一：运用基本量思想解决等差、等比数列的求项求和问题例. （2022 四川文 20）已知 a n 是以 a 为首项, q 为公比的等比数列,S 为它的前 n 项和（）当 S 、S 、S 成等差数列时,求 q 的值；（）当 S 、S 、lS 成等差数列时,求证：对任意自然数 k,a m k、a n k、a l k 也成等差数列说明：此题考查等比数列和等差数列的基础学问以及基本量运算才能和分析问题、解决问题的才能名师归纳总结 变式：（ 1）（2022 辽宁理 17） 已知等差数列 an 满意a20,a6a810. 第 8 页,共 19 页求数列an的通项公式；求数列a nn21
28、的前 n 项和说明： 1、此题是典型的运用基本量思想求数列通项的问题,列出关于1a和d的方程两个二元一次方程构成的方程组,通过加减消元或带入消元接出a 1 和d的值；2、数列a nn21是一个差比数列,错位相减法求和变式：（ 2022 全国卷理科数学4）已知各项均为正数的等比数列an中,a a a =5,a a a =10,就a a a6_.说明： 表面看这是一道可以用基本量思想解决的问题,但在实际操作过程中发觉,使用基本- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载量列出方程组运算量较大,要得到结果仍需借助指数幂的运算性质,易出错 . 假如联想
29、等比数列性质,不难发觉a 42a a ,2 a 5a a ,a62a a ,运用性质可以很快求出a a a 4 5 65 2n 项和的公式中均基本策略：等差、等比数列是两类最基本的数列,它们的通项公式、前含有两个基本量,因此数通过基本量思想求解等差等比的通项和前n 项和是高考考查的重点也是热点 .在运用基本量思想解决问题时,要留意以下两个方面：1、基本量思想在解决问题时比较程序化,认真审题挑选恰当的方法是关键,有两个性质 有 时 可 以 简 化 计 算 在 等 差 数 列 中 , 如mnp,q m n p qapN*,就amanapa ；在等比数列中如 qmnpq m n p qN*就aman
30、a ；q等差中项和等比中项；2、等差、等比数列的求和,需挑选恰当的求和公式,等比数列仍需考虑 q=1 和 q 1. 基此题型二：与递推有关的数列问题例. （2022 四川理 8）数列 a n 的首项为 3 ,b n 为等差数列且 b n a n 1 a n n N *如就 b 3 2,b 10 12,就 a 8 _. 说明： 由已知知 b n 2 n 8, a n 1 a n 2 n 8, 由叠加法 a 2 a 1 a 3 a 2 a 8 a 7 6 4 2 0 2 4 6 0 a 8 a 1 3一般地,使用累加法求通项的递推形式为 a n 1 a n f n ,使用累乘法求通项的递推形式为
31、a n 1f n . a n变式：（ 2022 新课标全国理科卷 17）设数列 a n 满意 a 1 2,a n 1 a n 3 2 n 1. （1）求数列 a n 的通项公式；（2）令 b n na ,求数列 b n 的前 n 项和 S . 说明： 此题为一道典型的运用递推数列性质求项求和的问题,用到我们熟知的累加法即名师归纳总结 anan1a n1a n1an2na2na 1a 13 2n232n33202第 9 页,共 19 页32n1；其次问中b nna3 n21n ,就采纳分组求和的方法求和,在分组求和- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必
32、备 欢迎下载中的第一个分组就采纳错位相减法求和,此题主要考察同学对基本方法的熟识程度 . 基本策略： 1、递推数列的求项求和问题一般以递推公式为背景,通过常见的累加、累乘、构造等方法对递推公式进行变形,最终转化为等差、等比数列的定义式“ 差式”“ 商式” 进行求解,在构造过程中会用到多种构造方法,但最终的目的仍是将未知的数列转化为我们的基本数列进行求解. a nS 1n1n2要求每一个同学都把握并会运用. 2、S 与a 的关系式：S nS n13、几种基本的递推模型人人把握,其它类型的递推,由于类型较多,依据新课标要求及历年高考中考查的问题,一般要求不高,复习时建议不同层次的学校依据同学特点进
33、行复习,对于变形奇妙,难度较大的问题,可视同学情形选讲 . 4、几种常见的数列求和人人把握,学会分析数列的通项公式的特点去挑选恰当的求和方法 . 基此题型三： 数列与函数、方程、不等式等学问的综合问题例2022 江苏 13 设 1 a 1 a 2 a ,其中 a a 3 , a 5 , a 成公比为 q 的等比数列,a 2 , a 4 , a 6成公差为 1 的等差数列,就 q 的最小值是 _. 说明： 有等差又有等比,基本量在哪儿,留意到已知 d 1,所以 a 为等差的基本量,2 3故先用 a 表示 a 、a ,就已知条件变为 1 a 1 a 2 a q a 2 1 a q a 2 2 a
34、q ,再留意到结论为求 q 的最小值,所以 a 2 1、a 2 2 应尽可能的小,故 a 2 a 1 1,可得2 3 3 2 31 q 2 q 3 q ,所以 q 3,q 2,q 1,q min 3 . 此题是数列与不等式的综合题,要想快速求解需要同学有较好的数学素养,甚至解题过名师归纳总结 程仍需要直觉的成份,明显死记硬背式的学习对解决这样的问题是行不通的的,因此在数列第 10 页,共 19 页教学中,我们更要关注同学对数列的深化懂得,以及数学素养的训练. 例.（2022 浙江 15）设1a , d 为实数, 首项为a ,公差为 d 的等差数列a n的前 n 项和为S ,满意S S 6150
35、,就 d 的取值范畴是说明：S S 5 6150化归基本量后看作：关于1a 的一元二次方程2 a29da 110d210必1有解,所以0d28d22 或d22此题考察数列与方程的综合题,需要同学对二元方程的主元变换有着深化懂得.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例.（2022 广东 20）设 b0,数列 a n学习必备a 1欢迎下载a nnban12n2满意= , b an12 n（1）求数列a n的通项公式；从而an2.（2）证明：对于一切正整数n,anbn112n1解 :1 由anannban12可得n2n11 , b12nanba n1当b2时,nnn11,就数列n是以11为首项,1为公差的等差数列,nn,a na2a na 122an21当b2 时 ,n21b2b a nn11b,an12就数列n21b是以