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1、学习必备欢迎下载数列专题复习指导一、复习要求等差数列及等比数列的定义，通项公式， 前n项和公式及性质； 一般数列的通项及前n项和计算 . 二、学习指导1、数列：是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于： 第一， 定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的， 不能用集合符号表示. 研究数列，首先研究对应法则通项公式：,),(*Nnnfan要能合理地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式,:21nnnaaaSS由nS定义 , 得到数列中的重要公式：2nSS1nSa1nn1n. 一般数列的na及nS，除化
2、归为等差数列或等比数列外,求nS还有下列基本题型：裂项法，错位相减法. 2、等差数列（1）定义： na为等差数列daann 1（常数），*Nn112nnnaaa（n2，*Nn） ；（2）通项公式：;)(,)1(1dmnaadnaamnn前n项和公式：2)aa(nd2)1n(nnaSn11n；（3）性质：banan，即na是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；bnanSn2, 即nS是n的不含常数项的二次函数；若 na,nb均为等差数列 , 则nanb,kna+c（k，c为常数）均为等差数列；当qpnm时,qpnmaaaa；当n为奇数时 ,nnanS) 12(12, .)1()1(中偶中奇，
3、anSanS 3、等比数列（1）定义：qaann 1（q为常数，na 0） ；112nnnaaa（n 2，*Nn） ；（2）通项公式：;,11mnmnnnqaaqaa前n项和公式：1qq1qaaq1)q1(a1qnaSn1n11n；（3）性质 : 当qpnm时,qpnmaaaa，当qpn2时,qpnaaa2，数列 kna 成等比数列 . 4、等差、等比数列的应用（1）基本量的思想： 常设首项、 公差及首项， 公比为基本量， 借助于消元思想及解方程组思想等；（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算. 三、典型例题例1. 已知数列na 为等差数列，公差d 0，其中nkkkaaa,21
4、恰为等比数列，若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载,17,5, 1321kkk求.21nkkk例 2. 设数列 na 为等差数列，nS为数列 na 的前n项和，已知75,7157SS,nT为数列nSn 的前n项和，求.nT例 3. 正数数列 na 的前n项和为nS，且1aS2nn，求：（1）数列 na的通项公式；（2）设1nnnaa1b，数列 nb 的前n项的和为nB，求证：nB21. 例 4. 等差数列 na 中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且1a-ma=18，求这个数列的通
5、项公式. 例 5. 设na 是等差数列，nan)21(b，已知 b1+b2+b3=821，b1b2b3=81，求等差数列的通项na. 例 6. 已知数列na中，nS是其前n项和，且.1),2, 1( ,2411anaSnn（1）设,21nnnaab求证： 数列nb是等比数列；（2）设,2nnnac求证： 数列nc是等差数列；（3）求na的通项公式na及前n项和nS. 例 7. 函数)(xf对任意Rx都有.21)1()(xfxf（1）求)(),1()1(),21(*Nnnnfnff的值；（2） 数列na满足),1()1()2()1()0(fnnfnfnffan数列na是等差数列吗？请予以证明；（
6、3）,1632,14422221nnnnnbbbTnSab试比较nT和nS的大小 . 例 8. 数列na的前n项和为nS，且).)(1(NnnnSn(I) 求数列na的通项公式；(II)若数列nb满足：,1313131333221nnnbbbba求数列nb的通项公式；(III)令),(4*Nnbacnnn求数列nc的前n项和为.nT同步练习（一）选择题 1、已知baba,成等差数列，abba,成等比数列，且0abmlog1 B、1m8 D、0m8 2、设a0，b0，bxxa,21成等差数列，byya,21成等比数列，则A、21xx21yy B 、21xx21yyC、21xx21yy精选学习资料
7、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载3、已知nS是na 的前n项和，nS=nP（ PR，nN+） ，那么数列 na A、 是等比数列 B 、当 P0 时是等比数列 C当 P0，P1时是等比数列 D 、不是等比数列4、na 是等比数列，且na0，252645342aaaaaa，则53aa等于A、5 B、10 C、15 D、20 5、已知cba,成等差数列，则二次函数cbxaxy22的图象与x轴交点个数是A、 0 B、1 C、2 D、1 或 2 6、若x的方程0, 022bxxaxx（ab）的四个根可组成首项为41的等
8、差数列，则baA、83 B、2411 C、2413 D、7231 7、从材料工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆，已知每次最多只能运3 根，要完成运载20 根电线杆的任务，最佳方案是使运输车运行A、 11700m B、14700m C、14500m D、 14000m 8、已知等差数列na中，|93aa，公差 d0，公比q-1（q1） ，设数列 nb的通项)( ,*21Nnaabnnn，数列 na,nb的前n项和分别记为nA，nB，试比较nA与nB大小 . 15、数列 na中，2,841aa且满足,212nnnaaa（n N+） （1）求数列 na 通项公式；
9、（2）设nS=|1a|+|2a|+ +|na| ，求nS； （ 3）设)a12(n1bnn（nN+）,21nnbbbT是否存在最大的整数m，使得对于任意的n N+，均有32mTn成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 . 16、已知数列 na 满足：).(12,2*11Nnnaaann(I) 证明数列nan是等比数列， 并求出数列 na的通项公式； (II) 数列nb满足：),(22*Nnnanbnn求数列nb的前n项和为nS.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载例题参考答案例 1. 解题思路分析
10、：从寻找新、旧数列的关系着手, 设na 首项为,1a公差为.d1751,aaa成等比数列 , dadaadaaaa2),4()4(,1112117125设等比数列公比为q，则.324241115dddadaaaq对nka项来说，在等差数列中：1121)1(akdkaannkn在等比数列中：,31111nnkaqaan.1321nnk.13)3331(2)32() 132() 132(1211021nnkkknnnn注：本题把.21nkkk看成是数列 nk的求和问题，着重分析nk 的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”. 例 2. 解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设na
11、 首项为,1a公差为d，则75d21415a15S7d267a7S115171d2a12)1n(n2Sn252n21n2nSn此式为n的一次函数 nSn 为等差数列n4an41T2n法二： na为等差数列，设,2BnAnSn75B1515AS7B77AS21527解之得：25B21An25n21S2n，下略注：法二利用了等差数列前n项和的性质 . 例 3. 解题思路分析： （I ）涉及到na及nS的递推关系 , 一般都用na=nS-1nS（n2）消元化归 . 1aS2nn， 4nS=(na+12)，211)1(4nnaS（ n2） 4(nS1nS)=(na.) 1()1212na 4na=12
12、1222nnnnaaaa，整理得：0)2)(11nnnnaaaa，na0，21nnaa， na 为公差为 2 的等差数列在1aS2nn中，令1, 11an，na=12n（II ）)1n211n21(21)1n2)(1n2(1bn21a2121)a1a1(21)a1a1()a1a1()a1a1(21B1n1n11nn3221n. 注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4nS=(na+1)2推出211)1(4nnaS，它其实就是函数中的变量代换法. 在数列中一般用1, 1 nn等去代替n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值 . 精选学习资料 - - - - - -
13、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载例 4. 分析：利用前奇数项和和与中项的关系令m=12n，*Nn， 则33a)1n(S77a)1n2(Snn1n2偶,222,11,7,4,33771121nmnaaaamnnn又1a-ma=18，1a=20，ma=2，,3dna=.233n例 5. 解题思路分析： na 为等差数列， nb 为等比数列，从求解 nb着手：,81,322231bbbb即.212b41bb817bb213181b2b31或2b81b21n231nn2)41(2b或5n21nn2481bnan)21(b，n21nbloga，
14、,32nan或.52nan注：本题化归为nb 求解，比较简单。若用na 求解，则运算量较大. 例 6. （1）证明：由),2 ,1( ,241naSnn易知naSnn( ,241 2） ，两式相减有,4411nnnaaa即)2(2211nnnnaaaa，,22211nnnnaaaanb是以122aa为首项， 2 为公比的等比数列. 由24, 111nnaSa易得.232,32, 511122nnnnaabaaa（2）证明：.2222,211111nnnnnnnnnnnnaaaaccac由（ 1）知，,23211nnnaa则.43223111nnnncc故数列nc是以21211ac为首项， 以4
15、3为公差的等差数列. 即.413)1(43212nnacnnn（3）解：.2)13(2413,41322nnnnnnnana由题意有.22)43(22 1)1(3 4241211nnnnnnaS例 7. 解： （1）.41)21(,21)21()21()211()21(fffff令,1nx得,21)11()1(nfnf（2）),1()1()2()1()0(fnnfnfnffan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载又),0()1()1()1(fnfnnffan以上两式相加有,21)0()1()1()1()
16、1()0(2nffnnfnfffan,41*Nnnan又.41414111nnaann所以数列na是等差数列 . （3）,4144nabnn)131211(1622222221nbbbTnn)111()3121()211 (1 16)1(13212111(16nnnn=.1632)12(16nSnn即nT.nS参考答案（一）选择题1、C 2 、B 3 、D 4 、A 5、D 6、 D 7、D 8 、B （二）填空题9、2n9n32 10、75 11、 216 12、2 （四）解答题 13 、公比为2，项数为8 14、当251q1时， AnBn；当251q，q1 时， AnBn；当251q时， An=Bn 15、 （1）an=-2m=10； （2）6n40n9n5n1n9nS22n； （3）m=7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页