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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列专题 数列与不等式数列与不等式数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题,与不等式相关的大多是数列的前 n 项和 问题,对于这种问题, 在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟识的问题来解决,要把握常见的解决不等式的方法,以便更好地解决问题主要考查考生的推理论证才能和分 析、解决问题的才能、以及转化化归的思想和数学素养【示例 1】.2022浙江 已知公差不为 0 的等差数列 an 的首项 a1 为 aaR,且1 a1, 1 a2, 1 a4成 等比数列1求数列 an 的通项公式； 2对 nN*,试比较1 a2 1
2、a22 1 a23 1 a2n与 1 a1的大小解1设等差数列 an 的公差为 d,由题意可知121 a1 1 a4,即a1d 2a1a13d,从而 a1da2d 2. 由于 d 0,所以 da1a.故通项公式 anna. 2记 Tn1 a2 1 a22 1 a2n,由于 a2n2 na,所以 Tn1 a 2 1 2 1 2 n1 a2 1 1 11 2 n1 a 1 1 n ,从而,当 a0 时,Tn1 a1；当 a0 时,Tn 1 a1. 此题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和等基础学问,同时考查运算求解才能及推理论证才能【训练】 已知数列 an 的各项均为正数, S
3、n 为其前 n 项和,对于任意的 nN *满意关系式 2Sn3an3. 1求数列 an 的通项公式； 2设数列 bn 的通项公式是 bn求证：对于任意的正数 n,总有 Tn1. 2Sn3an3,1解 由已知得 2Sn13an13 n2故 2SnSn12an3an3an1,即 an3an1n2故数列 an 为等比数列,且公比 q3. 又当 n1 时,2a13a13, a13,an3 n. 1 log3anlog3an1,前 n 项和为 Tn,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2证明bnn n11 nn
4、1. 1Tnb1b2 bn 11 2 1 21 3 1 nn111n11. 1数列综合以等差数列、等比数列为载体,考查函数与方程、等价转化和分类争论等数学思想方法,是新课标高考数列题的一个重要特点,因试题较为综合,故难度一般较大【示例 2】.2022天津 已知数列 an 与 bn 满意 bn1anbnan12 n1,bn3 1 2n1,nN*,且 a12. 1求 a2,a3 的值； 2设 cna2n1a2n1,nN*,证明 cn 是等比数列；3设 Sn 为 an 的前 n 项和,证明S1 a1S2 a2 S2n1 a2n1S2n a2nn1 3nN *1解 由 bn3 1 2 n1,nN *,
5、可得 bn2,n为奇数,1,n为偶数 .又 bn1anbnan12 n1,当 n1 时, a12a2 1,由 a12,可得 a23 2；当 n2 时, 2a2a35,可得 a38. 2证明 对任意 nN *,a2n12a2n2 2n11, 2a2na2n12 2n1.,得 a2n1a2n13 2 2n1,即 cn3 2 2n1,于是cn1 cn4. 所以 cn 是等比数列3证明a12,由 2知,当 kN*且 k2 时,a2k1a1a3a1a5a3a7a5 a2k1a2k3 2322 32 5 2 2k3 2名师归纳总结 k132 14 142 2k1,故对任意 kN*,a2k12 2k1.由得
6、 2 2k12a2k 2 2k11,第 2 页,共 6 页所以 a2k1 22 2k1,kN*,因此, S2ka1a2a3a4 a2k1a2kk 2. 于是, S2k1S2ka2kk1 22 2k1. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载k1 2k1 k故S2k1 a2k1S2k a2k2222k11 22k1k12 2k2 2k111 k4 k 4 k1 . k22所以,对任意 nN *. a1 S2 a2 S2n1 a2n1 S2n a2na1S2 a2a3S4 a4 a2n1S2n a2n11 4 1 1211 4 24 2 4
7、221 11 4 n4 n 4 nn1 n 4 1 124 124 2 4 221 14 n4 n 4 n1 n1 4 1 12n1 3. 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础学问,考查运算才能、推理论证才能、综合分析才能和解决问题的才能及分类争论的思想方法,难度较大在数列a n中,a 12,a n14a n3n1, n* N （）证明数列a nn 是等比数列；* N 皆成立（）求数列a n的前 n 项和S ；S n14S n,对任意 n（）证明不等式（）证明：由题设an14an3n1,得a n1n14ann , n* N n 是首项为 1,且公比为 4 的等比数列又a 111,所以数
8、列a n（）解：由（）可知a nn4n1,于是数列a n的通项公式为a n4n1nS n4n1n n1所以数列a n的前 n 项和32（）证明：对任意的n* N ,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2022？如存在,求出n 的值；如不存S n14S n4n11n1 n24n 431n n13221 3 2n2n40所以不等式S n14S n,对任意 n* N 皆成立2. 设数列 na的前 n 项和为S ,a11,anSn2 n1 ；n（1）求证：数列 a n为等差数列,并分别求出S 的表达式；na 、
9、n（2）设数列a11的前 n 项和为T ,求证：1Tn1；nan54（3）是否存在自然数n,使得S1S2S3Snn1223n在,请说明理由；又易知T 单调递增,故T nT11,得1Tn15543由Snnan2 nn1得S n2n1n名师归纳总结 S1S 2 S 3 S n 2 n 1 1 3 52 3 n1 13 分1 2022,得 n=1005,即存在满意条件的自然数2n1 n12第 4 页,共 6 页= 2n由 2nn=1005.的前 项和为 n三、数列与不等式综合问题例3已知数列a n中,a 11,a23,其前 项和为 nS n,且当n2时,a n1S n1a S n0.1求证：数列S
10、n是等比数列；2求数列a n的通项公式；3令b nan9 an13,记数列b n3a nT n,证明对于任意的正整数 ,都有 n3T n7成立88- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：1证明：当学习必备欢迎下载1a S n nn2 时,a n1S n3证明：当n2时,anS n1S nS n1S nS n1S nS n1S n1S 2n,n 41,1所以SS n1S n1n2又由S 110,S 240,可推知对一切正整数n 均有S n0,所以数列S n是等比数列2由1知等比数列S n的首项为 ,公比为 ,所以S nn 41.当n2 时,a nS nS
11、 n1n 3 42,又a 1S 11,所以a n1 n2n1 . 23 4n34n2,当n2时,b n4n23 4n211n 411此时b nan9an13n 1 4213a n,4n2314n211.T nn 4b 1b 24n1b n311411934n282 2 42 1n3n 42334n134111717.1又b 1a19a 1233218n 4183a8又由于对任意的正整数 都有b n0,所以b n3n14n21n2,T 1b 137,所以T n单调递增,即T nT 1,所以对于任意83的正整数n,都有37 8成立T n8884n21n 41例4 数列b n满意b 11,b n12
12、 b n1,如数列a n名师归纳总结 满意a 13,a nb n11N*11nn2 且nN*第 5 页,共 6 页2b 1b 2b n1求 ,2b 3,b 4及b n；2且n；2求证：a na n1b n1nb n11110N*3求证：1111a 1a 2a n3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析:1b 23,b 3学习必备欢迎下载7,b 415,由b n12 b n1b n112b n1N*,b n1b 112 n12n,所以b n2 n1.2证明：由于a nb n1112 n2 且nb 1b 2b n所以a n1111,a nb n111111
13、,b nb 1b 2b n1b 1b 2b nb n所以a n1a n1a n1a n1b n1b nb nb n1b na n1a n11b n1n2 且nN*a nb n3证明：由2知111111a 1a 2a na 11a 21a n1a 1a 2a n1a 11a 21an1a n12b 2b 3b n1a 1a 2a 3a n13b 3b 4b n2b 21a n12a n12111,b nb n13b 1b 2b n而111111,1b 1b 2b n32 n1111112111a 1a 2a nb 1b 2b n当k2 时,2 k112k2k111k 1 21名师归纳总结 k 2112k 211111,11n 21 1第 6 页,共 6 页k 2k 1 21k 21所以 11 3111 1n 2122111 112233 224n 211212n1 15,310 3.31所以11 11 a 211a 1a n- - - - - - -