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1、精品名师归纳总结【典型例题】类型一、平面对量的相关概念 例 1.以下说法中正确的选项是 非零向量 a 与非零向量 b 共线，向量 b 与非零向量 c共线，就向量 a 与向量 c 共线。 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点。 向量 a 与 b 不共线，就 a 与 b 所在直线的夹角为锐角。 零向量模为 0，没有方向。 始点相同的两个非零向量不平行。 两个向量相等，它们的长度就相等。 假设非零向量 AB 与 CD 是共线向量，就 A、B、 C、D 四点共线。【答案】【解析】 向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的。相等向量是共线的，故四点可能在同始终线
2、上。 向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角或锐角。零向量不是没有方向,它的方向是任意的。 向量是否共线与始点位置无关。 两个向量相等，它们的长度相等，方向相同。共线向量即平行向量，非零向量AB 与 CD 是共线向量，可能A、B、C、D 四点共线，也可能AB、CD平行。【总结升华】从向量的定义可以看出，向量既有代数特点又有几何特点，因此借助于向量可将代数问题与几何问题相互转化。零向量是一特别向量，它好像很不起眼，但又到处存在。因此，正确懂得和处理零向量与非零向量之间的关系值得我们重视。对于平行向量或共线向量，它们可以在同始终线上，也可以所在直线相互平行，方向可以相同也可以相反
3、。相等向量就必需大小相等、方向相同。举一反三：【变式 1】判定以下各命题是否正确, 并说明理由 :1假设 | a |=| b | , 就 a = b。(2) 单位向量都相等。(3) 两相等向量假设起点相同, 就终点也相同。(4) 假设 a = b， c = b, 就 a = c 。5假设 | a | b | , 就 a b。6由于零向量方向不确定 , 故它不能与任意向量平行.【答案】(1) 错。模相等 , 方向未必相同。(2) 错。模相等 , 方向未必相同。(3) 正确。因两向量的模相等, 方向相同 , 故当他们的起点相同时, 就终点必重合。(4) 正确。由定义知是对的。(5) 错。向量不能比
4、较大小。(6) 错。规定 : 零向量与任意向量平行.【变式 2】在复平面中，已知点A 2， 1， B 0， 2，C 2， 1， O0，0.给出下面的结论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 OC 与直线 BA 平行。 ABBCCA 。 OAOCOB 。ACOB2OA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中正确结论的个数是A 1B 2C 3D 4【答案】 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】kOC11， kBA22211022， OC AB ，正确。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABBCAC ，错误。可编辑资料 - -
5、- 欢迎下载精品名师归纳总结 OAOC0, 2OB ，正确。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 OB2OA 4,0 ， AC 4,0，正确 . 应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型二、平面对量的加减及其线性运算例 2.如图，已知梯形ABCD 中， AB/ CD ，且 AB2CD ， M 、 N 分别是 CD 、 AB 的中点，设ADa ， ABb ，试以 a、 b 为基底表示 DC 、 BC 、 MN .【解析】连结ND ，就11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DC DCABb 。 221
6、AB1 bNB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 DC/ NB ， DCNB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BCNDADANa1 b 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 DM1 DC1 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 MNDNDMCBDM1 ba .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【总结升华】此题实质上是平面对量基本定理的应用，由于AD ， AB 是两个不共线的向量，那么平面内的全部向量都可以用它们表示出来.此题的关键是充分利用几何图形中的线段的相等
7、、平行关系，结合平行向量、相等向量的概念，向量的线性运算，变形求解.举一反三：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 1】在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点， 假设 AD【答案】 23【解析】由图知 CDCAADCDCBBD ，2 DB ，CD1CACB ，就=.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 AD2BD0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 + 2 得： 3CDCA2CB ， CD1 CA2 CB ，2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结333【变式 2】 ABC 中，点 D 在 AB 上， CD 平分ACB ，
8、假设 CBa ， CAb ， a1 ， b2 ，就 CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 1 a22bB.a13bC.a443bD.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33【答案】 B335555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式3】如图 , E 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点 , 且 AE1AFAC ， BFk BE ，求 k 的值 .51 AD , 设 ABa ， BCb ，假设4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【
9、解析】AF1 AC1 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结55又BFk BEk AEABk 14b - a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 BFAFa ， AF1k a + k b4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由解得 k4 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 4】假设 O， E， F是不共线的任意三点，就以下各式中成立的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A EFOFOEB EFOFOEC EFOFOED EFOFOE【答案】 B【变式 5】已知 O 是 ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，
10、且 2OAOBOC0 ，那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AOOD AO【答案】 A2OD AO3OD 2 AOOD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】由于D 为 BC 边中点，所以由平行四边形法就可知：OBOC2OD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 OBOC2OA，所以 ODOAAO .例3. 设两个非零向量 a ,b 不共线，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1假设ABa + b, BC2a + 8b, CD3a - b. 求证： A ， B ， D 三点共线 .可编
11、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2试确定实数 k ，使 ka + b 和 a+ kb 共线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】1证明：ABa + b, BC2a + 8b ,CD3a - b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BDBCCD2a + 8b3a - b5a + b5 AB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB , BD 共线，又它们有公共点B ，A ， B ， D 三点共线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ka + b 和 a+ kb 共线，存在实数，使k a + ba +kb ，可编辑资料 -
12、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 kak1b ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ,b 是不共线的两个非零向量，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk10,k 210.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1.【总结升华】证明三点共线问题，可以用向量共线来解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.向量共线的充要条件中要留意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要留意待定系数与方程思想的运用.举一反三：【变式 1】已知平面内有一点P
13、 及一个 ABC ，假设 PAPBPCAB ，就A 点 P 在 ABC 外部B 点 P 在线段 AB 上C点 P 在线段 BC 上D点 P 在线段 AC 上【答案】 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 PAPBPCAB ，PAPBPCAB0 ，即PAPBBAPC0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PAPAPC0 ， 2PACP ，点 P 在线段 AC 上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 2】假设 a、 b 是两个不共线的向量 , AB2a+ kb , BCab， CDa三点共线 , 求实数 k 的值 .2b, 已知 A、C、D
14、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 k7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】ACABBC2a +kba + b3a + k1b ， CDa2b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A,C,D 三点共线 ,AC , CD 共线 ,令 ACCD ,不为零 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3a + k1b a2ba2 b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3,k12 . k7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 3】已知向量 a 、 b 不共线，
15、 cka + bkR, da - b ，假如 c d ，那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A k=1 且 c 与 d 同向B k=1 且 c 与 d 反向Ck= 1 且 c 与 d 同向D k= 1 且 c与 d 反向【答案】 D【解析】 c d 且 a 、 b 不共线，存在唯独实数使 c =d ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ka + ba - b k1k1，应选 D.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【高清课堂： 平面对量的概念与线性运算401193 例 2】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 4】已知向量a, b
16、，且ABa2b, BC5a6b, CD7a2b, 就肯定共线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A 、 B、DBA 、B、C CB 、C、 DD A 、C、D【答案】 A类型三、平面对量的基本定理、坐标表示及综合应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4设向量 a数 和 x 的值.1,3 ， bx1, 2 ， c = a2b ， d1 ab 假设 d / c ，求使 cd 成立的实2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】由题知： ca2b2x1,7 ， d1 ab 3x,1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 -
17、- - 欢迎下载精品名师归纳总结 d / c ，1 2 x17 3x0 ，解得 x5 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结223 c711可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,7 ， d 3,62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 c得d7,7, ， 362 7，即14 .2【总结升华】考查向量的坐标运算及平行垂直的坐标表示是考试命题的主要方式之一,预备把握公式 ,敏捷运用 .举一反三：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 1】已知 a1,2 ， b1,x，假设 2ab , a2b 是共线向量 , 求实数 x 的值 ;可编辑资料 -
18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】由已知有:2ab 3, 4x ， a2b1,22x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 ab / a2b , 3 22 x1 4x0 , 解得 x2 .【变式 2】设向量 a=1，2，b=2，3。假设向量ab 与向量 c= 4， 7共线， 就 =.【答案】 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】ab2,23 ， ab / c ， 724232 .故填 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 3】如图，
19、在 ABC 中， AD AB ， BC3 BD ， | AD| 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 AC AD .【答案】3【解析】 建系如下图 :令 Bx B， 0， Cx C， yC，D 0，1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BC xCxB, yC ， BDxB ,1， BC3 BD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xCxByC33xB xC，yC13 xB，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC13 xB ,3 ， A
20、D0,1 ，就ACAD3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 4】假设平面对量 a 、 b 满意 ab1 , ab 平行于 x 轴， b2,1，就 a =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 1，1或 3， 1【解析】设 a=x， y，就 ab =x+2 ， y 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题意得 x22 yy10121y1y1或.x1x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a = 1， 1或 3， 1.【高清课堂： 平面对量的概念与线性运算401193 例 3】
21、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 5】假设直线 2xyc0 按向量 a1,1 平移后与圆x 2y25 相切，就 c 的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 8 或 2B 6 或 4C 4 或 6D 2 或 8【答案】 A例 5 A， B， C是不共线三点，点O是 A， B，C 确定平面内一点，假设值时， O是 ABC的A重心B垂心C内心D外心【答案】 A【解析】设 Ox ， y， Ax 1， y1，B x2， y2， Cx3， y3|OA |2| OB |2|OC|2 取最小可编辑资料 - - - 欢迎下载
22、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 S|OA |2| OB |2|OC |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xx 2 yy 2 xx 2 yy 2 xx 2 yy 2112233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x22 xxx xx2x2x23 y22 yyy yy2y2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 xx1x2x3 23 yy1y2y3 2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
23、归纳总结就当 xx1x23x3 且 yy1y23y3时， Smink ，应选 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【总结升华】关注三角形的“心”，包括三角形的重心、垂心、外心、内心和旁心.举一反三：【变式 1】在 ABC 中，点 O 满意 OA ABOA AC ，就点 O在 ABC的上A. 角平分线B.中线C.中垂线D.高【答案】 D。【解析】 OA ABOA AC ， OA ABOA AC0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 OA ABAC 0 ，OA CB0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 OACB ，所以点 O 在 ABC 的高上
24、.【变式 2】平面 ABC及一点 O满意 AO ABBO BA ，BO BCCO CB ，就点 O是 ABC的A重心B垂心C内心D外心【答案】选 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】由 AO ABBO BA 得 AB AOBO 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 OBOA OBOA0即 | OB | OA | | OB | | OA |，同理 | OB | |OC | ，应选 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 3】平面内ABC 及一点 O满意AOABAOACCO CACO CB，就点 O是 ABC可编辑资料 - - - 欢迎
25、下载精品名师归纳总结的| AB | AC | CA | CB |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A重心B垂心C内心D外心【答案】 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】对于AOABAOAC的懂得，其中AB，即为 AB 方向上的单位向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结eAB| AB | AC |AB【变式 4】在 ABC 中，点 O 满意 OAOBOC0 ，就点 O在 ABC的上A. 角平分线B.中线C.中垂线D.高【答案】 B。【解析】如图，以OB、OC为邻边作平行四边形BDCO ， 就 OBOCODOA ，就点 A、 O 、 D 三点共线，而且在平行四边形BDCO 中，点 E 为 BC 的中点，所以 AE 为 ABC 的中线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载