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1、高一数学 第八章 平面对量第一讲 向量的概念及线性运算一【要点精讲】1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。几何表示法，；坐标表示法。向量的模长度，记作|.即向量的大小，记作|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为0的向量，记为，其方向是随意的，规定平行于任何向量。及0的区分单位向量1。平行向量共线向量方向一样或相反的非零向量，记作相等向量记为。大小相等，方向一样2向量的运算1向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，那么向量叫做a及b的和，记作a+b，即 a+b特殊状况：向量加法的三角形法那么可推广至多个向量相加： ，但这时
2、必需“首尾相连。向量减法： 同一个图中画出 要点:向量加法的“三角形法那么及“平行四边形法那么1用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量是始点及向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。2 三角形法那么的特点是“首尾相接，由第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.3实数及向量的积3两个向量共线定理：向量及非零向量共线有且只有一个实数，使得=。 二【典例解析】题型一： 向量及及向量相关的根本概念概念例1推断以下各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)假设(3)单位向量都相等 (
3、4) 向量就是有向线段(5)两相等向量假设共起点,那么终点也一样 (6)假设，那么；(7)假设，那么 (8) 的充要条件是且； (9) 假设四边形ABCD是平行四边形,那么练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD中，“是“四边形ABCD为梯形的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件题型二: 考察加法、减法运算及相关运算律例2 化简= 练习1.以下命题中正确的选项是 A BC D2.化简得 A B C D3如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，那么()A.0 B.0C.0 D.0 题型三: 结合图型考察向量加、减法例3在所在的平面上有一点
4、，满意，那么及的面积之比是( )A B C D例4重心、垂心、外心性质ABCDE练习: 1如图，在ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，求，2求证3假设为的内心，且满意，那么的形态为 4O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满意20，那么()A2 B2 C. D5平面上不共线的四点O，A，B，C.假设320，那么等于_6平面内有一点P及一个ABC，假设，那么()A点P在ABC外部 B点P在线段AB上 C点P在线段BC上 D点P在线段AC上7在ABC中，D是AB边上一点，假设2，那么等于()A. B. C D题型四: 三点共线问题例4 设是不共线的向量,向量,假设A,
5、B,D三点共线,求k的值例5A、B、C、P为平面内四点， A、B、C三点在一条直线上 =m+n，求证： m+n=1练习：1：，那么以下关系肯定成立的是 A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线2(原创题)设a，b是两个不共线的向量，假设2akb，ab，2ab，且A，B，D三点共线，那么实数k的值等于_第2讲 平面对量的根本定理及坐标表示一【要点精讲】1平面对量的根本定理假如是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内全部向量的一组基底.2平面对量的坐标表示 如图，在直角坐标系
6、内，我们分别取及轴、轴方向一样的_单位向量_ 、作为基底任作一个向量，有且只有一对实数、，使得，把叫做向量的直角坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示及相等的向量的坐标也为特殊地，特殊提示：设，那么向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面对量都是可以用一对实数唯一表示3平面对量的坐标运算1假设，那么=，= 2 假设，那么 3假设和实数，那么4向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中BCAOMD ()的充要条件是二【典例解析】题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量例1 在
7、OAB中，AD及BC交于点M，设=，=，用,表示.练习:1假设、是平面上的一组基底，那么以下各组向量中不能作为基底的一组是 ( ) A及 B3及2 C及 D及22在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，假设，其中、R，那么_.题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算 例3 A2,4、B3,1、C3,4且,求点M、N的坐标及向量的坐标. 练习:1. (2021年高考辽宁卷)四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，那么顶点D的坐标为() A(2，) B(2，) C(3,2) D(1,3) 2假设M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；
8、 3假设M(3, -2) N(-5, -1)，点P在MN的延长线上，且 , 求P点的坐标； 4.(2021年广东卷文)平面对量a= ，b=， 那么向量 ( ) A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 5在三角形ABC中，A(2,3)，B(8，4)，点G(2，1)在中线AD上，且2， 那么点C的坐标是()A(4,2) B(4，2) C(4，2) D(4,2)6设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，假设表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，那么向量d为()A(2,6) B(2,6) C(2，6) D(2，6)7A
9、(7,1)、B(1,4)，直线yax及线段AB交于C，且2，那么实数a 等于()A2 B1 C. D.题型三: 平行、共线问题 例4向量，假设，那么锐角等于 A B C D 例52021北京卷文向量， 假如那么( ) A且及同向 B且及反向 C且及同向 D且及反向 练习：1假设向量=(-1,x)及=(-x, 2)共线且方向一样，求x 2点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及， 求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。 (2)四边形OABP能否构成为平行四边形？假设能，求出相应的t值；假设不能，请说明理由。 3向量a(1,2)，b(0,1)，设uakb，v2ab，假设uv
10、，那么实数k的值为() A1 B C. D1 4向量a(2,3)，b(1,2)，假设manb及a2b共线，那么等于()A B2 C. D25向量(1，3)，(2，1)，(m1，m2)，假设点A、B、C能构成三角形，那么实数m应满意的条件是()Am2 Bm Cm1 Dm16点,试用向量方法求直线和为坐标原点交点的坐标。题型四：平面对量综合问题例6 ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1） 假设/，求证：ABC为等腰三角形； （2） 假设，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 . 练习点A(1,2)，B(2,8)以及，求点C、D的坐标和的坐标第三讲 平面对量的数量积及
11、应用一【要点精讲】1两个非零向量的夹角非零向量a及a，作，那么AA叫及的夹角；说明：两向量的夹角必需是同起点的，范围0q180。C2数量积的概念非零向量及， =cos叫做及的数量积或内积。规定；向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影。投影的肯定值称为射影；3数量积的几何意义： 等于的长度及在方向上的投影的乘积.留意：只要就有=0，而不必=或=由=及0却不能推出=得|cos1=|cos2及|0，只能得到|cos1=|cos2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图) ()()，向量的数量积是不满意结合律的对于向量、，有|，等号当且仅当时成立4向量数量积的性质向量的模及平方的关系：。乘法
12、公式成立；向量的夹角：cos=。5两个向量的数量积的坐标运算两个向量，那么=。6垂直：假如及的夹角为900那么称及垂直，记作。两个非零向量垂直的充要条件：O7平面内两点间的间隔 公式设，那么或。 (平面内两点间的间隔 公式) .二【典例解析】题型一：数量积的概念例1推断以下各命题正确及否：1；2； 3假设，那么；4假设，那么当且仅当时成立；5对随意向量都成立；题型二. 求数量积、求模、求夹角的简洁应用例2 ；题型三：向量垂直、平行的断定例3向量，且，那么 。例4，按以下条件务实数的值。1；2；。例5： 、是同一平面内的三个向量，其中 =1，2（1） 假设|，且，求的坐标；2假设|=且及垂直，求
13、及的夹角.练习1 假设非零向量、满意，证明:2 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角， 求k值3向量，假设，那么 A B C D4.5知为的三个内角的对边，向量假设，且，那么角的大小分别为 AB C D题型四：向量的夹角例6向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，求及的夹角练习1两单位向量及的夹角为，假设，试求及的夹角。2| |=1，| |=2，= + ，且，那么向量及的夹角为 A30B60C120D1503设非零向量a、b、c满意|a|b|c|，abc，那么a，b()A150 B120 C60 D304向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，假设(
14、ab)c，那么a及c的夹角为()A30或150 B60或120 C120 D150ABC的重心任作始终线分别交AB，AC于点D、E假设，那么的值为 A4 B3 C2 D1解析：取ABC为正三角形易得3选B4. 设向量及的夹角为，那么5在ABC中，()|2，那么三角形ABC的形态肯定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形.6向量及互相垂直，其中1求和的值；2假设，求的值 题型五：求夹角范围例7,且关于的方程有实根,那么及的夹角的取值范围是 A.0, B. C. D.练习1设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围2，,假如及的夹角为锐角,那么的取值范围是 3设两个向
15、量、，满意，、的夹角为60，假设向量及向量 的夹角为钝角，务实数的取值范围.4如图，在RtABC中，BC=a，假设长为2a的线段PQ以点A为中点，问ABCa的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系题型六：向量的模例8向量及的夹角为，那么等于 A5B4C3D1练习1平面对量a及b的夹角为，a(2,0), | b |1，那么 | a2b |等于 A.2平面上三个向量、的模均为1，它们互相之间的夹角均为120，1求证：；2假设，求的取值范围.3平面对量中，且，那么向量_.4|=|=2，及的夹角为600，那么+在上的投影为 。5设向量满意，那
16、么 。6向量的方向一样，且，那么_ _。7、O，N，P在所在平面内，且，且，那么点O，N，P依次是的 )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心题型七：向量的综合应用 例9向量(2,2)，(4,1)，在x轴上一点P，使有最小值，那么P点的坐标是_练习1向量a及向量b的夹角为120，假设向量cab，且ac，那么的值为()A. B. C2 D. 2圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，那么()A.a2 Ba2 C.a2 Da24(原创题)三角形ABC中AP为BC边上的中线，|3，2，那么|_.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
17、.m(cos，sin)，n(cos，sin)，且满意|mn|.(1)求角A的大小；6在中，的面积是，假设，那么( ) 7为原点，点的坐标分别为，其中常数，点在线段上，且有，那么的最大值为 8向量， 。1当，求；2假设对一实在数都成立，务实数的取值范围。9. 假设正方形边长为1，点在线段上运动，那么的取值范围是 -2，10. 是两个互相垂直的单位向量, 且,那么对随意的正实数,的最小值是 .各区期末试题ABCDE10. 在矩形中，是上一点，且，那么的值为 ABPO19.如图，点是以为直径的圆上动点，是点关于的对称点，.当点是弧上靠近的三等分点时，求的值；求的最大值和最小值.6如下图，点在线段上，
18、且，那么 A B C D(16) 在平面直角坐标系中，点，点是直线上的一个动点.求的值；假设四边形是平行四边形，求点的坐标；求的最小值.3、三点的坐标分别为、，且. 假设，求角的值； 假设，求的值.2二次函数对随意，都有成立，设向量，当时，求不等式的解集.是所在平面内一点，且满意，那么等于 A. B. C. D. 为一平面上的定点，为此平面上不共线的三点，假设， 那么的形态是 . ，.1当时，求的值；2设，为函数的两个零点，求的最小值 (5)如图，用向量e1，e2表示向量a-b为 ( )(A)-2e 2-4e 1(B)-4e 2-2e 1(C)e 2-3e 1(D)-e 2+3e1(12)=+，设=，那么实数的值是_(16)向量a=(1，)，b=(-2，0)()求向量a-b的坐标以及a-b及a的夹角；()当t-1，1时，求|a-tb|的取值范围