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1、精品名师归纳总结【学问点归纳】1. 平面对量的概念：2. 向量的表示：常见的 2 个向量3. 相等向量与共线向量：【典型例题】题型一向量的基本概念例 1.给出以下命题：其次章平面对量2.1 平面对量的实际背景及基本概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量 AB 与 CD 是共线向量，就 A、B、C、D 四点必在始终线上。两个单位向量是相等向量。假设 a=b, b=c, 就 a=c 。假设一个向量的模为0，就该向量的方向不确定。假设 |a|=|b|,就 a=b。假设 a 与 b 共线 , b 与 c 共线 ,就 a 与 c 共线其中正确命题的个数是A 1 个B 2 个C 3 个D
2、 4 个例 2 以下命题正确的有a 与 b 共线， b 与 c 共线，就 a 与 c 也共线任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点向量 a 与不共线，就 a 与 都是非零向量有相同起点的两个非零向量不平行题型二向量的表示例 3.一辆汽车从 A 点动身向西行驶了100km 到达 B 点, 然后又转变方向,向西偏北 45走了 200km 到达 C 点, 最终又转变方向 ,向东行驶了 100km 到达 D 点. 1 作出向量 AB , BC , CD ;2 求 AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型三相等向量与共线向量例 4 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF
3、 的中心，分别写出图中与向量 OA ， OB ， OC 相等的向量，共线的向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型四利用向量解决多点共线的问题例 5.如图，四边形ABCD 中， ABDC ，P,Q 是 AD ， BC 上的点，且 BPQD ,求证： APQCBQCAPD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综合练习：1. 以下命题中，正确的选项是A. 假设 |a|=|b|，就 a=bB. 假设 a=b,就 a 与 b 是平行向量C. 假设 |a|b|,就 abD. 假设 a 与 b 不相等，就向量 a 与 b 是不共线向量2.以下说法中错误的选项是 A. 零向量是没
4、有方向的B.零向量的长度为 0C.零向量与任一向量平行D. 零向量的方向是任意的3. 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是4. 已知非零向量a b,假设非零向量c a,就 c 与 b 关系是.5. 已知 a、 b 是两非零向量 ,且 a 与 b 不共线 ,假设非零向量 c 与 a 共线 ,就 c 与 b 必定.6. 判定以下命题的正误：零向量是惟一没有方向的向量。平面内的单位向量只有一个。方向相反的向量是共线向量，共线向量不肯定是方向相反的向量。向量 a 与 b 是共线向量， bC,就 a 与 c 是方向相同的向量。相等的向量肯定是共线向量。7. 以下四个命题
5、中，正确命题的个数是 共线向量是在同一条直线上的向量 假设两个向量不相等，就它们的终点不行能是同一点 与已知非零向量共线的单位向量是唯独的 假设四边形 ABCD 是平行四边形，就AB 与 CD ， BC 与 AD 分别共线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.2 平面对量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法【学问点归纳】2.2.3向量的数乘1.向量的加法：2. 向量加法的平行四边形法就：3. 向量的加法的运算率：4. 向量的减法：5. 向量减法的平行四边形法就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 向量数乘的概念：7. 向量的数乘的性质：8. 向
6、量共线的条件：9. 向量的线性运算10. 向量证明三点共线：三角形的中线与重心公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【典型例题】题型一向量的加减法例 1.下面给出的四个式子中，其中值不肯定为0 的是 A. ABBCCAB. OAOCBOCOCC. ABACBDCDD. NQQPMNMP例 2如下图， D 、E、F 分别是 ABC 的边 AB 、BC 、CA 的中点 ,FE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 AFDB ABD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. FDB. FCC. FED. BE题型二向量的作图例 3 已知在矩形ABCD 中，宽为
7、2，长为 23 , ABa,BCb, ACc,试作出向量 a+b+c ，并求出其模的大小例 4.已知向量 a、b、c、 d，求作向量 a b、c d题型三用已知向量表示未知向量BD例 5.如下图， OADB 是以向量 OA = a ， OB = b 为边的平行四边形，CMN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 BM=1BC ， CN=31CD 试用 a ， b 表示 OM ， ON ， MN 3OA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式：设D、 E、F 分别为 ABC 的边 BC、 CA、 AB 的中点，且 BC a， CA b，给出以下命题：可编辑资料 - - -
8、 欢迎下载精品名师归纳总结 AB 1a b a 1b 1a 1 b BE CF 0.其中正确的命题个数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2BE2CF22ADA.1B.2C.3D.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型四 向量的加减法综合运用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6.设两个非零向量e1 、 e2不是平行向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1假如 AB = e1 + e2， BC =2 e1+8 e2， CD =3 e1e2，求证 A、 B、D 三点共线。可编辑资料 -
9、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2试确定实数 k 的值，使 ke1 + e2 和e1 + ke2 是两个平行向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7.已知 O 是ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点 ,假设 AB =a,BC =b, OD =c,试证明 :c+a-b= OB .综合练习：1. 以下命题正确的有单位向量都相等长度相等且方向相反的两个向量不肯定是共线向量假设 a，b 满意 |a|b|且 a 与 b 同向，就 ab对于任意向量 a、b,必有 |a+b| a|+|b|2. 以下四个命题中不正确的有假设 a 为任意
10、非零向量，就a0 | a+b |=|a|+| b| a=b， 就|a|=|b|，反之不成立任一非零向量的方向都是惟一的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知| AB |6,|AC |4，就| BC | 的取值范畴为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 设 AB + CD + BC + DA =a , b 0 ,就在以下结论中， 正确的有 a b ; a + b = a ; a + b = b ; a + b a + b 5. 化简 ABBCCDDA6. 如图，在四边形 ABCD 中,依据图示填空 :a+b=,b+c=,c-d=,a+b+c-d=.可编辑资料
11、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结【学问点归纳】1. 平面对量的基本定理：2. 向量的夹角：2.3 平面对量2.3.1 平面对量基本定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【典型例题】题型一基底的判定例 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量，就有A. e1、e2 肯定平行B.e1、e2 的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有 a =e1+e2 、 RD. 假设 e1、 e2 不共线，就同一平面内的任一向量a 都有 a =e1+ue2 、u R题型二用基底表示向量例 2. 已知 a=- e1+3e2， b= 4e1+2e2，其中 e1，e2 不共线，向量c=-3 e1 +1
12、2e2，用试用 a，b 作为基底来表示 c题型三向量的夹角例 3.已知两个非零向量a， b 的夹角为 80，求以下向量的夹角： 1a 与-b 22a 与 3b练习：1.已知向量a = e1-2e2， b =2 e1+e2，其中 e1、e2 不共线，就 a+b 与 c =6 e1-2e2 的关系A. 不共线2.已知向量B.共线C.相等D. 无法确定e1 、e2 不共线，实数 x、y 满意 3x-4ye1+2 x-3ye2=6e1+3e2，就 x-y 的值等于 A.3B.-3C.0D.23. 已知 a、b 不共线，且 c =1a+2b1， 2 R，假设 c 与 b 共线，就 1=.可编辑资料 -
13、- - 欢迎下载精品名师归纳总结【学问点归纳】1. 平面对量的正交分解：2. 平面对量的坐标表示：3. 平面对量的坐标运算：4. 平面对量共线的表示：5. 三点共线：2.3.2 平面对量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面对量的坐标运算2.3.4 平面对量的共线的坐标表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【典型例题】题型一求向量的坐标例 1.已知点 A 2， 2 B-2， 2C4， 6D-5， 6 E-2， -2 F-5， -6在平面直角坐标系中，分别作出向量AC BD EF 并求向量 AC BD EF 的坐标。题型二平面对量的坐标运算例 2 已知 a =2 ， 1， b =-3
14、 ，4 ，求 a + b ， a - b ，3 a +4 b 的坐标 .例 3 已知平面上三点的坐标分别为A2， 1， B1， 3， C3 ， 4 ，求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 已知三个力 F13， 4，F2 2，5 ，F3 x ， y 的合力F1 + F2+ F3 = 0 ，求F3 的坐标 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习：1假设 M3 ， -2N-5 ， -1 且MP1 MN ，求 P 点的坐标2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2
15、假设 A0 ， 1 ， B1 ， 2 ， C3， 4， 就 AB2 BC =.3、以下各组向量中，能作为表示它们所在平面内全部向量的基底是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. a0,0,b1,2B. a1,2, b5,7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. a3,5 b6,10D a2,3b4,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知 a3, 2 ， b0,1 ，就 2a4b 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 6 ,8 B.
16、 3 ,6 C 6 , 8 D 6 ,8 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知平面对量 a1, 2， b m, n，且 2 ab ，就2a3b 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 2 ,4 B. 3 ,6 C. 5 ,10 D 4 ,8 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知 a2,3 ， b1,2 ，假设 kab 与 akb 平行，就 k 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
17、总结A. 1B.-1C.1 或-1D.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知 a 5,2 ， a 7,2 ，就 4 a3b 的坐标为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 . 已知 a2,4 ， b 1,3 ， c6,5， pa2bc ，就以 a ， b 为基底，求 p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型三 向量共线的证明及判定例 5.已知 A-1 ， -1 ， B1 ， 3， C1， 5 ， D2 ， 7 ，向量 AB 与 CD 平行吗？直线 AB 与平行于直线 CD 吗？题型四 向量共线求参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
18、纳总结例 6 已知 a4, 2 ， b6, y，且a / b ，求 y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习：1. 假设向量 a =-1 ， x 与 b =-x ， 2 共线且方向相同，就x 为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设 a3,sin ， b 21cos, 3，0,2 ，且a / b ，求角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型五三点共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2: 已知A 1,1 ， B 1,3 ， C 2,5，求证 A 、 B 、 C 三点共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3:
19、设点 P 是线段 P1P2 上的一点，P1、P2 的坐标分别是 x 1， y1， x 2， y 2.(1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时，求点 P 的坐标。(2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时，求点P 的坐标 .练习：1.假设 a=2， 3， b =4 ， -1+y，且 a b ，就 y=A.6B.5C.7D.82.假设 Ax，-1 ， B1， 3， C2，5 三点共线，就x 的值为A.-3B.-1C.1D.33. 假设 AB =i+2j ， DC =3- xi +4- yj 其中 i、 j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同且为单位向量.AB 与 DC 共线，就 x、
20、y 的值可能分别为A.1 ， 2B.2， 2C.3 ， 2D.2 ，44.已知 a=4， 2， b =6 ， y，且 a b ，就 y=.5.已知 a=1， 2， b =x， 1，假设 a +2 b 与 2 a - b 平行，就 x 的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【学问点归纳】1. 平面对量的数量级的概念：2. 平面对量数量积的几何意义：3. 向量数量积的性质：2.4 平面对量的数量积2.4.1 平面对量数量积的物理背景及含义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【典型例题】题型一 平面对量数量积的基本概念例 1. 给出以下命题：假设 |a|=|b|，就 a=
21、b 或 a=-b 。 |a b|=|a|b|。 ab=0a=0或 b=0。假设 ab且 bc，就 ac。其中正确命题的个数是A0B1C2D 3题型二 求向量的投影和数量积例 2.已知 | a |=5， | b |=4， a 与 b 的夹角 =120o，求 a b .练习： 1. 已知 a=1 ， -2 ， b=3 ， 4 ，就 a 在 b 方向上的投影是 2.已知 a ， b ，当 a b ， a b ， a 与 b 的夹角是 60时，分别求 a b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型三 求向量的模例 3.已知 | a |=6， | b |=4， a 与 b 的夹角为 60
22、o 求 a +2 b a -3 b 练习：1.已知 |a |=2， | b |=1， a 与 b 之间的夹角为，那么向量 m= a -4 b 的模为3A.2B.23C.6D.122.已知 |a |=1，| b |=2 ，1 假设 a b ，求 a b 。2 假设 a 、b 的夹角为 ，求| a + b |。3 假设 a - b与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角 .题型四 向量垂直的判定例 4.已知 | a |=3， | b |=4， 且 a 与 b 不共线， k 为何值时，向量a +k b 与 a -k b 相互垂直 .题型五 求向量的夹角的余弦值例 5.设 m、n 是两个单位向量，其夹角为
23、，求向量a =2m+n 与 b =2n-3m 的夹角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.4.2 平面对量数量积的坐标表示、模、夹角【学问点归纳】1. 平面对量的数量积的坐标表示2. 平面对量的模的坐标表示3. 平面对量的夹角的坐标表示平行，垂直【典型例题】题型一向量数量积的坐标运算例 1.a=5,-7,b=-6,-4 ，求 a 与 b 的 数量积为 例 2.已知 | a|=2 ， | b|=1 ，a 与 b 之间的夹角为，那么向量 m=a-4 b 的模为3A.2B.23C.6D.12题型二 向量的夹角坐标运算例 3.设 a=2,1,b=1,3, 求 a b 及 a 与 b
24、的夹角例 4. 已知向量 a=-2,-1,b= ,1 假设 a 与 b 的夹角为钝角 , 就取值范畴是多少 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型三 向量的垂直例 5. 已知 | a|=1 ， | b|=2 ，且 a- b 与 a 垂直，就 a 与 b 的夹角是A.60B.30 C.135D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6. 已知， a1,2,b3,2 ，当 k 为何值时，1 kab与a3b 垂直？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习：1. 已知 a 4,3, b5,62就 3 a4a b=
25、 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.23B.57C.63D.832. 已知 a 3,4 ,b=5,12 就 a与 b 夹角的余弦为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 6365B.65C.D.13135可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. a= 2,3 ,b=2,4, 就 a+ba-b =。4. 已知 a= 2,1 ,b=，3 且ab 就 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. a=4,7;b=5,2 就 a b= a = 2a3ba+2b= 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 与 a= 3,4 垂直的单位向量
26、是 43434343可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.,B.（ 5， ）C.（ ， ）或（-，）5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5554 3 4 ,3 555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D.（ ， 或 - 5 -5 557. a=2,3,b=-3,5 就 a在b 方向上的投影为 8.A1,2,B2,3,C2,0所以ABC为A. 直角三角形B. 锐角三角形C.钝角三角形D. 不等边三角形9. 已知 A1,0,B5,-2,C8,4,D.4.6就四边形 ABCD为A. 正方形B. 菱形C. 梯形D.矩形10. 已知点 A1，2，B4,-1,问在
27、 y 轴上找点 C，使 ABC 90o假设不能，说明理由。假设能，求C 坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.5 平面对量应用举例【学问点归纳】1向量的在几何中的运用：【典型例题】例 1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 已知：平行四边形 ABCD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：AC 2BD 2AB2BC 2CD 2DA 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式训练：ABC中，D、E、F 分别是 AB 、BC、CA 的中点， BF 与 CD 交于点 O，设 ABa, ACb.1证明 A 、O、E 三点共线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2用a,b. 表示向量 AO 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2.求等腰直角三角形两腰上的中线所构成的钝角的余弦值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式：已知ABC中， a2, b3, C600 ，求边长 c。可编辑资料 - - - 欢迎下载