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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 【典型例题】类型一、平面对量的相关概念例 1. 以下说法中正确的选项是 非零向量 a 与非零向量 b 共线,向量 b 与非零向量 c共线,就向量 a 与向量 c 共线； 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； 向量 a 与 b 不共线,就 a 与 b 所在直线的夹角为锐角； 零向量模为 0,没有方向； 始点相同的两个非零向量不平行； 两个向量相等,它们的长度就相等； 假设非零向量AB 与 CD 是共线向量,就A、B、 C、D四点共线；【答案】【解析】 向量共线即方向相同或相反,故非零向量间的共线关系是可以传递的；相等向量是
2、共线的,故四点可能在同始终线上； 向量不共线,仅指其所在直线不平行或不重合,夹角可能是直角或锐角；零向量不是没有方向 , 它的方向是任意的； 向量是否共线与始点位置无关； 两个向量相等,它们的长度相等,方向相同；共线向量即平行向量,非零向量AB 与 CD 是共线向量,可能A、B、C、D四点共线,也可能AB、CD平行；【总结升华】从向量的定义可以看出,向量既有代数特点又有几何特点,因此借助于向量可将代数问题与几何问题 相互转化；零向量是一特别向量,它好像很不起眼,但又到处存在；因此,正确懂得和处理零向量与非零 向量之间的关系值得我们重视；对于平行向量或共线向量,它们可以在同始终线上,也可以所在直
3、线相互 平行,方向可以相同也可以相反；相等向量就必需大小相等、方向相同；举一反三：【变式 1】判定以下各命题是否正确 , 并说明理由 : 1 假设 | a |=| b | , 就 a = b；2 单位向量都相等；3 两相等向量假设起点相同 , 就终点也相同；4 假设 a = b, c = b, 就 a = c ；5 假设 | a | b | , 就 a b；6 由于零向量方向不确定, 故它不能与任意向量平行. 【答案】1 错；模相等 , 方向未必相同；2 错；模相等 , 方向未必相同；3 正确；因两向量的模相等, 方向相同 , 故当他们的起点相同时, 就终点必重合；4 正确；由定义知是对的；5
4、 错；向量不能比较大小；6 错；规定 : 零向量与任意向量平行 . 【变式 2】在复平面中,已知点 给出下面的结论：A2,1,B 0,2,C 2,1,O0,0. 直线 OC 与直线 BA 平行； ABBCCA ； OAOCOB ；ACOB2 OA . 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其中正确结论的个数是C3 D4 A 1 B2 【答案】 C 【解析】kOC11,kBA211 2, OC AB,正确；2202 ABBCAC ,错误；,正确 . 应选 C. OAOC0, 2OB ,正确；OB2OA 4,0,AC 4
5、,0类型二、平面对量的加减及其线性运算例 2. 如图,已知梯形 ABCD 中, AB/ CD ,且 AB 2CD , M 、 N 分别是 CD 、 AB 的中点,设AD a , AB b ,试以 a、 b 为基底表示 DC 、 BC 、 MN .【解析】连结 ND ,就DC1AB1b ；NBa1 2b ；ba .22DC 1AB 12 2 DC/ NB , DCbNBBCNDADAN又DM1DC1b24CBDM1MNDNDM4【总结升华】此题实质上是平面对量基本定理的应用,由于 平面内的全部向量都可以用它们表示出来 . AD , AB 是两个不共线的向量,那么此题的关键是充分利用几何图形中的线
6、段的相等、平行关系,结合平行向量、相等向量的概念,向 量的线性运算,变形求解 . 举一反三：【变式 1】在 ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,假设AD2DB ,CD1CACB ,就=_.3【答案】2 3【解析】由图知CDCAADCDCBBD ,且AD2BD0；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - + 2 得： 3 CDCA2 CB ,CD1CA2CB ,2. b ,a1,b2,333【变式 2】 ABC 中,点 D 在 AB 上, CD 平分ACB ,假设 CBa , CA就 CDA. 1 3a2b B. 2
7、a1b C. 3a4b D. 4a3b3335555【答案】 BAF【变式3】如图 , E 为平行四边形ABCD 边 AD 上一点 , 且AE1AD , 设 ABa , BCb ,假设41AC , BFk BE ,求 k 的值 . 5【解析】AF1AC1 5ab5又BFkBEk AEABk1b - aOFOE4而 BFAFa ,AF1k a +kb4由解得 k 45【变式 4】假设 O, ,. 是不共线的任意三点,就以下各式中成立的是FD EFA EFOFOEB EFOFOEC EFOFOE【答案】 B 【变式 5】已知 O 是ABC所在平面内一点,D为BC边中点, 且2OAOBOC0 ,那么
8、 AOODAO2 OD 2AOODAO3 OD【答案】 A 【解析】由于 D为BC边中点,所以由平行四边形法就可知：OB OC 2 OD ,又 OB OC 2 OA,所以 OD OA AO . 例3. 设两个非零向量 a,b 不共线,1假设 AB a + b BC 2 a + 8b CD 3 a - b . 求证： A , B , D 三点共线 . 2试确定实数 k ,使 ka + b 和 a+ k b 共线 . 【解析】1证明：AB a + b BC 2 a + 8b CD 3 a - b ,3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - -
9、- - - - BDBCCD2a + 8b3 a - b5a + b5AB ；AB BD 共线,又它们有公共点B ,A , B , D 三点共线 . ka + ba +kb ,2ka + b 和a+kb 共线,存在实数,使即 kak1 b ,a ,b 是不共线的两个非零向量,k1 . k10,k210.k【总结升华】证明三点共线问题,可以用向量共线来解决,但应留意向量共线与三点共线的区分与联系,当两向 量共线且有公共点时,才能得到三点共线 . 向量共线的充要条件中要留意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要留意待定系数与方程思想的运用 . 举一反三：【变式 1】已知平面
10、内有一点P 及一个ABC ,假设 PAPBPCAB ,就A点 P 在 ABC 外部B点 P 在线段 AB 上C点 P 在线段 BC 上D点 P 在线段 AC 上【答案】 D 【解析】 PAPBPCAB ,PAPBPCAB0,即PAPBBAPC0,PAPAPC0, 2PACP ,点 P 在线段 AC 上. a2 b, 已知 A、C、D【变式 2】假设 a、 b 是两个不共线的向量, AB2 a+kb , BCab,CD三点共线 , 求实数 k 的值 . 【答案】k73a +k1 b ,CDa2 b, 【解析】ACABBC2a +kba + bA,C,D 三点共线 ,AC CD 共线 , b ,
11、令 ACCD ,不为零 , 3 a +k1 ba2 a2k3,2 .k714 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 3】已知向量 a 、 b 不共线,cka + bkR,da - b ,假如 c d ,那么Ak=1 且 c 与 d 同向Bk=1 且 c 与 d 反向Ck=1 且 c 与 d 同向Dk=1 且 c与 d 反向【答案】 D 【解析】 c d 且 a 、 b 不共线,存在唯独实数使 c =d ,2 , b 就肯定共线的ka + ba - b k,k1,应选 D. 11【高清课堂： 平面对量的概念与线性运
12、算401193 例 2】【变式 4】已知向量a b ,且ABa2 , b BC5 a6 , b CD7 a A 、 B、D BA、B、C CB、C、 D DA 、C、D 【答案】 A 类型三、平面对量的基本定理、坐标表示及综合应用数例 4设向量a1,3,bx1, 2,c = a2 b ,d1ab 假设d/c ,求使 cd 成立的实2和 x 的值 . 【解析】由题知：ca2 b2x1,7,d1ab3x,1222d/c ,12x173x0,解得x5,223c7,7,d1,1362由 cd得7 3,76,2, 72,即14.【总结升华】考查向量的坐标运算及平行垂直的坐标表示是考试命题的主要方式之一,
13、预备把握公式 ,敏捷运用 . 举一反三：【变式 1】已知 a 1,2,b 1,x,假设 2a b , a 2 b 是共线向量 , 求实数 x 的值 ; 【解析】由已知有 : 2 a b 3,4 x,a 2 b 1,2 2x, 2 a b / a 2 b , 3 2 2 1 4 x 0 , 解得 x 2 . 【变式 2】设向量 a=1,2,b=2,3；假设向量 a b 与向量 c= 4,7共线, 就 =_. 【答案】 2 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】ab2,23, ab /c ,7AD2,4232 .
14、 故填 2. 【变式 3】如图,在ABC 中, AD AB ,BC3BD , | 1就 AC AD_. 【答案】3【解析】建系如下图 : 令 Bx B,0, Cx C,yC,D0,1,BCx Cx B,y C,BDx B,1,BC3BD ,b2,1,就 a =_. x CxB3xB,x C13x B,y C3yC3AC13x B,3,AD0,1,就AC AD3. 【变式 4】假设平面对量a 、 b 满意ab1,ab 平行于 x 轴,【答案】 1,1或 3, 1【解析】设 a=x,y,就 ab =x+2 ,y1,1. 由题意得x2 2y2 11y11或yxx3y10 a = 1, 1或 3,1.
15、 【高清课堂： 平面对量的概念与线性运算401193 例 3】x2y25相切,就 c 的值为【变式 5】假设直线2xyc0按向量a,11平移后与圆A 8 或 2 B6 或 4 C4 或 6 D2 或 8 【答案】 A 例 5A,B,C是不共线三点,点O是 A,B,C确定平面内一点,假设|OA2 |OB2 |OC2 |取最小值时, O是 ABC的A重心 B垂心 C内心 D外心【答案】 A【解析】设Ox,y,Ax 1,y1,B x2, y2,Cx3,y3x 32yyy 32y22 y 3就S|OA2 |OB2 |OC|2xx 12yy 12xx 22yy22x3x22x 1x 2x 3x2 x 1
16、2 x 22 x 33y22y 1y 2y32 y 123xx 1x 2x 323yy 1y 2y32k336 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就当xx 1x 2x3且yy 1y2y 3时,S mink ,应选 A. . 33【总结升华】关注三角形的“ 心”,包括三角形的重心、垂心、外心、内心和旁心举一反三：【变式 1】在ABC 中,点 O 满意 OA ABOA AC ,就点 O在ABC的上A. 角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高【答案】 D；【解析】 OA ABOA AC ,OA ABOA AC0,ABC
17、即OAABAC0,OA CB0, OACB ,所以点 O 在ABC 的高上 . 【变式 2】平面 ABC及一点 O满意 AO ABBO BA,BO BCCO CB ,就点 O是 ABC的A重心 B垂心 C内心 D外心【答案】选D.【解析】由 AO ABBO BA 得ABAOBO0 OBOAOBOA0即|OB2 |OA2 | |OB| |OA ,同理 |OB| |OC|,应选 D. 【变式 3】平面内ABC 及一点 O满意AO ABAO AC,CO CACO CB,就点 O是|AB|AC|CA|CB|的A重心B垂心C内心D外心【答案】 C 【解析】对于AO ABAO AC的懂得,其中AB ABe AB,即为 AB 方向上的单位向量. |AB|AC|【变式 4】在ABC 中,点 O 满意OAOBOC0,就点 O在ABC的上A. 角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高【答案】 B；【解析】如图,以OB、OC为邻边作平行四边形BDCO ,就 OBOCODOA ,就点 A、 O 、 D 三点共线,而且在平行四边形 所以 AE 为 ABC 的中线7 BDCO 中,点 E 为 BC 的中点,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页