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1、 【典型例题】类型一、平面向量得相关概念 例 1、下列说法中正确得就是 非零向量与非零向量共线，向量与非零向量共线，则向量与向量共线；任意两个相等得非零向量得始点与终点就是一平行四边形得四个顶点;向量与不共线，则与所在直线得夹角为锐角；零向量模为 0，没有方向；始点相同得两个非零向量不平行；两个向量相等，它们得长度就相等；若非零向量与就是共线向量，则 A、B、C、四点共线。【答案】【解析】向量共线即方向相同或相反，故非零向量间得共线关系就是可以传递得；相等向量就是共线得，故四点可能在同一直线上；向量不共线,仅指其所在直线不平行或不重合,夹角可能就是直角或锐角；零向量不就是没有方向，它得方向就是
2、任意得;向量就是否共线与始点位置无关;两个向量相等，它们得长度相等，方向相同;共线向量即平行向量,非零向量与就是共线向量，可能 A、B、D 四点共线,也可能 AB、CD 平行。【总结升华】从向量得定义可以瞧出,向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量可将代数问题与几何问题相互转化。零向量就是一特殊向量，它似乎很不起眼,但又处处存在。因此，正确理解与处理零向量与非零向量之间得关系值得我们重视。对于平行向量或共线向量，它们可以在同一直线上，也可以所在直线互相平行，方向可以相同也可以相反;相等向量则必须大小相等、方向相同。举一反三：【变式】判断下列各命题就是否正确,并说明理由：（1）若，则；（2
3、)单位向量都相等;（3）两相等向量若起点相同,则终点也相同;(4)若，则;（5)若,则;（)由于零向量方向不确定，故它不能与任意向量平行、【答案】（1)错;模相等，方向未必相同;（)错;模相等,方向未必相同；(3)正确；因两向量得模相等,方向相同,故当她们得起点相同时，则终点必重合;（）正确;由定义知就是对得；（）错；向量不能比较大小;(6)错;规定：零向量与任意向量平行、【变式 2】在复平面中，已知点 A(，1），（0，2),C（2,1）,O（,0)、给出下面得结论：直线与直线 BA 平行；;、其中正确结论得个数就是()A1 B。2 C3 D.4【答案】【解析】，,CAB,正确;,错误；，正
4、确；,正确、故选 C、类型二、平面向量得加减及其线性运算 例 2、如图,已知梯形中，且，、分别就是、得中点，设，,试以、为基底表示、【解析】连结,则；，；又、【总结升华】本题实质上就是平面向量基本定理得应用,由于,就是两个不共线得向量，那么平面内得所有向量都可以用它们表示出来、本题得关键就是充分利用几何图形中得线段得相等、平行关系，结合平行向量、相等向量得概念，向量得线性运算，变形求解、举一反三：【变式 1】在ABC 中,已知 D 就是 A边上一点,若,，则=_、【答案】【解析】由图知 ,且。+2 得：,，、【变式 2】BC 中，点 D 在 AB 上，平分,若，,，则（)A、B、C、D、【答案
5、】【变式 3】如图，为平行四边形边上一点,且，设,，若,，求得值、【解析】又 而，由解得、【变式】若就是不共线得任意三点,则以下各式中成立得就是(）A.B。C D。【答案】【变式 5】已知就是所在平面内一点，为边中点，且,那么()A.。【答案】A【解析】因为为边中点,所以由平行四边形法则可知：，又，所以、例3、设两个非零向量不共线,(1)若求证:,，三点共线、（)试确定实数，使与共线、【解析】(）证明：;共线,又它们有公共点，,三点共线、（2)与共线，存在实数，使，即,就是不共线得两个非零向量,、【总结升华】证明三点共线问题,可以用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线得区别与联系,当两向
6、量共线且有公共点时，才能得到三点共线、向量共线得充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线得其她向量，要注意待定系数与方程思想得运用、举一反三：【变式 1】已知平面内有一点 P 及一个BC,若，则(）.点 P 在ABC 外部 B。点 P 在线段 AB 上 C.点 P 在线段 B上 D点在线段C 上【答案】D 【解析】,，即,，点在线段C 上、【变式 2】若、就是两个不共线得向量，,，,已知、C、三点共线,求实数得值、【答案】【解析】,，A，C,三点共线，共线，令，不为零,【变式 3】已知向量、不共线,，如果,那么（）k=1 且与同向 .k且与反向 C。k=1 且与同向 D
7、=1 且与反向【答案】【解析】且、不共线,存在唯一实数使，,故选 D、【高清课堂:平面向量得概念与线性运算 401193 例 2】【变式】已知向量,且则一定共线得()()A、B、D (B)A、B、C （）B、(D）A、C、D【答案】A 类型三、平面向量得基本定理、坐标表示及综合应用 例 4.设向量，,若，求使成立得实数与得值、【解析】由题知：,，解得，,由 得，即、【总结升华】考查向量得坐标运算及平行垂直得坐标表示就是考试命题得主要方式之一，准备掌握公式,灵活运用、举一反三：【变式 1】已知,若,就是共线向量，求实数得值;【解析】由已知有：,，,，解得、【变式 2】设向量 a=（,2)，b=（
8、2，3)。若向量与向量 c（4，7）共线，则_、【答案】2【解析】，、故填、【变式】如图，在ABC 中，ADB，则_、【答案】【解析】建系如图所示：令（xB，0）,C（C,yC),D(0，),，,则、【变式 4】若平面向量、满足,平行于 x 轴，,则=_、【答案】(，1)或(，1)【解析】设(x，），则=（x+,y1），由题意得或、=（1，1）或（,1）、【高清课堂：平面向量得概念与线性运算011例】【变式 5】若直线按向量平移后与圆相切，则得值为（）A。8 或 B6 或 C.4 或6 D。2 或8【答案】A 例 5。A，B,就是不共线三点,点就是,，确定平面内一点，若取最小值时,O 就是B得
9、()A。重心 B。垂心 C。内心 D。外心【答案】【解析】设 O(x，y)，A(x1，y1）,B（x2，y2),C（x3，y3)则 222222112233()()()()()()xxyyxxyyxxyy 则当且时,故选 A、【总结升华】关注三角形得“心,包括三角形得重心、垂心、外心、内心与旁心、举一反三：【变式 1】在中,点满足，则点在得()上 A、角平分线 、中线 C、中垂线 D、高【答案】D;【解析】，,即，,所以点在得高上、【变式 2】平面AC 及一点 O 满足，则点 O 就是AC 得()A。重心 B。垂心 C内心 。外心【答案】选 D、【解析】由得 即,同理，故选 D、【变式 3】平面内及一点O满足，则点就是得（)（A）重心 （B)垂心 （C)内心 （D）外心【答案】C【解析】对于得理解,其中，即为方向上得单位向量、【变式】在中，点满足,则点在得(）上 A、角平分线 B、中线 C、中垂线 D、高【答案】；【解析】如图，以、O为邻边作平行四边形,则，则点、三点共线，而且在平行四边形中，点为得中点,所以为得中线