2022年随机过程题库1 .pdf

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1、随机过程综合练习题一、填空题（每空3 分）第一章1nXXX,21是独立同分布的随机变量，iX的特征函数为)(tg，则nXXX21的特征函数是。2)(YXEE。3X的特征函数为)(tg，baXY，则Y的特征函数为。4条件期望)(YXE是的函数，（是 or 不是）随机变量。5nXXX,21是独立同分布的随机变量，iX的特征函数为)(tgi，则nXXX21的特征函数是。6n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。第二章7宽平稳过程是指协方差函数只与有关。8在独立重复试验中，若每次试验时事件A 发生的概率为)10(pp，以)(nX记进行到n次试验为止A 发生的次数，则,2,1 ,0),(nnX是过

2、程。9正交增量过程满足的条件是。10正交增量过程的协方差函数),(tsCX。第三章11 X(t), t 0 为具有参数0的齐次泊松过程，其均值函数为；方差函数为。12设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1，2，3且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。13 X(t), t 0为具有参数0的齐次泊松过程，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页nsXstXP)()(。, 1 , 0n

3、14设 X(t), t 0 是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间Wn的数学期望是。15在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司若每 次 赔 付 金 额 是 均 值 为10000元 的 正 态 分 布 ， 求 一 年 中 保 险 公 司 的 平 均 赔 付 金额。16到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t) 相互独立，则在0，t内到达汽车总站的乘客总数是（复合 or 非齐次）泊松过程17设顾客以每分钟2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过3人

4、的概率是第四章18 无限制随机游动各状态的周期是。19非周期正常返状态称为。20设有独立重复试验序列1,nXn。以1nX记第 n 次试验时事件A 发生，且pXPn1，以0nX记第 n 次试验时事件A 不发生，且pXPn10，若有1,1nXYnkkn，则1,nYn是链。答案一、填空题1)(tgn；2EX；3)(atgeibt4;Y是5niitg1)(；6等价7时间差；8独立增量过程；90)()()()(3412tXtXtXtXE10),(min2tsX11tt;； 12000)(11ttetft000)()()(321321ttetft13tnent!)(14n15240000 16复合；174

5、371e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页18 2；19遍历状态；20齐次马尔科夫链；二、判断题（每题2 分）第一章1)(tgi),2, 1(ni是特征函数，niitg1)(不是特征函数。 （）2n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。（）3任意随机变量均存在特征函数。（）4)(tgi),2, 1(ni是特征函数，niitg1)(是特征函数。 （）5设1234X ,X ,X ,X是零均值的四维高斯分布随机变量，则有1234123413241423()()()+()()+()()E X X X XE X X

6、E X XE X XE X XE X XE X X（）第二章6严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（）7独立增量过程是马尔科夫过程。（）8维纳过程是平稳独立增量过程。（）第三章9非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（）第四章10有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（）11有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。（）12有限马尔科夫链，若有状态k 使0lim)(niknp，则状态k 即为正常返的。 （）13设Si，若存在正整数n，使得,0,0)1()(niiniipp则 i 非周期。（）14有限状态空间马氏链必存在常返状态。（）15 i 是正常返周期的充要条件是)(li

7、mniinp不存在。（）16平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（）17有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（）18 i 是正常返周期的充要条件是)(limniinp存在。（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页19若ij，则有ijdd（）20不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态（）答案二、判断题1234567891011121314151617181920三、大题第一章1 （ 10 分）（易）设),(pnBX，求X的特征函数，并利用其求EX。2 （ 10 分）（中）利用重复抛掷硬币的试验

8、定义一个随机过程，ttttX出现反面出现正面,2,cos)(出现正面和反面的概率相等，求)(tX的一维分布函数)2/1 ,(xF和)1 ,(xF，)(tX的二维分布函数)1 ,2/1 ;,(21xxF。3 （ 10 分）（易）设有随机过程0,)(tBtAtX，其中 A 与 B 是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布，求)(tX的一维和二维分布。第二章4 （ 10 分）（易）设随机过程X(t)=Vt+b ，t (0,+ ), b 为常数， V 服从正态分布N(0，1)的随机变量，求X(t)的均值函数和相关函数。5 （ 10 分）（易）已知随机过程X(t) 的均值函数mx(t)和协方差函数B x

9、(t1, t2)， g(t)为普通函数，令 Y(t)= X(t)+ g(t)，求随机过程Y(t) 的均值函数和协方差函数。6 （ 10 分）（中）设),(TttX是实正交增量过程，,0)0(),0XT是一服从 标 准 正 态 分 布 的 随 机 变 量 ， 若 对 任 一)(,0tXt都 与相 互 独 立 ， 求),0,)()(ttXtY的协方差函数。7 （10 分）（中）设,)(tYtXtZ，若已知二维随机变量),(YX的协精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页方差矩阵为2221，求)(tZ的协方差函数。8 （10

10、分）（难）设有随机过程),(TttX和常数a，试以)(tX的相关函数表示随机过程TttXatXtY),()()(的相关函数。第三章9 （10 分）（易）某商店每日8 时开始营业， 从 8 时到 11 时平均顾客到达率线性增加在8 时顾客平均到达率为5 人/时，11 时到达率达到最高峰20 人/时，从 11 时到 13 时，平均顾客到达率维持不变，为20 人/时，从 13 时到 17 时，顾客到达率线性下降，到17 时顾客到达率为 12 人 /时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30 9：30 间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少

11、? 10 （15 分）（难）设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0，t）内无人购买商品的概率。11 （15 分）（难）设X1(t) 和 X2 (t) 是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程，证明： Y(t)是具有参数21的泊松过程。12 （10 分）（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2 户定居即2。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一户两人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。13（ 10

12、分） （难）在时间 t 内向电话总机呼叫k 次的概率为,2,1, 0,!)(kekkpkt，其中0为常数如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t内呼叫 n 次的概率)(2nPt14 （10 分）（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30 人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min 15 （15 分）（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000 个每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001， 求一个月内落于中国地面陨石数W 的 EW、 varW和 PW 2 16 （10 分）（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程

13、设1min 内没有车辆通过的概率为 0.2，求 2min 内有多于一辆车通过的概率。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页17 （10 分）（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30 人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4 min 18 （15 分）（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6 的泊松过程，订阅1 年、 2 年或 3 年的概率分别为1 2、l3 和 16，且相互独立设订一年时，可得1 元手续费；订两年时，可得2 元手续费；订三年时，可得3 元手续费 . 以 X(t) 记在

14、 0，t内得到的总手续费，求 EX(t) 与 var X(t) 19 （10 分）（易）设顾客到达商场的速率为2 个 min，求(1) 在 5 min 内到达顾客数的平均值； (2) 在 5min 内到达顾客数的方差；(3) 在 5min 内至少有一个顾客到达的概率20 （10 分）（中）设某设备的使用期限为10 年，在前5 年内平均2.5 年需要维修一次，后 5 年平均 2 年需维修一次，求在使用期限内只维修过1 次的概率21 （15 分）（难）设X(t) 和 Y(t) (t 0) 是强度分别为X和Y的泊松过程，证明：在X(t) 的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y(t) 恰好有 k 个事

15、件发生的概率为kYXYYXXp。第四章22 （10 分）（中）已知随机游动的转移概率矩阵为5 .005 .05 .05 .0005 .05 .0P求三步转移概率矩阵P(3)及当初始分布为13,021000XPXPXP时，经三步转移后处于状态3 的概率。23 （15 分）（难）将2 个红球 4 个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3 个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中(甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中)，以 X(n) 表示经过n 次交换后甲盒中红球数，则X(n) ，n0为齐次马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（2）证明：X(n) ， n 0 是遍历链；

16、 （ 3）求2, 1 ,0,lim)(jPnijn。24 （10 分）（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：)4.0,2.0,4.0()0(TP6.02.02.02.07.01.01 .01.08.0P求下一、二个月的销售状态分布。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页25 （15 分）（难）设马尔可夫链的状态空间I1，2， 7，转移概率矩阵为2.08.0000007.03.000000003 .05 .02 .000006 .004 .0000004 .06 .0001 .01.01.02 .02 .0

17、2.01.01 .01.01.001 .02.04.0P求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。26（15 分） （难）设河流每天的BOD( 生物耗氧量 )浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I=1 ，2，3，4是按 BOD 浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵(以一天为单位)为4.04.02 .001.06.02 .01 .01.02.05 .02 .001.04 .05 .0P若 BOD 浓度为高，则称河流处于污染状态。(1)证明该链是遍历链；(2)求该链的平稳分布；(3)河流再次达到污染的平均时间4。27 （10 分）（易）设马尔可夫链的状态空间I0，1，2， 3，转移概率矩阵为1

18、0004/14/14/14/1002/12/1002/12/1P求状态空间的分解。28 （15 分）（难）设马尔可夫链的状态空间为I1 ，2，3，4转移概率矩阵为2/104/14/1003/23/100100001P讨论)(1limninp29 （10 分）（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为2/12/102/102/102/12/1P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页求其平稳分布。30 （15 分）（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p，乙胜的概率是q，和局的概率为r，且 p+q+r=1设每局比赛胜者

19、记1 分，负者记一1分和局记零分。当有一人获得2 分时比赛结束以nX表示比赛至n 局时甲获得的分数，则1,nXn是齐次马尔可夫链（ 1）写出状态空间I； （2）求出二步转移概率矩阵；（ 3） 求甲已获1 分时，再赛两局可以结束比赛的概率31 （10 分）（中） (天气预报问题 ) 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为，规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态l 。因此问题是两个状态的马尔可夫链设4 .0,7.0，求今天有雨且第四天仍有雨的概率32 （10 分）（中）设1,nXn是一个马尔可夫链，其状态空间I=a ，b，c，

20、转移概率矩阵为05/25/33/103/24/14/12/1P求（ 1）|,07654321cXbXcXaXcXaXcXbXP（ 2）|2bXcXPnn33 （15 分）（难）设马尔可夫链0,nXn的状态空间I 1 ，2， 6，转移概率矩阵为2/10002/10000001003/103/13/1010000100000000100P试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。答案三、大题1 解：引入随机变量nipqXi2, 110（1 分）iitXiEet)(peqeitit10qpeit（3 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页

21、，共 21 页),(1pnBXXnii（4 分）itXEet)(niiXitEe1)(niitXiEe1nitqpe)( （6 分）iEX)0(（8 分）)0(iEX0)(tnitqpei01)(titnitipeqpeninp（10 分）2解：依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2 （1）当 t=1/2 时， X（1/2）的分布列为211)21(0)21(XPXP其分布函数为11102100);21(xxxxF（3 分）同理，当t=1 时 (1)的分布列为212)1(1)1(XPXP其分布函数为21212110); 1(xxxxF（5 分）（2）由于在不同时刻投币是相互独立的，故在t=1/2

22、，t=1 时的联合分布列为412)1(,1)21(1)1(,1)21(2)1(,0)21(1)1(,0)21(XXPXXPXXPXXP故联合分布函数为21121121021102/14/1100),; 1 ,21(212121212121xandxxandxorxandxxandxxorxxxF（10 分）3解：对于任意固定的t T，X(t) 是正态随机变量，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页0)()()(tBEAEtXE221)()()(ttBDADtXD所以 X （t ）服从正态分布)1 ,0(2tN（3 分

23、）其次任意固定的221121)(,)(,BtAtXBtAtXTtt则依 n 维正态随机向量的性质，)(),(21tXtX服从二维正态分布，且0)()(21tXEtXE2222111)(1)(ttXDttXD（8 分）2121211)()()(),(tttXtXEtXtXCov所以二维分布是数学期望向量为（0， 0） ，协方差为222121211111tttttt的二维正态分布。（10 分）4解：bVttX)(，)1 ,0( NV，故)(tX服从正态分布，bbtEVbVtEtXE)(22)(tDVtbVtDtXD均值函数为btXEtm)()(（4 分）相关函数为bVtbVtEtXtEXttR21

24、1121)()(),(221212)(bbttVttVE221btt（10 分）5 解：)()()()()()(tgtmtgtXEtEYtmXY（4 分）)()(),(),(212121tmtmttRttBYYYY)()()()(2121tmtmtYtEYYY)()()()()()()()(22112211tgtmtgtmtgtXtgtXEXX)()(),(2121tmtmttRXXX),(21ttBX（10 分）6解：因为),(TttX是实正交增量过程，故0)(tXE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页服从标准正

25、态分布， 所以1,0DE（2 分）0)()(EtXEtYE（4 分）又因为)(,0tXt都与相互独立)()()()()(),(tXsXEtYsYEtYsYCov （6 分）2)()()()(EtXEsXEtXsXE1)(),(tXsXCov（8 分）1),(min2tsX（10 分）7解：利用数学期望的性质可得，)()()()(),(tYtXsYsXEtsCYXYXZ （2 分）)()()()(tYtXsYsXEYXYX)()()(2YXXYtXEXE2)()()(YYXYEstYsXE（8 分）stDYYXCovtsDX),()(2221)(stts（10 分）8解：)()()()(),(2

26、21121tXatXtXatXEttRY（2分）)()()()()()()()(21212121tXtXEatXtXEtXatXEatXatXE),(),(),(),(21212121ttRattRtatRatatRXXXX（ 10 分）9 解：根据题意知顾客的到达率为95)5(22053203055)(tttttt（3 分）10)55()5 .0()5.1(5.15.0dttmmXX（6 分）100)5.0()5 .1(eXXP（10 分）10解：设0),(ttX表示到达商店的顾客数，i表示第 i 个顾客购物与否，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

27、- - - -第 11 页，共 21 页个顾客不购物第个顾客购物第iii01则由题意知i独立同分布且与)(tX独立pPpPii1)0(,)1(因此，)(1)(tXiitY是复合泊松过程，表示（0，t）内购买商品的顾客数，（5分）由题意求0)(tYP0)(1)(1)(,00ktXiitXiiktXPP0)(10kiikPktXP（10 分）ktkkqekt0!)(0!)(kktkqteptqtteee （15 分）11证明：)()(ntYtYP)()()()(2121ntXtXtXtXP)()()()(2211ntXtXtXtXPniintXtXitXtXP02211)()(,)()(（ 5 分

28、）niintXtXPitXtXP02211)()()()(（ 10 分）niinieinei02121)!()(!)(!)(21)(21nen2,1 ,0n故 Y(t) 是具有参数21的泊松过程（15 分）12. 解：设)(tN为在时间 0，t内的移民户数，其是强度为2 的泊松过程，iY表示每户的人数，则在 0，t内的移民人数)(1)(tNiiYtX是一个复合泊松过程。（2 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页iY是独立同分布的随机变量，其分布为iY1 2 3 4 P613131616436152iiEYEY（

29、4 分）2561552)5()5(1EYENmX（7 分）321564352)5()5(21EYDNX（10 分）13 解： 以 A 记时间 2t 内呼叫 n 次的事件，记第一时间间隔内呼叫为kH， 则)()(kPHPtk，第二时间间隔内)()|(knPHAPtk成立，于是eknekknPkPnPknnkknkttt)!(!)()()(002（4 分）nkknnnknCneknknne0202!)!(!（8 分）2!)2(enn（10 分）14 解： 由题意，顾客到达数N(t) 是强度为的泊松过程， 则顾客到达的时间间隔 1,nXn服从参数为的指数分布，00030)(30 xxexfxX（4

30、分）16023030602edxeXPx（10 分）15解：设)(tX是 t 年进入中国上空的流星数，)(tX为参数10000的齐次泊松过程设,2, 1,0, 1iiiYi个流星不落于地面第个流星落于地面第即0001.09999.010iY由题意知，)(1tXiiYW是一个复合泊松过程（5 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页1210001. 010000121)(1EYtEXEW1210001.0110000121)(221EYtVarXVarWW是参数为1p的泊松过程（10 分） 101112WPWPWPW

31、P121121121112101211! 1)121(! 0)121(1eeee （15 分）16解：以)(tN表示在),0t内通过的车辆数，设0),(ttN是泊松过程，则, 2, 1 ,0,!)()(kektktNPtk（2 分）5ln2.00)1 (eNP（5 分） 1)2(0)2(1 1)2(1 1)2(NPNPNPNP5ln25225242122ee（10 分）17 解： 由题意，顾客到达数N(t) 是强度为的泊松过程， 则顾客到达的时间间隔 1,nXn服从参数为的指数分布，00030)(30 xxexfxX（4 分）2604030130604edxeXPx（10 分）18解：设Z(t

32、) 为在 0，t内来到的顾客数，)(tZ为参数6的齐次泊松过程，iY是每个顾客订阅年限的概率分布，且iY独立同分布，由题意知，)(1)(tZiiYtX为0，t内得到的总手续费，是一个复合泊松过程（5 分）6106133122111EY精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页62061331221122221EY（8 分）ttEYtEZtEX106106)()(1ttEYtVarZtVarX206206)()(21 （15 分）19解： N (t)表示在 0，t)内到达的顾客数，显然 N (t), t 0是泊松过程，2，

33、则当t=2 时， N （5）服从泊松过程,2, 1,0,!)52()5(52kekkNPk（5 分）故10)5(;10)5(NDNE1010)5(11)5(eNPNP（10 分）20解：因为维修次数与使用时间有关，所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数1052/1505 .2/1)(ttt则5 .4215.21)()10(10550100dtdtdtt（6 分）295. 429!1!5.41)0()10(eeNNP（10 分）21证明：设X（t）的两个相邻事件的时间间隔为，依独立性有YekktYtYPkY!)()()(（2 分）而 X（t）的不同到达时刻的概率密度函数为othersefXXX00

34、)(（4 分）由于 X（ t）是泊松过程，故Y（t）恰好有k 个事件发生的概率为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页kYXYYXXkYXkYXkkYXXkYkkdeekdeekpXYXY100)(!)(（ 8 分）（10 分）22解：3)3(PP5.005 .05.05.0005.05 .05.005 .05.05.0005.05 .05.005.05.05.0005.05.025.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0（6 分）25.025.01)3()3(3333ppp（

35、10 分）23解：由题意知，甲盒中的球共有3 种状态，)(nX表示甲盒中的红球数甲盒乙盒2 2 红、 1 白3 白1 1 红、 2 白1 红、 2 白0 3 白2 红、 1 白Pp00甲乙互换一球后甲盒仍有3 个白球|甲盒有 3 个白球 =P从乙盒放入甲盒的一球是白球=1/3 Pp01 甲乙互换一球后甲盒有2 个白球 1 个红球|甲盒有 3 个白球 =P 从乙盒放入甲盒的一球是红球=2/3 Pp02甲乙互换一球后甲盒有1 个白球 2 个红球|甲盒有 3 个白球 =0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页以此类推，一

36、步转移概率矩阵为3/13/209/29/59/203/23/1P（8 分）（2）因为各状态互通，所以为不可约有限马氏链，且状态0 无周期，故马氏链为遍历链。（ 10 分）（3）),(210解方程组1210P即1319232953292312102122101100（13 分）解得51,53,5121051lim53lim,51lim2)(21)(10)(0ninninninppp（15 分）24解：)4.0,2.0,4 .0()0()1(PPPTT6 .02.02.02 .07.01.01.01 .08.0)32.0,26.0,42.0(（5 分）)4.0,2.0,4.0()0()2(2PPP

37、TT6 .02.02.02 .07.01.01.01 .08.06 .02.02 .02 .07.01.01.01 .08 .0)286.0,288.0,426.0(（ 10 分）25解：2,1N是非常返集，5 ,4,31C，7,62C是正常返闭集。（5 分）常返闭集5 ,4,31C上的转移矩阵为3.05 .02.06.004.004 .06.0解方程组1543P，其中),(543，解得236,237,2310543精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页1C上的平稳分布为0,0,236,237,2310,0,0（10

38、 分）同理解得2C上的平稳分布为157,158,0,0,0,0,0（15 分）26. 解： （1）因为4321，故马氏链不可约，又因为状态1 非周期，故马氏链是遍历链（5 分）（2）解方程组14321P其中),(4321解得1044.0,3236.0,3028.0,2112.04321（10 分）（3）天）(9144（15 分）27解：状态传递图如下图（2 分）由状态 3 不可能到达任何其它状态，所以是常返态由状态2 可到达0， 1，3 三个状态，但从0，1，3 三个状态都不能到达状态2，且141)1(221)(22ffnn，故状态 2 是非常返状态。（5 分）状态 0，1 互通且构成一个基本

39、常返闭集，1212121212121)3(00)2(00)1(001)(00ffffnn故状态 0，1 是常返态。（8 分）于是状态空间分解为31 ,02I（10 分）28解：状态传递图如下图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页（5 分）状态 1 和状态 2 都是吸收态 都是正常返非周期的基本常返闭集，而 N3，4是非常返集 有,31, 0, 1)(31)(21)(11nnnppp（8 分）111)(411)(11)(41)(4121214121412141nnnllnllnlnfpfp（12 分）以上说明)(1l

40、imninp存在， 但与 i 的取值有关。（15 分）29解：设),(321解方程组1321P即15.05.05.05 .05.05.0321323312211 （6 分）解得31,31,31321（ 10 分）30解：（1）状态空间为I=-2 ，-1，0，1，2 （2）一步转移概率矩阵为1000000000000001prqprqprqP（6 分）1000020222020000122222222)2(prppqrrqqpprpqrrqqpprpqrrqqPP（10 分）（3）经二局结束比赛包括两种情形：甲得1 分经二步转移至得2 分而结束比赛，或甲得 1 分经二步转移至得-2 分(乙得 2

41、 分)而结束比赛因此，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页)1(0)()2(41)2(45rpprpppp（ 15 分）31解：一步转移矩阵为6. 04 .03. 07 .01111100100ppppP（ 2 分）两步转移矩阵为48.052. 039.061. 06. 04. 03. 07. 06. 04 .03. 07 .0)2(PPP（5 分）三步转移矩阵为444.0556.0417.0583.06 .04 .03 .07 .048. 052.039. 061.0)2()3(PPP（8 分）从而得到今天有雨

42、且第四天仍有雨的概率为)3(00p0.583 （ 10分）32解：由马尔科夫性和齐次性可得2500352415341533152|67564534231201cXbXPaXcXPcXaXPaXcXPcXaXPbXcXPcXbXPP（5 分）（ 2）因为所求为二步转移概率，先求两步转移概率矩阵90/1720/330/176/110/315/824/540/930/17)2(PPP故61|212bXcXPbXcXPnnnn（10 分）33解：状态传递图为对状态 1 有)4(0,1,0,0)(11)3(11)2(11)1(11nffffn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页故111f，状态 1 为常返态。1)(1113nnnf（6 分）由状态 1 生成的基本常返闭集为5 ,3,11:11kkC类似的，状态6 也是正常返态，236，由 6 生成的基本常返闭集6,22C（ 10 分）D=4 是非常返集，从而状态空间I=4 1 ，3，5 2 ，6（12 分）C1中状态周期均为3，又, 0)1(66f故状态6 是非周期的，即C2中状态是遍历的，因为,0)1(44f故状态 4 也是非周期的。（15 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页