2022年随机过程习题答案 .pdf

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1、1 随机过程部分习题答案习题 2 2.1 设随机过程btbVttX),0(,)(为常数，)1,0( NV，求)(tX的一维概率密度、均值和相关函数。解 因)1 ,0( NV，所以1,0 DVEV，bVttX)(也服从正态分布，bbtEVbVtEtXE)(22)(tDVtbVtDtXD所以),()(2tbNtX，)(tX的一维概率密度为),(,21);(222)(xettxftbx，),0(t均值函数btXEtmX)()(相关函数)()()(),(bVtbVsEtXsXEtsRX22bbtVbsVstVE2bst2.2 设随机变量Y 具有概率密度)( yf，令YtetX)(，0,0 Yt，求随机

2、过程)(tX的一维概率密度及),(),(21ttRtEXX。解对于任意0t，YtetX)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，ln)();(xYtPxePxtXPtxFtY)ln(1ln1lntxFtxYPtxYPY对 x 求导得)(tX的一维概率密度xttxftxfY1)ln();(，0t均值函数0)()()(dyyfeeEtXEtmyttYX相关函数0)()(2121)()()(),(212121dyyfeeEeeEtXtXEttRttyttYtYtYX名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

3、 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - - 2 2.3 若从0t开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程时 刻 抛 得 反 面时 刻 抛 得 正 面tttttX,2),cos()(试求：（1）)(tX的一维分布函数), 1(),21(xFxF和；（2）)(tX的二维分布函数),; 1 ,21(21xxF；（3）)(tX的均值)1(),(XXmtm，方差)1(),(22XXt。解 （1）21t时，)21(X的分布列为)21(X0 1 P 2121一维分布函数1,110,210,0),21(xxxxF1t时，)1(X的分布列

4、为)1(X-1 2 P 2121一维分布函数2,121,211,0),1(xxxxF（2）由于)1()21(XX与相互独立，所以)1(),21(XX的分布列为)1(X)2/1(X-1 2 0 4141名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - 3 1 4141二维分布函数2,1, 121, 12,10,2121,10,4110,0),;1 ,21(212121212121xxxxxxxxxxxxF或或（3）tttttmX)

5、cos(21221)cos(21)(21)1(Xm222222)c o s (21)2(21)(c o s21)()()(tttttEXtXEtX)cos()(cos412)(cos212222tttttt)cos()(cos4122tttt2)cos(21tt49)1(2X2.4 设有随机过程)sin()cos()(tBtAtX，其中为常数，BA,是相互独立且服从正态分布),0(2N的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。解 因BA,独立，),0(2NA，),0(2NB所以，2,0BDADBEAE均值)sin()cos()()(tBtAEtXEtmX0)sin()cos(BEtAEt相关函数

6、)sin()cos()(sin()cos()()(),(22112121tBtAtBtAEtXtXEttRX1221212212sincossincossinsincoscosttABttABttBttAEsinsincoscos221221BEttAEtt)sinsincos(cos21212tttt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - 4 )(cos212tt2.5 已知随机过程)(tX的均值函数)(tmX和协方

7、差函数)(),(21tttBX为普通函数，令)()()(ttXtY，求随机过程)(tY均值和协方差函数。解均值)()()()()()()()(ttmttXEttXEtYEtmXY协方差)()(),(),(212121tmtmttRttCYYYY)()()()(2121tmtmtYtYEYY)()()()()()()()(22112211ttmttmttXttXEXX)()()()(2121tmtmtXtXEXX其它项都约掉了)()(),(2121tmtmttRXXX),(21ttCX2.6 设随机过程)sin()(tAtX，其中,A是常数，在),(上服从均匀分布，令)()(2tXtY，求),(

8、ttRY和),(ttRXY。解)()()()(),(22tXtXEtYtYEttRY)(sin)(sin2222tAtAE)222cos(1)(22cos(1(42ttEA)222cos()22cos()222cos()22cos(142ttttEA而0)22sin(41)22cos(21)22cos(tdttE同理0)222cos(tE利用三角积化和差公式)222cos()22cos(ttE)424cos()2cos(21tE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，

9、共 24 页 - - - - - - - - - 5 2cos21所以，2cos2114),(2AttRY)()()()(),(2tXtXEtYtXEttRXY)(sin)sin(22tAtAE)222cos(1)(sin(23ttEA)222cos()sin()sin(23tttEA)323sin()2sin()sin(243tttEA而0)sin(1)sin(2dttE同理0)323sin(,0)2sin(tEtE所以，0),(ttRXY2.7 设随机过程2)(ZtYtXtX，其中ZYX,是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1，求随机过程)(tX的协方差函数。解 根据题意，1,02

10、22EZDZEYDYEXDXEZEYEX0)()(22EZttEYEXZtYtXEtXEtmX)()()()(),(221121tmtXtmtXEttCXXX)()()(22221121ZtYtXZtYtXEtXtXE因ZYX,相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零2221212222122121ttttEZttEYttEX2.8 设)(tX为实随机过程，x 为任意实数，令xtXxtXtY)(,0)(,1)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 24

11、 页 - - - - - - - - - 6 证明随机过程)(tY的均值函数和相关函数分别为)(tX的一维和二维分布函数。证明)(0)(1)()(xtXPxtXPtYEtmY);()(txFxtXPX)(),(21tYtY的取值为)0,0(),1 ,0(),0,1(),1,1()(,)(11)()(),(22112121xtXxtXPtYtYEttRY)(,)(012211xtXxtXP)(,)(102211xtXxtXP)(,)(002211xtXxtXP),;,()(,)(21212211ttxxFxtXxtXPX2.9 设)(tf是一个周期为T 的周期函数，随机变量Y 在（ 0， T）上

12、均匀分布，令)()(YtftX，求证随机过程)(tX满足TdttftfTtXtXE0)()(1)()(证明Y 的密度函数为其它,0),0(,1)(TyTyfY)()()()(YtfYtfEtXtXEdyyfytfytfY)()()(TdyytfytfT0)()(1TttduufufTuyt)()(1tTtduufufT)()(1TduufufT0)()(12.13 设0),(ttX是正交增量过程，VX,0)0(是标准正态随机变量，若对任意的0t，VtX与)(相互独立，令VtXtY)()(，求随机过程0),(ttY的协方差函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

13、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - 7 解 因)(tX是正交增量过程，)1 ,0( NV，所以1,0,0)(VDVEtXE，有0)()()(VEtXEVtXEtYEmY)()()()(),(221121tmtYtmtYEttCYYY)()()()()(2121VtXVtXEtYtYE)()()()(21221VtXEVtXEVEtXtXE（因VtX与)(独立，0,0)(VEtXE）)()(221VEtXtXE1),min(212ttX（利用正交增量过程的结论）习题 4 4.1 设质

14、点在区间0，4的整数点做随机游动，到达0 点或 4 点后以概率1 停留在原处，在其它整数点分别以概率31向左、向右移动一格或停留在原处，求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。解 转移概率如图一步概率转移矩阵为1000031313100031313100031313100001P二步转移概率矩阵为1000031313100031313100031313100001P(2)100003131310003131310003131310000110000949292910919293929109192929400001名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

15、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 24 页 - - - - - - - - - 8 4.2 独 立 地 重 复 抛 掷 一 枚 硬 币 ， 每 次 抛 掷 出 现 正 面 的 概 率 为p， 对 于2n， 令32,1 ,0或nX，这些值分别对应于第n-1 次和第 n 次抛掷的结果为（正，正）， （正，反），（反，正）， （反，反），求马尔可夫链,2,1 ,0,nXn的一步和二步转移概率矩阵。解 对应状态为正，正）(0，1（正，反），2（反，正），3（反，反）pPp(00（正，正）正，正），qPp(01（正，正）正，反）0(20（正，正）反

16、，正）Pp（不可能事件）0(30（正，正）反，反）Pp（不可能事件）同理可得下面概率0(10（正，反）正，正）Pp，0(11（正，反）正，反）PppPp(12（正，反）反，正），qPp(13（正，反）反，反）pPp(20（反，正）正，正），qPp(21（反，正）正，反）0(22（反，正）反，正）Pp，0(23（反，正）反，反）Pp0(30（反，反）正，正）Pp，0(31（反，反）正，反）PppPp(32（反，反）反，正），qPp(33（反，反）反，反）一步转移概率矩阵为qpqpqpqp00000000P二步转移概率矩阵为qpqpqpqp00000000P(2)qpqpqpqp000000002

17、2222222qpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqp4.4 设1,nXn为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为4,3,2,1,410iiXPpi名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - 9 41414141834181414141414141414141P试证41441 , 1412102XXPXXXP解 根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理4.3，有41 ,14,41 ,141 ,

18、1410210102XXPXXXPXXXP3, 12,14,3, 14,2,11010210210XXPXXPXXXPXXXP165414141418341414141411311213413124121pppppppppp同理有41412XXP414,41121XPXXP324,34,2112121XpXPXXPXXp4343332321314243232221213443434333342323413124424243232422224121pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp41414141414141414141814141414141834

19、1418341418341418341414141414181414141414141416019151281932328327128121287所以，41441 ,1412102XXPXXXP4.5 设),(TttX为随机过程，且),(,),(),(2211nntXXtXXtXX名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - 10 为独立同分布随机变量序列，令2,)(,011110nXcYYXtYYYnnn试证：0,nYn是

20、马尔可夫链。证明只要证明0,nYn满足无后效性，即,01111011nnnnnnnniYiYPiYiYYiYP即可。根据题意，1nnnCYXY， 由此知nY是),(21nXXX的函数，因为,21nXXX是相互独立的随机变量，所以，对任意的n，1nX与,210nYYYY相互独立。从而,011011nnnniYiYYiYP,011011nnnnnniYiYYCiiCYYP（因nniY）,011011nnnnniYiYYCiiXP11nnnCiiXP（因1nX与,210nYYYY独立，条件概率等于无条件概率）11nnnnniYiCiXP11nnnniYiYP4.6 已知随机游动的转移概率矩阵为5.0

21、05.05.05.0005.05.0P求三步转移概率矩阵)3(P及当初始分布为13,021000XPXPXP时，经三步转移后处于状态3 的概率。解5.005.05.05.0005.05.0P(2)5.005.05.05.0005.05.025.025.05.05.025.025.025.05.025.025.025.05.05.025.025.025.05.025.0P)3(5.005.05.05.0005.05.025.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

22、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - 11 25.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0100)3(PT所以，25.0)3(3p4.7 已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下（1）6.02.02.02.07.01.01.01.08.0P),4.0,2.0,4.0()0(PT（2）6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07.0P),3.0,3.0,2.0,2.0()0(PT求下一、二个月的

23、销售状态。解 （1）32.026.042.06.02.02.02.07.01.01.01.08.00.40.20.4P)0(P)1(PTT6.02.02.02.07.01.01.01.08.0P2）（6.02.02.02.07.01.01.01.08.00.420.280.30.270.540.190.160.170.67286.0288.00.4260.420.280.30.270.540.190.160.170.670.40.20.4P)0(P)2(P2TT）（2）6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07.03.03.02.02.0P)0

24、(P)1(PTT28.03.02.022.06.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07.0P2）（6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07.00.420.270.150.160.260.430.150.160.170.270.40.160.160.170.150.52名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - 12 ）（

25、 2TTP)0(P)2(P0.420.270.150.160.260.430.150.160.170.270.40.160.160.170.150.52)3.0,3.0,2.0,2.0(0.270.2980.20.2324.8 某商品六年共24 个季度销售记录如下表（状态1畅销，状态2滞销）季节1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售状态1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 季节13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 销售状态1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 以频率估计概率，求（1）销售状态的初始分布，（2）三步转移概率

26、矩阵及三步转移后的销售状态的分布。解 状态 1的个数为15 个，状态2 的个数为 9 个（1）所以，销售状态的初始分布为2492415)0(PT275.0625.0（2）求一步转移概率状态11共有 7 个，状态21共有 7 个，状态12共有 7 个，状态22共有 2 个，所以，21147,211471211pp，92,972221pp一步转移概率矩阵为92972121P，92972121P(2)9297212116271162913613362392922197979221979221212197212121三步转移概率矩阵为92972121162711629136133623P(3)38.0

27、62.04.06.029161103291618136482596483899162271324919162771324919362672239367137223名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 24 页 - - - - - - - - - 13 三步转移后的销售状态分布为0.390.610.380.620.40.60.3750.625P)0(P)3(P3TT）（4.9 设老鼠在如图所示的迷宫中作随机游动，当它处在某个方格中有k 条通道时， 以概率k1随机

28、通过任一通道，求老鼠作随机游动的状态空间、转移概率矩阵。解 状态空间为9,3,2, 1I转移概率矩阵为0100031031031021021000010001000010021021000210210010习题 6 6.1 设有随机过程)cos()(ttX，其中0为常数，是在区间)2,0(上服从均匀分布的随机变量，问)(tX是否为平稳过程。解)cos()(tEtXE021)cos(20dt)cos()cos()()(),(ttEtXtXEttRX2021)cos()cos(dtt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

29、师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - - 14 20)22cos(cos41dtcos21，与 t 无关21)0()(2XRtXE所以)(tX是平稳过程。6.2 设有随机过程)cos()(tAtX，其中A是均值为零、方差为2的正态随机变量，求：（1）)41()1(XX和的概率密度；（2）)(tX是否为平稳过程。解 （1）因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量，对任意t，)(tX服从正态分布。AXAX22)41(,)1(，2)1(,0)1(DAADXDAEXE22122)41(,022)41(2DAADXDAEXE所以)1(X的概率

30、密度为22221); 1(xexf，x)41(X的概率密度为221);41(xexf，x（2）)cos()cos(),(tAtAEttRX)cos()cos()cos()cos(22ttAEtt，与 t 有关所以，)(tX不是平稳过程。6.3 设有随机过程)cos()(tAtX，其中A是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 24 页 - - - - - - - - - 15 为0,00,2exp)(222xxxxxf是在)2,

31、0(上服从均匀分布且与A相互独立的随机变量，为常数，问)(tX是否为平稳过程。解 先求出瑞利分布A的数学期望和2A 的数学期望，022222220)2(2exp2expxdxxdxxxxEA0222expxxd0220222exp2expdxxxxdxedxxx22222221222exp2122202222222222022)2(2exp222expxdxxdxxxxEA20222222dyyexyy令)cos()cos()(tEEAtAEtXE021)cos(220dt)cos()cos()()(),(tAtAEtXtXEttRX)cos()cos(2tAtEEA)22cos()cos(2

32、122tE20221)22cos()cos(dt)cos(2与 t 无关名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - - 16 22)0()(XRtXE所以，)(tX是平稳过程。6.4 设有随机过程)()(tftX，其中)( xf是周期为T 的实值连续函数，是在（ 0，T）上服从均匀分布的随机变量，证明)(tX是平稳过程并求相关函数)(XR。解TTttTdyyfTdyyfTytdTtftXE00)(1)(11)()(令，为常数

33、TXdTtftftXtXEttR01)()()()(),(TTttdyyfyfTdyyfyfT0)()(1)()(1， 与 t 无关TXdyyfTRtXE022)(1)0()(所以，)(tX是平稳过程。TXdyyfyfTR0)()(1)(6.5 设)()(tYtX和是平稳过程，且相互独立，求)()()(tYtXtZ的相关函数，)(tZ是否为平稳过程。解 因)()(tYtX和是平稳过程，它们的均值是常数、相关函数与t 无关是的函数，又相互独立。所以，YXmmtYEtXEtYtXEtZE)()()()()(是常数)()()()(),(tYtXtYtXEttRZ)()()()(tYtYtXtXE)(

34、)()()(tYtYEtXtXE)()(YXRR与 t 无关)0()0()0()(2YXZRRRtZE所以，)(tZ是平稳过程。6.13 设正态随机过程具有均值为零，相关函数为26)(eRX，求给定t 时的随机变量)3(),2(),1(),(tXtXtXtX的协方差矩阵。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - - 17 解 因)(tX是正态过程， 且均值为零， 相关函数26)(eRX与 t 无关， 所以)(tX是平稳过程

35、，则对任意给定的t，)3(),2(),1(),(tXtXtXtX服从正态分布，),()(),(ttCtXtXCovX226)(),(eRmttRXXX，3,2,1 ,0所以，6)0(),(XXRttC，216)1()1,(eRttCXX，16)2()2,(eRttCXX，236)3()3,(eRttCXX同理),1()(),1(ttCtXtXCovX2126)1(),1(eRmttRXXX，3,2,1 ,0所以，216),1(ettCX，6)1,1(ttCX，216)2, 1(ettCX，16)3,1(ettCX226),2()(),2(ettCtXtXCovX，3,2,1 ,016),2(e

36、ttCX，216)1,2(ettCX，6)2,2(ttCX，216)3,2(ettCX236),3()(),3(ettCtXtXCovX，3,2,1 ,0236),3(ettCX，16)1,3(ettCX，216)2,3(ettCX，6)3,3(ttCX所以协方差矩阵为)3,3()2,3()1,3(),3()3,2()2,2()1,2(),2()3, 1()2,1()1,1(), 1()3,()2,()1,(),(ttCttCttCttCttCttCttCttCttCttCttCttCttCttCttCttCXXXXXXXXXXXXXXXX666666666666666621123212111

37、212123121eeeeeeeeeeee6.15 设随机过程)cos()(tatX和)sin()(tbtY是单独且联合平稳随机过程，其中,ba为常数，是在),0(上服从均匀分布的随机变量，求)(XYR和)(YXR。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 24 页 - - - - - - - - - 18 解)sin()cos()()()(tbtaEtYtXERXY)22sin(sin2tEab01)22sin(sin2dtabsin2ab因)()(YXXYRR

38、所以)sin(2)sin(2)()(ababRRXYYX习题 7 7.2 设平稳过程)(tX的相关函数aXeR)(，求)(tX的谱密度。解deedeRSjajXX)()(0)(0)(dedejaja0)(0)(11jajaejaeja22211aajaja7.3 设有平稳过程)cos()(0tatX，其中0,a为常数，是在),(上服从均匀分布的随机变量，求)(tX的谱密度。解的概率密度为其它,0),(,21)(f)cos()cos()()()(000tataEtXtXERXdtta21)cos()cos(0002dta)22cos(cos4000202cos2a名师资料总结 - - -精品资料

39、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 24 页 - - - - - - - - - 19 deadeRSjjXX02cos2)()(deeeajjj4002deeajj4)()(200)(2)(24002a7.4 已知平稳过程的相关函数)3cos()cos(4)(eRX，求谱密度)(XS。解deedeRSjjXX)3cos()cos(4)()(dedeeeedeeeejjjjjjj)3cos(22000)(1)(10)(1)(122deedeejjjjdej)3cos()(11)(112)(

40、11)(112jjjj)3()3()(11)(11422)3()3(7.6 当 平 稳 过 程 通 过 如 图 所 示 的 系 统 时 ， 证 明 输 出)(tY的 谱 密 度 为)cos(1)(2)(TSSXY。证明)()()()()()()(TtXtXTtXtXEtYtYERY)()()()()()()()(tXTtXTtXtXTtXTtXtXtXE)()()(2TRTRRXXX名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 24 页 - - - - - - - -

41、 - 20 deTRTRRdeRSjXXXjYY)()()(2)()(deTRdeTRSjXjXX)()()(2TjXTjXXeSeSS)()()(2cos1)(2TSX7.7 已 知 平 稳 过 程)(tX的 谱 密 度 为其它,02,)(002cSX， 求 相 关 函 数)(XR。解0022cos1)(21)(dcdeSRjXXsin2sinsin0022200cc7.8 设有平稳过程)cos()(tatX，其中 a 为常数，是在)2,0(上服从均匀分布的随机变量，是分布密度满足)()(ff的随机变量， 且与相互独立，求证)(tX的谱密度为)()(2faSX。证明设),(f是和的联合分布密

42、度，因和相互独立，所以)(21),(ff，20,)cos()cos()()()(tataEtXtXERXddftta),()cos()cos(2dttdfa)cos()cos()(2202dtdfa)22cos()cos(21)(2202dfa)cos()(22dfjdfa)sin()()cos()(22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 24 页 - - - - - - - - - 21 defaj)(22（因)(f为偶函数，df)sin()(=0）又de

43、SRjXX)(21)(比较上面两式，)(21)(22XSfa所以，)()(2faSX7.9 设)()(tYtX和是单独且联合平稳的随机过程，试证：)(Re)(ReYXXYSS，)(Im)(ImYXXYSS。证明只要证明)()(YXXYSS即可，由互相关函数的性质)()(YXXYRRdeRdeRSjYXjXYXY)()()()()()()()(YXsjYXjYXSdsesRdeR7.10 设)(tX为平稳过程，令)()()(atXatXtY， a 为常数，试证)(sin)(4)(2aSSXY)2()2()(2)(aRaRRRXXXY证明)()()()()()()(atXatXatXatXEtYt

44、YERY)()()()(atXatXatXatXE)2()()2()(aatXatXaatXatX)2()2()()(aRaRRRXXXX)2()2()(2aRaRRXXXdeaRaRRdeRSjXXXjYY)2()2()(2)()(deaRdeaRSjXjXX)2()2()(2)()()(222XajXajXSeSeS)2c o s ()(2)(2aSSXX)2cos(1)(2aSX名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 24 页 - - - - - - -

45、- - 22 )(s i n)(42aSX7.11 设)()(tYtX和是 两 个 相 互 独 立 的 平 稳 过 程 ， 均 值YXmm和都 不 为 零 ， 令)()()(tYtXtZ，求)(XYS和)(XZS。解YXXYmmtYEtXEtYtXER)( )()()()(（因)()(tYtX和独立）demmdeRSjYXjXYXY)()(YXjYXmmdemm)(2)()()()()()()()(XYXXZRRtYtXtXEtZtXERdeRRdeRSjXYXjXZXZ)()()()()()(XYXSS7.13 设线性时不变系统输入一个均值为零的实平稳过程0),(ttX，其相关函数为)()(

46、XR，若系统的脉冲响应为其它,00,1)(Ttth，试求系统的输出过程)(tY的相关函数、谱密度及)()(tYtX与的互谱密度。解 先求)(XYR，dttRthRhRXXXY)()()(*)()()()()(hdttth)(*)()(*)()(*)(*)()(hhhRhRhRXYXYdtththdtthth)()()()(现找出使0)()(thth的区间当0T时，0)()(thth的区间为Tt0TdtdtththT0)()(当T0时，0)()(thth的区间为TtTdtdtththT)()(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

47、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 24 页 - - - - - - - - - 23 所以，其它,00,0,)(TTTTRY其它,0,TTTTjjYYdeTdeRS)()()(TTdTdT00sin)(2cos)(2TTdT00sinsin)(2cos12cos2202TTdehdeRSjjXYXY)()()(jejedeTjTjTj1007.15 设一个线性系统由微分方程)()()(taxtbydttdy给出，其中ba,为常数，)(),(tytx分别为输入平稳过程和输出平稳过程的样本函数，且输入过程均值为零，初始条件为零，eRX2)(，求输出的谱密度)(Y

48、S和相关函数)(YR。解 令输入tjetx)(，则tjeHty)()(，将其带入方程tjtjtjaeebHeHj)()()(解出bjaH)(deedeRSjjXX2)()(0)(0)(2dedejj2222211jj所以，222222)()()(bjaSHSXY名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 24 页 - - - - - - - - - 24 )(2222222ba)()(21)(1YjYYSFdeSR2222222222222222)()(2bbbbbaba2222222222)(bbbbba又222bbeFb，再根据傅氏变换的线性性质)(2)()(22222211baFSFRYY22222222122)(bbbbbaF22)(2212212222bFbbFbbabeebbab)(2222名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 24 页 - - - - - - - - -