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1、习题一1.某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9 及 0.5，若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？2.设随机变量X 的概率密度为f（x）00012xxxA求：（1）常数 A;(2)分布函数F（x）；（3）随机变量YlnX 的分布函数及概率分布。3.设随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)=Asin(x+y),0 x ,y2求：(1)常数 A；（2）数学期望EX，EY；（3）方差 DX，DY；(4)协方差及相关系数。4.设随机变量X服从指数分布000)(xxkexfkx0k求特征函数)(x,并求数学期望和方差。名师资料总结-精品资料欢迎下载-
2、名师精心整理-第 1 页，共 22 页 -5.设随机变量X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为1 和2的泊松分布，试用特征函数求 Z=X Y 随机变量的概率分布。6一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X 的矩母函数。7 设（X，Y）的分布密度为（1）其他，,010,10 xy4),(yxyx（2）其他，,010,10 xy8),(yxyx问 X，Y 是否相
3、互独立？8.设（X，Y）的联合分布密度为X Y 1 2 1 0 1 31910 91名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 22 页 -问：（1），取何值时X，Y 不相关；（2），取何值时相互独立。习题二设有两个随机变量X、相互独立，它们的概率度分别为)(xfX和)(yfY，定义如下随机过程：YtXtZ)(，Rt试求)(tZ的均值函数)(tm和相关函数),(21ttR。从 t=0 开始每隔21秒丢掷一次硬币（均匀的），对每一个丢掷的时刻t，规定随机变量X(t)=掷 出 反 面当时刻掷出正面当时刻tttt,2,cos试求：（1）F（21；x1），F（xt11；）（2）F（2
4、1，1；x1，x2）。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 22 页 -袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的 t 对应随机变量时取得白球如果时取得红球如果（tetttXt,3)试求这个随机过程的一维分布函数族。设在时间区间t,0内来到某商店的顾客数X(t)是参数 的泊松过程。nY为第 n 个顾客来到的时刻，求nY的分布函数。5.设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果1 分钟内没有车子通过的概率为0.2，求2 分钟内有多于一辆车通过的概率。6.令)(tN表示t,0时间内（单位：分）顾客到达某商店的人数，设tN是泊松过程。根据历
5、史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时30 人。求两个顾客相继到达的时间间隔短于 4 分钟的概率。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 22 页 -7.一质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动，每隔 1 秒以概率p 向右移动一格（1单位长），或以概率q=1p 向左移动一格，以 X（n）表示质点在第n 秒至 n+1 秒之间的位置（坐标），则随机过程，210n)(nX由于质点随机游动的独立性，它是一个独立增量过程。求 X（n）的概率分布及增量X（t+）X（t）的概率分布。8.求随机过程tXtXsin)(的一维概率密度，其中为常数，X)1,0(N。9.设复随机过程Z（t）
6、=nkkA1etik，01t，其中Ak（1nk）是相互独立且服从 N(0，2k)的随机变量，k(1)nk是常数，试求复随机过程Z（t）的均值函数与自相关函数。10.设0t)(，tX为一个独立增量过程，且X（0）=0，证明 X(t)是个马氏过程。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 22 页 -11.设随机过程VtXtX0)(，Tt，其中0X，V是相互独立的标准正态分布变量，试证)(tX是一个正态过程。12.设2)(AtVtStX，0t，其中 S、V、A 为相互独立的正态分布变量，试证)(tX是一个正态过程。习题三1.一质点在区间0,4中的 0,1,2,3,4 上作随机游
7、动,移动的规则是:在 0 点以概率1 向右移动一个单位,在 1,2,3点上各以概率1/3 向左,向右移动一个单位或留在原处,试求转移概率矩阵.2.一个圆周上共有N 格（按顺时针排列），一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是：质点总是以概率p 顺时针游动一格，以概率q=1-p 逆时针游动一格。试求移动概率矩阵。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 22 页 -3.一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移动的规则是：以概率p从 i 移动到 i-1，以概率 q 从 i 移到 i+1，以概率r 停留在 i，且 r+p+q=1，试求转移概率矩阵。4.波利亚（polya）罐子模
8、型波利亚（polya）罐子模型可描述如下：一个罐子装有r 格红球，l 个黑球，现随机地从罐中取出一个球，记录其颜色，然后将这个球放回罐中，并且再加进a 个同颜色的球。持续地进行这一实验过程，设Xn表示第 n 次试验结束时罐中实有红球的数目：Xn=i，ir，I=0，1，2，不论在时刻n 时如何转移到i 的，系统在时刻n+1 时，必转移到状态i+a 或 i，因此，Xn，n0 是马氏链。使求它的一步转移概率，并说明此链不是时间齐次的马氏链。5.设袋中有a 个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的球。若在袋里有k 个白球，则称系统处于状态k，试用马尔可夫链描述这个模型(
9、称为爱伦菲斯特模型)，并求转移概率矩阵。6设水库的蓄水情况分为三个状态：空库、半库、蓄满。并分别记为1，2，3。在不同季名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 22 页 -节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为2.07.01.04.03.03.01.05.04.01P初始分布行矩阵为8.01.01.0)0(P，试求)2(P并指出经过两个季节水库蓄满的概率。7 一个开关有两个状态：开、关，分别记为1，2。设2n,21n,1开关处于状态在时刻开关处于状态在时刻nX又设开关现在开着时，经过单位时间后为开或闭的概率都是1/2；而现在关着时，经过单位时间后，他仍然关
10、着的概率是1/3，开着的概率为2/3。（1）试写出马氏链0,nXn的一步转移矩阵；（2）设开始时开关处于状态1，求经过二步转移开关仍处于状态1 的概率。8 设马氏链的状态空间为3,2,1I,其进一步转移矩阵为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 22 页 -32310313131021211P试研究各状态间的关系。9设马氏链0,nXn的状态空间2,1,0I,其一步转移矩阵为32310414121021211P试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。10设马氏链0,nXn的状态空间3,2,1,0I,其一步转移矩阵为1000818141210021210021211P试研究
11、各状态间的关系，并画出状态传递图。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 22 页 -11设马氏链0,nXn的状态空间2,1,0I,其一步转移矩阵为0212121021212101P试问此链是否具有遍历性，若有，则求其平稳分布。12天气预报问题若明天是否有雨仅与今天天气有关，与过去无关。并设今日有雨、明日也有雨的概率为，今日无雨、明日也有雨的概率为。试求：（1）一步转移矩阵；（2）今日有雨且第4 日仍有雨的概率（设).4.0,7.0。13考虑一个通信系统，它通过几个阶段传送数字0 和 1，设在每一阶段被下一阶段接受的数字仍与者阶段相同的转移概率为0.75.且记第 n 阶段
12、接受的数nX，试求进入第1 阶段的数字是 0，而且第 5阶段被接受到的也是0 的概率。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 22 页 -14设建筑物受到地震的损害程度为齐次马氏链，按损害的程度分为5种状态：无损害称为状态 1，轻微损害称为状态2，中等损害称为状态3，严重损害称为状态4，全部倒塌称为状态 5。设一步转移概率为100008.02.00001.05.04.00001.04.05.000002.08.01P又设初始分布为0)5(,0)4(,0)3(,0)2(,1)1(00000ppppp试求接连发生二次地震时，该建筑物出现各种状态的概率是多少？15 设某河流每
13、日的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马氏链 1,nXn，状态空间4,3,2,1I是按 BOD 浓度极低、低、中、高分别表示为1，2，3，4，其转移矩阵为（以天为单位）4.04.02.001.06.025.005.01.02.05.02.001.04.05.01P如果 BOD 浓度高，则称河流处于污染状态。（1）说明此马氏链为不可约非周期正常返链；（2）求此链的平稳分布；（3）求河流再次到达污染的平均时间4。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 22 页 -16.设马氏链的状态空间4,3,2,1I，其一步转移矩阵为0010021210000131313101P试对其状态分
14、类。17.设马氏链的状态空间5,4,3,2,1I，其一步转移矩阵为00001000016.04.00008.02.0000005.05.001P试研究各状态的类及周期性。18.设马氏链的状态空间为 3,2,1I，其一步转移矩阵为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 22 页 -10005.05.005.05.01P试研究各状态的类，并讨论各状态的遍历性。19.设马氏链的状态空间为4,3,2,1I，其一步转移矩阵为02.02.06.0007.03.0000101001P试对各状态进行分类。20.设0),(ttX为一个时间连续的马氏链，其状态空间 1,0I。假定)(tX在
15、时间段t内改变一次状态（从一个值跳到另一个值）的概率为)(tot，未曾改变状态的概率为)(1tot，而在这段时间内改变多于一次的概率为)(to。试求时间t 时的转移概率)(tPij（i,j=0，1）。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 22 页 -习题四1.已知随机过程X(t)的自相关函数为RX()=2exp，试判断其连续性和可微性。2.随 机 初 相 信 号X(t)=Acos(t+)，试 中A和均 为 常 数，已 知mX(t)=0,RX()=A2cost/2,=t s。信号 X(t)在时间 T 内的积分值为Y(T)=T0X(t)dt,试求 Y(T)的均值和方差。3
16、.讨论随机过程X(t)=At2+Bt+C,(其中 A，B，C 独立同分布且服从N(0,2)的均方连续性、均方可微性和均方可积性。并求X(t),Y(t)=t1t0X(s)ds 的均值函数和相关函数。4.讨论随机过程X(t)，(其中 X(t)的均值为0，相关函数R(s,t)=1/a2+(st)2)的均方连续性、均方可微性和均方可积性。并求X(t),Y(t)=t1t0X(s)ds 的均值函数和相关函数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 22 页 -习题五1.设 Z(t)=Xsint+Ycost,其中 X,Y 是相互独立同分布的随机变量，其分布列为证明 Z(t)是宽平稳过
17、程。2设tBtAtXsincos)(，其中是常数，A,B是相互独立，且都服从正态分布),0(2N的随机变量，试证明)(tZ是平稳过程。3设随机过程ttXcos)(，其中是在2,0上均匀分布的随机变量，试证(1)nnXXncos)(，,2,1,0n是一个平稳序列。（2）)(tX，,t，不是一个平稳过程。X Y-1 2 P 2/3 1/3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 22 页 -4设随机过程)()(tftX其中)(tf是周期为T的波形，在区间内为均匀分布的随机变量，证明)(tX是平稳过程。5.设随机过程)(tX由下列三个样本函数组成，且等概率发生，1),(1et
18、X，tetXsin),(2，tetXcos),(3问：（1）计算均值)(tmx和自相关函数),(21ttRx；（2）该随机过程)(tX是否平稳。6.设随机过程X(t)=Asin(21t+2)其中 A 为常数，1 和 2 为相互独立的随机变量。1 的概率密度为偶函数，2 在,.内均匀分布。证明：（1）X(t)为平稳过程；（2）X(t)是均值遍历的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 22 页 -习题六1.设nY),2,1,0(n为独立随机序列，且,00nEYY令nkknYX1，则当0时，nX关于nY是下鞅；当0时，nX关于nY是上鞅。2.设nY),2,1,0(n为独立随
19、机序列，且,00nEYY令nYXnkkn1，则nX关于nY是鞅。2.设nY),2,1,0(n表示生灭过程各代的个体数，且10Y，任意一个个体生育后代的分布为均值，证明nnnYX是一个关于nY的鞅。4.（公平博弈的问题）设,21XX独立同分布，分布函数为21)1()1(iiXPXP，于是，可以将iX看作一个投硬币的游戏的结果：如果出现正面就赢1 元，出现反面则输1元：假设我们按以下的规则来赌博，每次投硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 22 页 -博即停，令nW表示第n次赌博后所输（或赢）的总钱数，00W，则nW是关于nXXX
20、,21的鞅。5.设)(tB是布朗运动，则（1）ttB)(2是鞅；（2）对任何的实数u，2)(exp2tutuB是鞅。习题七1.通常假设股票价格服从马尔科夫过程，是什么含义？2.假设某股票的价格变化遵循维那过程，其初始价值为20 元，估算的时间为一年。在一年结束时，若资产价值按正态分布，其期望值为10，标准差为1，那么在两年期结束时，资产价值的期望值和标准差是多少？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 22 页 -3.假定有一支股票价格S 遵循一般维那过程，即 dS=dWdt，在第一年中，=2，=3，若股票价格的初始值为30，则在第二年末股票价格的分布概率为多少？4.考
21、虑一种无红利支付的股票，假定价格S 遵循过程：tStSS其中每年预期收益率为1.0（以连续复利计），漂移率为3.0，若初始值为S=20 元，试分别解释当时间间隔为一周、一月和一季度时，股票的价格变化规律？习题八1.求随机微分)()(tBed.2.利用伊托公式证明ttSkdssBtBsdBB030)(22,)()(31)(3.设 B（t）是标准布朗运动，证明2,)()1(21)(02kdssBkktBEtkk并求出)(,)(64tBEtBE的值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 22 页 -4.设 B(t)是标准布朗运动，)0),(tuuBIIt，利用伊托公式证明下
22、列随机过程是关于tI的连续鞅。（1）)(cos)(2tBetXt；（2）)(sin)(2tBetXt习题九1.若某种股票的初始价格为30 美元，年预期收益为15%，年波动性为25%，问在六个月后，该股票价格的概率分布是什么？并判断在置信度为95%时股票价格的变化范围。2.假设某种股票当前的价格为15 元，每年的预期收益率为12%，每年的波动率为20%，则在一年后股票价格的均值和方差是多少？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 22 页 -3.假设有一股票，其期望收益率为16%，波动性为30%，某天其股票价格为40 元，计算如下问题：（1）预期下一天的股票价格为多少？（
23、2）下一天该股票的标准差为多少？（3）下一天该股票95%的置信度区间为多少？4.股票 A 和股票B 均符合几何布朗运动，在任何短时间内二者的变化是不想关的，问由一股股票A 和一股股票B 构成的证券组合的价值是否也遵循几何布朗运动？请解释原因。5.若 某种股票价格S 遵循几何布朗运动，其期望收益率为，波动率为，即dS=Sdt+SdW 则变量“S”也遵循几何布朗运动习题十1 求无红利支付股票的欧式看涨期权的价格。其中股票的价格为52 元，执行价格为50 元，无风险利率是5%，年波动率为30%，到期日为3 个月。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 22 页 -2 求无红利
24、支付股票的欧式看跌期权的价格，其中股票的价格为69 元，执行价格为70 元，无风险利率是5%，年波动率为35%，到期日为9 个月。3 假定某种股票期权的有效期尚剩六个月，此时股票价格为22 元，股票期权的协定价格是 20 元，无风险利率是5%，每年的易变性是20%。4 求无红利支付股票的欧式看涨期权和看跌期权的价值。无红利支付股票的期权，股票的价格为 30 元，执行价格为29 元，无风险利率是5%，年波动率为25%，到期日为4 个月。问：（1）如果是一个欧式看涨期权，计算其价格;(2)如果这是一个欧式看跌期权，计算其价格。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 22 页 -