2022年随机过程题库.docx

《2022年随机过程题库.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年随机过程题库.docx（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 随机过程综合练习题一、填空题（每空 3 分）第一章1X 1 , X 2 , X n 是独立同分布的随机变量,X 的特点函数为 g t ,就X 1 X 2 X n 的特点函数是；2E E X Y ；3X 的特点函数为 g t ,Y aX b,就 Y 的特点函数为；4条件期望 E X Y 是 的函数,（是 or 不是）随机变量；5X 1 , X 2 , X n 是独立同分布的随机变量,X 的特点函数为 g i t ,就X 1 X 2 X n 的特点函数是；6n 维正态分布中各重量的相互独立性和不相关性；其次章7宽平稳过程是指协方差函数只与有关；0p

2、1 ,以Xn记进行8在独立重复试验中,如每次试验时大事A 发生的概率为p到 n 次试验为止A 发生的次数,就Xn,n01,2,是过程；9正交增量过程满意的条件是10正交增量过程的协方差函数C Xs ,t；第三章名师归纳总结 11 Xt, t 0 为具有参数0 的齐次泊松过程,其均值函数为；第 1 页,共 21 页方差函数为；12设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1,2,3且均为泊松过程,它们相互独立,如把这些汽车合并成单个输出过程假定无长度、无延时,相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是,汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是；13 Xt, t 0 为具有参数0 的齐次泊松

3、过程,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PXts Xs n；n,1,014设 Xt, t 0 是具有参数0的泊松过程,泊松过程第n 次到达时间W n 的数学期望是；15在保险的索赔模型中,设索赔要求以平均2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司如每 次 赔 付 金 额 是 均 值 为 10000 元 的 正 态 分 布 , 求 一 年 中 保 险 公 司 的 平 均 赔 付 金额；16到达某汽车总站的客车数是一泊松过程,每辆客车内乘客数是一随机变量设各客车内乘客数独立同分布,且各辆车乘客数与车辆数 Nt 相互独立,就在 0,t 内到达汽车总站的乘客总数是

4、（复合 or 非齐次）泊松过程17设顾客以每分钟 2 人的速率到达,顾客流为泊松流,求在 2min 内到达的顾客不超过 3人的概率是第四章18 无限制随机游动各状态的周期是；A 发生,且19非周期正常返状态称为；1记第 n 次试验时大事20设有独立重复试验序列X n,n1 ；以XnPXn1p,以Xn0记第 n 次试验时大事A 不发生,且P Xn0 1p,如有YnnXk,n1,就Y n,n1是链；k1答案一、填空题名师归纳总结 1gnt；2 EX ；3eibtgat4Y 是5n6等价t0第 2 页,共 21 页i1git；7时间差；8独立增量过程；23t9EX t2Xt 1X t4X t3010

5、2mins ,tX11t;t； 12ft1e1tt0ft123e10t00t013tnet14n15240000 16复合；1771 e 34n .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 18 2；19遍历状态；20齐次马尔科夫链；二、判定题（每题 2 分）第一章n1g iti,12,n 是特点函数,git不是特点函数； （）3（）i12n 维正态分布中各重量的相互独立性和不相关性等价；（）3任意随机变量均存在特点函数；（）n4g iti,12,n 是特点函数,i1gi t是特点函数； （）5设X ,X ,X ,X4是零均值的四维高斯分布随机变量,就有E X

6、 X X X4E X X2E X X4+E X X3E X X4+E X X4E X X其次章6严平稳过程二阶矩不肯定存在,因而不肯定是宽平稳过程；（）7独立增量过程是马尔科夫过程；（）8维纳过程是平稳独立增量过程；（）第三章9非齐次泊松过程是平稳独立增量过程；（）第四章名师归纳总结 10有限状态空间不行约马氏链的状态均常返；（）第 3 页,共 21 页11有限齐次马尔科夫链的全部特别返状态集不行能是闭集；（）12有限马尔科夫链,如有状态k 使lim n n p ik0,就状态 k 即为正常返的； （13设iS,如存在正整数n,使得pn0, p iin10 ,就 i 非周期；（ii14有限状态

7、空间马氏链必存在常返状态；（）15 i 是正常返周期的充要条件是lim npn不存在；（）ii16平稳分布唯独存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集；（）17有限状态空间马氏链不肯定存在常返状态；（）18 i 是正常返周期的充要条件是lim npn存在；（）ii- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 19如 ij ,就有did （）20不行约马氏链或者全为常返态,或者全为特别返态（）答案二、判定题1234514156789101112131617181920三、 大题第一章1（ 10 分）（易）设XBn,p,求 X 的特点函数,并利用其求EX ；2（ 10

8、 分）（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程,Xtcos,t,显现正面t显现反面2 t显现正面和反面的概率相等,求Xt的一维分布函数Fx1,/2 和F x1, ,Xt的二维分布函数Fx1x21;/2 1,；XtABt,t0,其中 A 与 B 是相互独立的随机3（ 10 分）（易）设有随机过程 变量,均听从标准正态分布,求Xt的一维和二维分布；其次章名师归纳总结 4（ 10 分）（易）设随机过程Xt=Vt+b ,t 0,+ , b 为常数, V 听从正态分布N0 ,第 4 页,共 21 页1的随机变量,求Xt 的均值函数和相关函数；5（ 10 分）（易）已知随机过程Xt 的均值函数mxt和

9、协方差函数B xt1, t2, gt为一般函数,令 Yt= Xt+ gt,求随机过程Yt 的均值函数和协方差函数；6（ 10 分）（中）设Xt,tT是实正交增量过程,T0 ,X00,是一服从 标 准 正 态 分 布 的 随 机 变 量 , 如 对 任 一t0,Xt都 与相 互 独 立 , 求YtXt,t0 ,的协方差函数；7（ 10 分）（中）设ZtXYt,t,如已知二维随机变量X,Y的协- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方差矩阵为22,求Zt的协方差函数；128（10 分）（难）设有随机过程tXt,tT和常数 a ,试以Xt的相关函数表示随机过程Yt

10、XtaXt,T的相关函数；第三章9（10 分）（易）某商店每日 8 时开头营业, 从 8 时到 11 时平均顾客到达率线性增加在8 时顾客平均到达率为 5 人/时,11 时到达率达到最高峰 20 人/时,从 11 时到 13 时,平均顾客到达率维护不变,为 20 人/时,从 13 时到 17 时,顾客到达率线性下降,到 17 时顾客到达率为 12 人 /时；假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的,问在 8：30 9：30 间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少. 10（15 分）（难）设到达某商店的顾客组成强度为 概率为 p ,且与其它顾客是否购

11、买商品无关,求（的泊松过程,每个顾客购买商品的 0,t）内无人购买商品的概率；11（15 分）（难）设 X 1t 和 X 2 t 是分别具有参数 1和 2的相互独立的泊松过程,证明： Yt 是具有参数 1 2 的泊松过程；12（10 分）（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程,平均每周有 2 户定居即2 ；假如每户的人口数是随机变量,一户四人的概率为 1/6,一户三人的概率为 1/3,一户两人的概率为 1/3,一户一人的概率为 1/6,并且每户的人口数是相互独立的,求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差；k13（ 10 分）（难）在时间 t 内向电话总机呼叫 k 次的概率为 p t k

12、 e , k ,0 1 , 2 ,k .其中 0 为常数假如任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的,求在时间 2t内呼叫 n 次的概率 P t n 14（10 分）（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程,巳知平均每小时有 30 人到达,求以下大事的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过 2 min 15（15 分）（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程,平均每年为 10000 个每个流星能以陨石落于地面的概率为 0.0001,求一个月内落于中国地面陨石数 W 的 EW、varW和 PW 2 16（10 分）（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程设 率为 0.2,求 2min 内有多于一辆

13、车通过的概率；1min 内没有车辆通过的概名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 17（10 分）（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程,巳知平均每小时有 30 人到达,求以下大事的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于 4 min 18（15 分）（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为 6 的泊松过程,订阅 1 年、 2 年或 3 年的概率分别为 1 2、l3 和 16,且相互独立设订一年时,可得 1 元手续费；订两年时,可得 2 元手续费；订三年时,可得 3 元手续费 . 以 Xt 记在 0,t内得到的总手续费,求 EX

14、t 与 var Xt 19（10 分）（易）设顾客到达商场的速率为2 个 min,求1 在 5 min 内到达顾客数的平均值； 2 在 5min 内到达顾客数的方差；20（10 分）（中）设某设备的使用期限为3 在 5min 内至少有一个顾客到达的概率10 年,在前 5 年内平均 2.5 年需要修理一次,后 5 年平均 2 年需修理一次,求在使用期限内只修理过 1 次的概率21（15 分）（难）设 Xt 和 Yt t 0 是强度分别为 X和 Y的泊松过程,证明：在Xt 的任意两个相邻大事之间的时间间隔内,Yt 恰好有 k 个大事发生的概率为 kpXXYXYY；第四章22（10 分）（中）已知随

15、机游动的转移概率矩阵为0 5. 0 5. 0P 0 0 5. 0 5.0 5. 0 0 5.求三步转移概率矩阵 P3及起初始分布为P X 0 1 P X 0 2 0 , P X 0 3 1时,经三步转移后处于状态 3 的概率；23（15 分）（难）将 2 个红球 4 个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中,每个盒子放3 个,现从每个盒子中各任取一球,交换后放回盒中甲盒内取出的球放入乙盒中,乙盒内取出的球放入甲盒中 ,以 Xn 表示经过 n 次交换后甲盒中红球数,就 Xn ,n0 为齐次马尔可夫链,求（1）一步转移概率矩阵；（ 2）证明： Xn , n 0 是遍历链； （ 3）求lim n P i

16、j n , j 0 ,1, 2；24（10 分）（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：PT00.4,0.2,0.4P0.80 .101.0.10.70.20.20.20.6求下一、二个月的销售状态分布；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 25（15 分）（难）设马尔可夫链的状态空间I1 ,2, , 7 ,转移概率矩阵为P0 .40.201.00.10.101.0 .10.202.02.0.10.101.0006.04.0000004.006.000002.05.03.00000000.30.700000

17、0.80.2求状态的分类及各常返闭集的平稳分布；26（15 分）（难）设河流每天的 BOD 生物耗氧量 浓度为齐次马尔可夫链,状态空间 I=1 ,2,3,4 是按 BOD 浓度为极低,低、中、高分别表示的,其一步转移概率矩阵 以一天为单位为05.04.0 .102求该链的平稳分布；P02.05.0 .20 .101.02.0 .60 .1002.0 .40 .4如 BOD 浓度为高,就称河流处于污染状态；1证明该链是遍历链；3河流再次达到污染的平均时间4；27（10 分）（易）设马尔可夫链的状态空间I0 ,1,2, 3 ,转移概率矩阵为P1/21/21041041/21/2001/41/4/0

18、001求状态空间的分解；28（15 分）（难）设马尔可夫链的状态空间为I1 ,2,3,4 转移概率矩阵为争论lim n np i 1P113030100100/2/001/41/40/229（10 分）（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为名师归纳总结 P1/21/2102第 7 页,共 21 页1/2102/0/1/2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求其平稳分布；30（15 分）（难）甲乙两人进行一种竞赛,设每局竞赛甲胜的概率是 p,乙胜的概率是q,和局的概率为 r,且 p+q+r=1 设每局竞赛胜者记 1 分,负者记一 1 分和局记零分；当有一人获得

19、 2 分时竞赛终止以 X n 表示竞赛至 n 局时甲获得的分数,就 X n , n 1 是齐次马尔可夫链（ 1）写出状态空间 I ；（ 2）求出二步转移概率矩阵；（ 3） 求甲已获 1 分时,再赛两局可以终止竞赛的概率31（10 分）（中） 天气预报问题 设明天是否有雨仅与今日的天气有关,而与过去的天气无关又设今日下雨而明天也下雨的概率为,而今日无雨明天有雨的概率为,规定有雨天气为状态 0 ,无雨天气为状态 l ；因此问题是两个状态的马尔可夫链设0 . 7 , 0 4.,求今日有雨且第四天仍有雨的概率32（10 分）（中）设 X n , n 1 是一个马尔可夫链,其状态空间 I=a ,b,c

20、,转移概率矩阵为求（ 1）PX1b,X2c,X3P1/2,1/41/4c,X7b|X0c2/301/3a,3/52/50X4cX5a,X6（ 2）PXn2c|Xnb X n,n0 的状态空间I 1 ,2, , 6 ,转移概率33（15 分）（难）设马尔可夫链矩阵为P1010311030102000001000010/3/0/00110200000/000/试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期；答案三、 大题名师归纳总结 1 解：引入随机变量itXX iit011pi,12n （1 分）第 8 页,共 21 页qpitEeie0qeitpeitq （3 分）- - - - - - -精选学习资料

21、 - - - - - - - - - nXi1XiBn,p （4 分）nit X i n t Ee itXEe i 1Ee itX i pe itq n （6 分）i 1 0 iEX （8 分）EX i 0 i pe itq n i n pe itq n 1pe iti t 0 npt 0 （10 分）2解：依题意知硬币显现正反面的概率均为 1/2 1 1 1（1）当 t=1/2 时, X（1/2）的分布列为 P X 0 P X 12 2 20 x 0其分布函数为 F 1 ; x 1 0 x 1 （3 分）2 21 x 1同理,当 t=1 时 1的分布列为 P X 1 1 P X 1 2 12

22、0 x 1其分布函数为 F ;1 x 1 1 x 2 （5 分）21 x 2（2）由于在不同时刻投币是相互独立的,故在 t=1/2,t=1 时的联合分布列为1 1P X 0 , X 1 1 P X 0 , X 1 22 21 1 1P X 1 , X 1 1 P X 1 , X 1 22 2 4故联合分布函数为名师归纳总结 F1;1,x1,x210x 10orx2122 （10 分）第 9 页,共 21 页/40x11and1x21/20x11andx22221orx 1x 11andx1x3解：对于任意固定的1and22t T,Xt 是正态随机变量,故- - - - - - -精选学习资料

23、- - - - - - - - - EXtEAEBt0名师归纳总结 DXtDADBt21t2第 10 页,共 21 页所以 X（t ）听从正态分布N01,2t （3 分）其次任意固定的t1,t2T,Xt1ABt1,Xt2ABt2就依 n 维正态随机向量的性质,Xt1,Xt2听从二维正态分布,且EXt1EXt20DXt11t2DXt21t2 （8 分）12CovXt1,Xt2EXt1Xt21t1t2所以二维分布是数学期望向量为（0,0）,协方差为1tt2 121t1t2的二维正态分布；11t1t22 （10 分）4解：XtVtb,V N01,故Xt听从正态分布,EXtEVtbtEVbbDXtDV

24、tbt2DVt2均值函数为mtEXtb （4 分）相关函数为Rt1,t2EXt1Xt1EVt1bVt2bEV2t1t2Vt1t2bb2t1t2b2 （10 分）5 解：mYtEYtEXtgtmXtg t （4 分）BYt1,t2R Yt1,t2mYt1mYt2EY t1 Yt2mYt1mYt2EXt1gt1Xt2g t2mXt1gt1mXt2gt2RXt1,t2mXt1mXt2B Xt1t2 （10 分）6解：由于Xt,tT是实正交增量过程,故EX t0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 听从标准正态分布, 所以E0,D1 （2 分）E Y tEXtE0

25、tE （4 分）Xs Xt （6 分）又由于t0,Xt都与相互独立Cov Ys ,YtEYs YtEXsXtEXsE XtE2Cov Xs,X1 （8 分）2mins ,t1 （10 分）X7解：利用数学期望的性质可得,8解：CZs ,tEXYs XYs XYtXYt （2 分）2sEXX YsYs XX YtYtEXX2EXXtYYEXXs YYEst YY2 （8 分）DXstCovX,YstDYtst2 （10 分）12RYt1,t2EXt1aXt1Xt2aXt2 （ 2 分）EXt1aXt2aEXt1aXt2EXt1Xt2aEXt1Xt2RXt1a,t2aRXt1a,t2RXt1,t2

26、aRXt1,t2 （ 10 分）9 解：依据题意知顾客的到达率为名师归纳总结 t55t0t3 （3 分）第 11 页,共 21 页203t5 （6 分）202 t55t9mX 1.5mX05.1.555tdt100.5PX15.X0.50e10 （10 分）i表示第 i 个顾客购物与否,即10解：设Xt,t0 表示到达商店的顾客数,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1第i个顾客购物就由题意知i0第i个顾客不购物5 分）i独立同分布且与Xt独立因此,YtPi1p ,Pi0 1pXti是复合泊松过程,表示（0,t）内购买商品的顾客数, （i1由题意求PYt0tPXt0qtPXt0 ,X tkiii1k0i1tk （10 分）PXi0kkPqtk0i1ttketqkek （15 分）0k.k.k0teepte11证明：PYt12X2tnYtnX1tPX1tX2tPX1tX1tXtX2tnnPXX1ti,X2tX2tni （ 5 分）i0n名师归纳总结 PX1tX1tiPX2tX2tni （ 10 分）第 12 页,共 21 页i0in