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1、详解第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛小学高年级组初赛试卷解答者仙桃吴乃华一、选择题（每小题 10 分, 共 60 分.以下每题的四个选项中 ,仅有一个是正确的 ,请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1. 算式2016201699999999 的结果中含有（）个数字 0. A、2017 B、2016 C、2015 D、2014 答案：选 C。解：我们用“以小见大”的方法来探索这类题的规律：99999801 2个 9 的两位数自乘，积中9 和 0 各 1 个，8、1 各 1 个999999998001 3个 9 的三位数自乘，积中9 和 0 各 2 个，8、1 各一个99999999
2、99980001 4 个 9 的四位数自乘，积中9 和 0 各 3 个，8、1 各一个根据上述规律， 2016 个 9 的 2016位数自乘，积应当是：2016201699999999201520159999800001，所以，积中应当为： 8 和 1 各一个， 9 和 0 各有 201612015（个） 。2、已知 A、B 两地相距 300米。甲、乙两人同时分别从A, B 两地出发 , 相向而行 , 在距A 地 140 米处相遇；如果乙每秒多行1 米, 则两人相遇处距B 地 180 米。那么乙原来的速度是每秒（）米. A、235B、245C、3 D、315答案：选 D。解：由甲、乙两人同时分
3、别从A、B 两地相向出发，知甲由A 地出发，在距 A 地 140米处相遇，知第一次相遇时，甲行了140 米，乙行了 300140160（米）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页甲行走的速度是乙的14016078；第二次相遇时，相遇处距B 地 180 米，知，乙行了 180 米，甲行了 300180120（米）甲行走的速度是乙的12018023。设乙的速度为每秒x米，列比例式：78x： （ x1）23解得x3153、 在一个七位整数中 , 任何三个连续排列的数字都构成一个能被11 或 13 整除的三位数 , 则这个七位数
4、最大是（）. A、9981733 B、9884737 C、9978137 D、9871773 答案：选 B。解：由题意知，由于任何三个连续排列的数字都构成的三位数，所以这个七位数的前三个数字中没有 0；又知能被 11 或 13 整除，而 11 和 13 的公倍数中有 1001，知开头的三个数字一定能被 11或 13 整除：9881376 8841368 8471177 4731143 7371167 所以， 9884737是最大的符合条件的7 位数。4、将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行 , 使得 8 的两边各数之和相等 , 那么共有（）种不同的排法 . A、1152 B
5、、864 C、576 D、288 答案：选 A。解：这 8 个数排成一行 , “8”在中间，且两边各数之和相等，除开“8” ，剩下的七个数中，其和为 28，把它分排两边，每边为28214，一边是三个数，一边是四个数：147612345 147521346 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页147431256 146531247 由以上列举可以看出，左、右两边的3 个数字和 4 个数字可以互换，所以等号左边的三个数字有： 3！6 种情况，等号右边的四个数字：有4！24种情况。所以按这样的要求的排列，其排列方式共有：42
6、6241152（种）5、在等腰梯形 ABCD 中，AB 平行于 CD，AB6，CD14，AEC 是直角， CECB，则 AE2等于（）. A、84 B、80 C、75 D、64 答案：选 A。解：过 A、B 两点，分别作垂线AF 和 BG，分别交 DC于 F、G 两点，并连接 AC。因为两条垂线均在等腰梯形ABCD 中，所以AFBGH（高） ，由 AB6，CD14，知 DFGC （146）24 FC 6410，根据勾股定理，在直角三角形 ACF中，AF2FC2AC2H2100 由条件 CECB，知在直角三角形 BCG 中，BG2GC2BC2CE2H216在直角三角形 AEC中，AE2AC2EC
7、2H2100（H216）1001684 所以， AE284. 6、从自然数 1，2，3, .，2015，2016中, 任意取 n 个不同的数 , 要求总能在这 n 个不同的数中找到 5个数, 它们的数字和相等 . 那么 n 的最小值等于（）. A、109 B、110 C、111 D、112 答案：选 B。解：在 1 到 2016 这 2016 个数中，数字之和最大的是1999，其和是 19328，数字之和最小的是 1。按其和的多少可以分成28 组，并且根据多少依次编上号。如：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页数字和是
8、 1 的 号有： 1、10、100、1000；数字和是 2 的 号有： 11、101、110、1001、1010、1100、2、20、200、2000；数字和是 3 的 号有： 111、1011、1101、1110、102、120、201、210、1002、在这 28 组数字和中，除 1999 只有一个数外，其余每组都有4 个或 4 个以上的数。如果我们在这些数字和为4 个或 4 个以上的数的各组中， 每组取 4 个数，并且将 1999也取上，这样共有数： 2741109（个） . 这样，在剩余的数中，任取一个，必然会与从这个数相同组中取出的4 个数的数字和相等，即产生 5个数字和相等的情况。
9、所以， n 的最小值等于： 1091110 二、填空题 （每小题 10 分, 共 40 分）7、两个正方形的面积之差为2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有（）对. 答案： 12。解：设大的边长为 x，小的为 y. 根据题意， x2y22016 由平方差公式知x2y2（ x y） （xy）2016 根据 x、y 均为整厘米数，可以把2016 分解质因数： 201625327 根据其质因数指数情况，可知其因数的个数共有：（51） （21） （11）36（个）利用凑对法可以得到18 对 xy 和 xy 的取值。因为在 2016的因数中有1、 3
10、、7、9、 21、63 六个奇数因数， 知有 6 对 xy 和 xy 的取值的奇偶性不一致，它们得到的正方形的边长不是整厘米数，应当剔除。所以，满足上述条件的所有正方形共有：18612（对） . 8、如下图， O，P，M 是线段 AB 上的三个点， AO45AB ，BP 23AB ，M 是 AB 的中点 , 且 OM2, 那么 PM 长为（）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页答案：109. 解：设 AB“1”.由于 BP 23AB ，知 AP 12313；PM121316；由 M 是 AB 的中点，知 AM BM
11、 12；由 AO45AB ，知 MO4512310根据分数除法的对应关系，知AB2310203所以， PM 长为：203161099、设 q 是一个平方数，如果q2 和 q2 都是质数，就称 q 为 P型平方数 . 例如， 9 就是一个 P 型平方数。那么小于1000 的最大 P 型平方数是（）. 答案： 441。解：根据题意，要找小于 1000 的最大 P 型平方数，我们可以先从接近1000平方数着手。因为 P 型平方数是这个平方数 2 或者 2 都是质数，可知，避免走弯路， 要在奇数的平方中来找。312961，9612959，不是质数，能被7 整除；292841，8412839，839是质
12、数，但 8412843能被 3 整除；272729，7292727，是质数，但 7292731 能被 17 整除；252625，6252623，不是质数，能被7 整除；232529，5292527，不是质数，能被17 整除；212441，4412439，4412443，439、443 都是质数 . 所以，小于 1000的最大 P 型平方数是 441. 10、有一个等腰梯形的纸片, 上底长度为 2015, 下底长度为 2016，用该纸片剪出一些等腰梯形 , 要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上, 剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角 , 则最多可以剪出（）个同样的等腰梯形 . 精选学
13、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页答案： 4029. 解：由题意可知， 题目要求剪出的小梯形，只在梯形的上底和下底以及底角是作了要求，并没有谈及梯形的高的事，可知，要分割的小梯形就是一横排。因为题中的等腰梯形纸片, 上底长度为 2015, 下底长度为 2016，下底与上底之间只相差201620151，为了达到分割出符合要求的小梯形个数最多，可知我们分割的小梯形的上底要尽可能底小，小到分割出的所有的小梯形的上底的和为1，且下底也只能比上底多1。如果设上底为x，下底为x1。上、下底交错搭配，这样，两个小梯形搭配起来就是一个小平行四边形。因为所有x的和为 1，知，平行四边形最多有201512014（个） ，另外还有一个符合要求的等腰梯形，如下图：所以，剪出的符合条件的同样的等腰梯形. 最多有： 2014214029（个）.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页