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1、-第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A卷(小学高年级组) (1)-第 7 页详解第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共80 分） 1. 计算: (2.4 4) = 。答案 2解析原式= -( + ) = 22. 中国北京在2015年7月31日获得了2022 年第24 届冬季奥林匹克运动会的主办权. 预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期 。（今天是2016年3月12日, 星期六） 答案五解析2022-20166（年），20204=505，所以2020为闰年，有366天。2016年3月12日至2022年3月12日共有：
2、3655+366=2191(天）；2022年2月4日至2022年3月12日共有：28-412=36(天）；2016年3月12日至2022年2月4日共有：2191-362155(天）；21557=307（周）6（天）6+6-7=5.所以2022年2月4日是星期五。3. 右图中,AB=5厘米, ABC=85,BCA=45,DBC=20,则AD= 厘米。答案 5解析A180ABC BCA1808545=50 ; ABD= ABC DBC8520=65； ADB180 AABD18050 6565； 所以 ABDADB ，即ABD是等腰三角形。 所以ADAB5(厘米)在99的格子纸上,11小方格的顶点
3、叫做格点。如右图,三角形ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点P 使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等, 就称P点为“好点”。那么在这张格子纸上共有 个“好点”。答案 6解析如图，因为AB2AC，所以P点到AC的距离等于P点到AB距离的2倍，如图所示，共有6个点。5. 对于任意一个三位数n, 用n表示删掉n中为0的数位得到的数。例如n =102时n =12,那么满足n n且n 是n的约数的三位数有 个。答案93解析分两类情况来讨论：个位为0的三位数有：100、110、120.990，共有90个均符合题目要求。设十位数字为0的三位数为a0b，依题意，a0b是ab的倍数。则：100a+b是1
4、0a+b的倍数，且100a+b=10（10a+b）9b，因为10（10a+b）是10a+b的倍数，所以9b是10a+b的倍数。当b=5时，a1或a4符合，即105或405符合。当b8时，a1符合，即108符合。所以，十位为0的三位数共有105、405、108这3个。综上，符合题意的三位数共有90+3=93（个）。6. 共有12 名同学玩一种扑克游戏, 每次4人参加, 且任意2 位同学同时参加的次数不超过1。 那么他们最多可以玩 次。答案9解析将12名同学分别编号为1-12，将这12人分成4组，每组3个人，要想玩的次数最多，则每人需要与其他组的3个人各玩一次，则12个人共玩次数：123=36（次
5、），每次4人玩，最多玩364=9（次） 编号 次数1234567891011121123421567318910425811526912637812736101184591194710127. 如果23能表示成k个连续正整数的和,则k的最大值为 。答案108解析设k个连续正整数的首项为n，则末项为nk1k个连续正整数的和：（n+n+k+1)k2=238； （2n+k+1)k=2238k最大可以取2238108，此时n68符合。所以k最大为108.8. 两把小尺与一把大尺组成套尺,小尺可以沿着大尺滑动。大尺上每一个单位都标有自然数, 第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10, 第二把小尺将大尺上
6、9个单位等分为10, 两把小尺的起点都为0, 都分别记为1 至10。现测量A,B 两点间距离, A 点在大尺的0 单位处,B 点介于大尺的18与19单位之间；将第一把小尺的0单位处于B点时, 其单位3恰好与大尺上某一单位相合. 如果将第二把小尺的0单位处置于B点, 那么第二把小尺的第 个单位恰好与大尺上某一单位相合。答案7解析设第二把小尺的第x个单位恰好与大尺上某一单位相合第一把小尺每个单位占大尺每个单位的： ；第二把小尺每个单位占大尺每个单位的： ；依题意， x- 3的结果为整数，当x=7时， x- 3=3，符合。第二把小尺的第7个单位恰好与大尺上的某一单位相合。二、解答下列各题（每题10
7、分, 共40 分, 要求写出简要过程） 9.复活赛上,甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额。投票人数固定,每票必须投给甲乙二人之一。最后,乙的得票数为甲的得票数的,甲胜出。但是,若乙得票数至少增加4票,则可胜甲。请计算甲乙所得的票数。答案甲、乙得票分别为126，120或147，140.解析设甲、乙得票数分别为a, b.根据题意： b= a，b+4a-4，b+3 a-3如果a是奇数，则b是偶数，即使乙的得票数增加了若干票，甲减少了相应的票数，甲乙的得票数奇偶性不变。这时乙要胜甲，只要比甲多得一票即可，也就是比甲减少4票后所得票数多一票，即等于甲减去3票所得之差，故，此时甲、乙二人得票数
8、的差是3+4=7（票），甲得票数是7（1- ）147（票），乙得票数是147-7=140（票）。 如果a是偶数，则b是偶数，即使乙的得票数增加4票，甲得的票数减少4票，二人的得票数仍然都是偶数。因此，这时乙要恰好胜甲，只需要比甲多得2票即可，而此时甲、乙得票数相差是2+4=6（票），甲得票数是6（1- ）126（票），乙得票数是126-6=120（票）。10.如右图, 三角形ABC 中, AB=180 厘米, AC=204厘米, D, F是AB上的点, E, G 是AC上的点,连结CD, DE, EF, FG, 将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形. 则AFAG为多少厘米?答案172.5解
9、析在ABC中，SADC=4SDBC,所以AD=4BD=4（1805）=144（厘米）在ADC中，SADE=3SEDC,所以AE=3EC=3(2044)=153（厘米）在ADE中，SAFE=2SEFD,所以AF=2DF=2(1443)=96（厘米）在AFE中，SAFG=SGFE,所以AG=GE=1532=76.5（厘米）因此，AF+AG=96+76.5=172.5（厘米）11. 某水池有甲、乙两个进水阀. 只打开甲注水, 10小时可将空水池注满；只打开乙,15小时可将空水池注满。现要求7 个小时将空水池注满, 可以只打开甲注水若干小时, 接着只打开乙注水若干小时, 最后同时打开甲乙注水。那么同时
10、打开甲乙的时间是多少小时?答案5解析设单独开甲进水阀x小时，单独开乙进水阀y小时，同时打开甲、乙进水阀z小时。由题设， x+y+z=7(1) x+ y+（ + ） z =1(2) 由（2）15得1.5x+y+2.5z=15(3) 由（3）-（1）得0.5x+1.5z=8 z=此式有整数解：x1，z5；x4，z4;x7，z3;x10，z2;x13，z1.但只有一组解x1，z5符合要求，此时y1，即甲进水阀开1小时，乙进水阀开1小时，甲、乙两进水阀同时开5小时，注满水。12. 将一个五边形沿一条直线剪成两个多边形,再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分,得到了三个多边形,然后将其中一个多边形沿一条
11、直线剪成两部分, 如此下去。在得到的多边形中要有20 个五边形, 则最少剪多少次?答案38解析一个多边形被分成两部分，其内角和至多增加3600，剪k次共增加的度数至多为(k 3600），所以这（k-1）个多边形的度数和至多是k 3600 +5400。另一方面，20个五边形的度数和为205400，剩余的（k-19）个多边形的度数和最小是（k19）1800，这样得到：（k19）1800+205400 k 3600 +5400整理得K38.。当k=38时，可以先将一个五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用18次将四边形分成19个四边形，再用19次将每个四边形切成五边形，这样就用38次将其切成20个
12、五边形。三、解答下列各题（每小题 15 分，共30 分，要求写出详细过程）13. 如右图, 有一张由四个11的小方格组成的凸字形纸片和一张56的方格纸。现将凸字形纸片粘到方格纸上, 要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸的某个小方格重合,那么可以粘出多少种不同的图形? (两图形经旋转后相同看作相同图形)答案31解析把凸字形上面那个小方格称为它的头。粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸边框上为一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类。对于第一类，凸字形的头不能黏在方格纸的四个角，边框上（不是角）的小方格共有23+24=14（个），即有14个图形。对于第二类，方格纸内部的每一个小格都可以粘凸字
13、形的头，有头朝上、头朝下、头朝左、头朝右之分。所以，这类图形有4（34）=48（个）。由加法原理知，共有14+48=62种图形。由于方格纸的每个小格都与另外一个小方格旋转对称，所以，总的不同的图形为622=31（个）。14. 设n 是正整数。若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数 a, b,c,d 使得abcd 能被 20 整除,则n的最小值是多少?答案9解析存在8个数：0,1,2,4,7,12,20,40它们中的任何四个数都不满足条件，所以，n的最小值大于或等于9.另一方面，对于任意9个非负整数，从中任取7个，它们的两两之和共有21个，这21个和数除以20的余数有21个。因为余数最多有20个不同的值，所以有下述两种情况之一发生：（1）有4个不同的数a, b, c, d使得a+ b与c+ d 除以20有相同的余数。此时，这4个数满足题目要求。（2）有3个不同的数a, c, x使得a+ x与c+ x除以20有相同的余数，则a+ x-(c+ x)=a+ c是20的倍数，将a, c从9个数中取出。对于剩下的7个数，同理可得，要么有4个不同的数满足题目；要么有2个数b, d使得b- d是20的倍数，如此一来，a, b, c, d使得a+b-c-d是20的倍数。