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1、解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：求轨迹方程的一般方法：1.定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2.直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的坐标x，y表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t，以此量作为参变数，分别建立 P 点坐标 x，y 与该参数 t
2、 的函数关系 xft，ygt，进而通过消参化为轨迹的普通方程Fx，y0。4.代入法相关点法：如果动点P 的运动是由另外某一点 P的运动引发的，而该点的运动规律已知，该点坐标满足某已知曲线方程，则可以设出 Px，y，用x，y表示出相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点 含参数的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程 假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程，该法经常与参数法并用。一：用定义法求轨迹方程一：用定义法求轨迹方程例例 1 1：已知AB
3、C的顶点 A，B 的坐标分别为-4，0，4，0，C 为动点，且满足sin B sin A 的轨迹。15sinC,求点 C4例例 2 2：已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，假设a,c,b依次构成等差数列，且a c b，AB 2，求顶点C的轨迹方程.【变式】【变式】：已知圆圆心 P 的轨迹方程。的圆心为 M1，圆的圆心为 M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆【变式】【变式】：C：(x 3)2y216内部一点A(3,0)与圆周上动点 Q 连线 AQ 的中垂线交 CQ 于 P，求点 P 的轨迹方程.二：用直译法求轨迹方程二：用直译法求轨迹方程例例 3 3：一条线段两个端点A 和 B 分别在
4、 x 轴和 y 轴上滑动，且 BM=a，AM=b，求 AB 中点 M 的轨迹方程？2【变式】【变式】:动点 Px,y到两定点A3，0和 B3，0的距离的比等于2即程？|PA|2，求动点P 的轨迹方|PB|三：用参数法求轨迹方程三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例例 4 4过点 P2，4作两条互相垂直的直线 l1，l2，假设 l1交 x 轴于 A 点，l2交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M的轨迹方程。2例例 5:5:过抛物线y 2pxp 0的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程.【
5、变式】【变式】过圆 O：x2+y2=4 外一点 A4，0，作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC 的中点 M 的轨迹。3四：用代入法求轨迹方程四：用代入法求轨迹方程x2y20)为定点，求线段 AB的中点 M的轨迹方程。例例 6.6.点B是椭圆221上的动点，A(2a，ab例例 7:7:如图，从双曲线C:x2 y21上一点Q引直线l:x y 2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.yPNQOx【变式】【变式】如下图，已知P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程yQBRAoxP五、用交轨法求轨迹方程五、用交
6、轨法求轨迹方程x2y2例例 8.8.已知椭圆221abo的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2，求 A1P1ab与 A2P2交点 M 的轨迹方程.4x2y2例例 9 9：如右图，垂直于x轴的直线交双曲线221于M、N两点，A1,A2为双曲线的左、右顶点，求直线A1Mab与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.yPMA1OA2Nx六、用点差法求轨迹方程六、用点差法求轨迹方程x2 y21，例例 1010.已知椭圆21求过点P，且被P平分的弦所在直线的方程；2求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；3过A2，1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
7、1 12 2课后作业课后作业ABC中，B，C 坐标分别为-3，0，3，0，且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方程是_.x my 1 0与mx y 1 0的交点的轨迹方程是_.(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹方程是_5m 随意变化时，则抛物线yx的顶点的轨迹方程为_。2m1 xm1225:点 M 到点 F4，0的距离比它到直线x的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为_。50O，0、A 30，6:求与两定点O距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为_1y2 4x的通径过焦点且垂直于对称轴的弦与抛物线交于A、B 两点，动点 C 在抛物线上，求ABC 重心 P
8、的轨迹方程。8.已知动点 P 到定点 F1，0和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨迹方程。l和抛物线y x24x 6交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。10、已知定点 A(3,0)，P 是圆 x 2+y2=1 上的动点，AOP 的平分线交 AP 于 M，求 M 点的轨迹。611、已知常数a 0，经过定点A(0,a)以m (,a)为方向向量的直线与经过定点B(0,a)，且以n (1,2a)为方向向量的直线相交于点，其中R 求点的轨迹的方程，它是什么曲线；假设直线l:x y 1与曲线相交于两个不同的点、，求曲线的离心率的范围12、过点M(2,0)，作直线 l 交
9、双曲线x y 1于 A、B 不同两点，已知OP OAOB。1、求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。2、是否存在这样的直线，使|OP|AB|?假设存在，求出 l 的方程；假设不存在，说明理由。22补充例题：补充例题：y2=4 p x(p 0)的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O 在直线 AB 上的射影 M 的轨迹。7x2y22.已知椭圆22=1(ab0),点 P 为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为 l，点 F2关于 lab的对称点为 Q，F2Q 交 l 于点 R(1)当 P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点 R 形成的曲线为 C，
10、直线 ly=k(x+2a)与曲线 C 相交于 A、B 两点，当AOB 的面积取得最大值时，求 k 的值3如图11-5-1，已知圆O：x2 y2 25,点A(3,0),B(3,0)，C为圆O上任意一点，直线CD与BC垂直，并交圆O于另一点D.1求证：AD BC；2假设点P在线段CD上，且PAD PBC，求点P的轨迹方程.DPOBxyCA图 11-5-18求轨迹方程的常用方法答案例 1：由由sin B sin A 55sinC,可知b a c 10，即|AC|BC|10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为44x2y21x 5)，图形为椭圆不含左，右顶点。21，则a 5,c 4 b 3，则轨迹方程为225
11、9abx2y2例 2：解：如右图，以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系.由题意，a,c,b构成等差数列，2c a b，CyAOBx即|CA|CB|2|AB|4，又CB CA，C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，a 2,c 1，b 3，x2y21(x 0,x 2).故C的轨迹方程为43【变式】【变式】解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得：。动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b=12。2，。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆 O：x2 y21外切，而与圆 C：x2 y26x 8 0内切，那么动圆的圆心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆
12、C：椭圆 D：双曲线一支【解答】【解答】令动圆半径为 R，则有|MO|R 1，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。|MC|R 1二：用直译法求曲线轨迹方程二：用直译法求曲线轨迹方程例 3：一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？解 设 M 点的坐标为(x,y)由平几的中线定理：在直角三角形 AOB 中，OM=11AB 2a a,22x2y2 a,x2 y2a2M 点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周.【点评】【点评】此题中找到了 OM=1AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有以下几种情况：
13、21代入题设中的已知等量关系：假设动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化9的方法求其轨迹。2列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式【变式 2 2】:动点 Px,y到两定点 A3
14、，0和 B3，0的距离的比等于 2即方程？22【解答】【解答】|PA|=(x 3)y,|PB|PA|2，求动点 P 的轨迹|PB|(x 3)2 y2(x 3)2 y2|PA|2 (x 3)2 y2 4(x 3)2 4y2 2得代入|PB|(x 3)2 y2化简得x52+y2=16，轨迹是以5，0为圆心，4 为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例例 4 4【解析】【解析】分析分析 1 1：从运动的角度观察发现，点M 的运动是由直线 l1引发的，可设出l1的斜率 k作为参数，建立动
15、点 M 坐标x，y满足的参数方程。解法解法 1 1：设 Mx，y，设直线 l1的方程为 y4kx2，k由l1 l2，则直线l2的方程为y 4 1(x 2)k4，0)，k24)，l2与y轴交点B的坐标为(0，kl1与x轴交点A的坐标为(2M 为 AB 的中点，42k12x 2k(k为参数)24k 21y 2k消去 k，得 x2y50。另外，当 k0 时，AB 中点为 M1，2，满足上述轨迹方程；当 k 不存在时，AB 中点为 M1，2，也满足上述轨迹方程。综上所述，M 的轨迹方程为 x2y50。分析分析 2 2：解法 1 中在利用 k1k21 时，需注意 k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否
16、避开讨论呢？只需利用10PAB 为直角三角形的几何特性：|MP|1|AB|2解法解法 2 2：设 Mx，y，连结 MP，则 A2x，0，B0，2y，l1l2，PAB 为直角三角形由直角三角形的性质，|MP|(x 2)(y 4)221|AB|21(2x)2(2y)22化简，得 x2y50，此即 M 的轨迹方程。分析分析 3 3：设 Mx，y，由已知 l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上，由 M 为 AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法解法 3 3：设 Mx，y，M 为 AB 中点，A2x，0，B0，2
17、y。又 l1，l2过点 P2，4，且 l1l2PAPB，从而 kPAkPB1，404 2y，kPB2 2x2044 2y 1，化简，得x 2y 5 02 2x2而kPA注意到 l1x 轴时，l2y 轴，此时 A2，0，B0，4中点 M1，2，经检验，它也满足方程x2y50综上可知，点 M 的轨迹方程为 x2y50。【点评】【点评】1）解法 1 用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3 为直译法，运用了 kPAkPB1，|MP|1|AB|这2些等量关系。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有
18、具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响ykx1例例 5:5:解：设M(x,y)，直线OA的斜率为k(k 0)，则直线OB的斜率为.直线OA的方程为y kx，由2ky 2pxx 解得y 2 pk2，即A(2p,2p)，同理可得B(2pk2,2pk).k2k2 pkp2x pk2k2由中点坐标公式，得，消去k，得y p(x 2p)，此即点M的轨迹方程.y p pkk【变式】【变式】过圆 O：x2+y2=4 外一点 A4，0，作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC 的中点 M 的轨迹。11解法一：解法一：“几何法”“几何法”设点 M 的坐标为x,y,因为点 M 是弦 BC
19、 的中点，所以 OMBC,所以|OM|，即(x2+y2)+(x)2+y2=16化简得：x22+y2=4.由方程 与方程 x2+y2=4 得两圆的交点的横坐标为1，所以点 M 的轨迹方程为x22+y2=4 0 x1。所以 M 的轨迹是以2，0为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。解法二：解法二：“参数法”“参数法”设点 M 的坐标为x,y，Bx1,y1,Cx2,y2直线 AB 的方程为 y=k(x4),由直线与圆的方程得1+k2x28k2x+16k24=0.(*),x1 x2y4k2由点 M 为 BC 的中点，所以 x=.(1),又 OMBC，所以 k=.(2)由方程1 22x21 k消去
20、k 得x22+y2=4,又由方程*的0 得 k21,所以 x1.3所以点 M 的轨迹方程为x22+y2=4 0 x1所以 M 的轨迹是以2，0为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程四：用代入法等其它方法求轨迹方程x2y20)为定点，求线段 AB的中点 M的例例 6.6.点B是椭圆221上的动点，A(2a，ab轨迹方程。分析：分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A 为定点，而 B、M 为动点，且点 B 的运动是有规律的，显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的，可见 M、B 为相关点，故采用相关点法求动点M 的轨迹方程。【解析】【解析】设动点 M 的坐标
21、为x，y，而设 B 点坐标为x0，y0则由 M 为线段 AB 中点，可得x0 2a xx0 2x 2a2即点 B 坐标可表为2x2a，2yy0 2yy0 0 y2xyx2y2又点B(x0，y0)在椭圆221上02021abab4(x a)24y221整理，得动点M的轨迹方程为a2b22(2x 2a)2(2y)2从而有21，2abyPQNOx【点评】【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系例 7 如图，从双曲线C:x y 1上一点Q引直线22l:x y 2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.解：设P(x,y)，Q(x1,y1)，则N(2x x1,2y y1).N在直
22、线l上，122x x1 2y y1 2.又PN l得y y11,即x y y1 x1 0.x x13x y 2x 3x y 223y x2212C()()1，化 简 整理得：联 解 得.又 点在 双曲 线上，Q22y 3y x 2122x22y22x 2y 1 0，此即动点P的轨迹方程.【变式】【变式】如下图，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形 APBQ的顶点 Q 的轨迹方程yQB【解析】【解析】：设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，则在 RtABP 中，|AR|=|PR|又因为 R是弦 AB 的中点，依垂径定理在 RtO
23、AR 中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)R又|AR|=|PR|=(x4)2 y2所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0AoPx因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动x4y 0,y122x42yx4代入方程 x2+y24x10=0,得(10=0)()24222设 Q(x,y)，R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1=整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程x2y2用交轨法求轨迹方程用交轨法求轨迹方程221ab例 9 解：设P(x,y)及M(x1,y1),N(x1,y1)，又A1(a,
24、0),A2(a,0)，可得直线A1M的方程为y y1 y1(x a)；直线A2N的方程为y(x a).x1 ax1 ax12y12 y12b22b2222222得y 2(x a).又221,y12(a x1)，代入得y 2(x a2)，2aabax1a2x2y2化简得221，此即点P的轨迹方程.当a b时，点P的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆；当a b时，ab点P的轨迹是椭圆.六、用点差法求轨迹方程六、用点差法求轨迹方程例例 1010.分析：分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：解：设弦两端点分别为Mx1，y1，Nx2，y2，线段MN的中点Rx，y，则13x122y1
25、22，22x22y22，x1x22x，y y 2y，12将代入得x2y1将x 得x1 x2x1 x22y1 y2y1 y2 0由题意知x1 x2，则上式两端同除以x1 x2，有x1 x22y1 y2y1 y2 0，x1 x2y1 y2 0 x1 x211y y21，y 代入，得1，故所求直线方程为：2x4y3 0 22x1 x22222将代入椭圆方程x 2y 2得6y 6y11 0，3646 0符合题意，2x4y3 0为所求442将y1 y2椭圆内部分 2代入得所求轨迹方程为：x4y 0 x1 x23将y1 y2y1代入得所求轨迹方程为：x22y22x2y 0 椭圆内部分x1 x2x2课后作业
26、：【正确解答】【正确解答】ABC 为三角形，故A，B，C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点(5,0).(5,0)，即轨迹方程为x2y21(x 5)25162.两条直线x my 1 0与mx y 1 0的交点的轨迹方程是.【解答】【解答】:直接消去参数m即得(交轨法):x y x y 03:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹方程是.【解答】【解答】:令 M 点的坐标为(x,y),则 A 的坐标为(2x,2y),代入圆的方程里面得:(x)y2212221(x 0)42m1 xm14:当参数 m 随意变化时，则抛物线yx的顶点的轨迹方程为22【分
27、析】【分析】：把所求轨迹上的动点坐标 x，y 分别用已有的参数 m 来表示，然后消去参数 m，便可得到动点的轨迹15x m y m方程。【解答】【解答】：抛物线方程可化为42214它的顶点坐标为x m，y m消去参数 m 得：y x 故所求动点的轨迹方程为4。x 4y 305:点 M 到点 F4，0的距离比它到直线x的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为 50【分析】【分析】：点 M 到点 F4，0的距离比它到直线x的距离小 1，意味着点 M 到点 F4，0的距离与它 50到直线x的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M 的轨迹方程。4 0【解答】【解答】：依题意，点 M 到点 F4，0的距离与它
28、到直线x的距离相等。则点 M 的轨迹是以 F4，0 4为焦点、x为准线的抛物线。故所求轨迹方程为y 16x。42125434O，0、A 30，6:求与两定点O距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为_1POPA1，则依照点 P 在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。2POPA12【分析】【分析】:设动点为 P，由题意，y是所求轨迹上一点，依题意得【解答】【解答】：设P x由两点间距离公式得：x2 y2x 32 y2122化简得：x y 2x 3 027 抛物线y 4x的通径过焦点且垂直于对称轴的弦与抛物线交于 A、B 两点，动点 C 在抛物线上，求ABC重心 P 的轨迹方程。【分析】【分析】：抛
29、物线y 4x的焦点为F1y1)。其中，0。设ABC 重心 P 的坐标为(x，y)，点 C 的坐标为(x1，22x11，y是重心，则由分点坐标公式得：x【解答】【解答】：因点P xx1 2y，y 1即x1 3x 2，y1 3y33，y由点Cx11在抛物线y 4x上，得：y1 4x142x x 1)3322将x1 3x 2，y1 3y代入并化简，得：y 29.已知动点 P 到定点 F1，0和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨迹方程。15【解答】【解答】：设点 P 的坐标为x，y，则由题意可得。22221当 x3 时，方程变为(x 1)y 3 x 4,(x 1)y x 1，化简得y2
30、4x(0 x 3)。22222当 x3 时，方程变为(x 1)y x 3 4,(x 1)y 7 x，化简得。故所求的点 P 的轨迹方程是或l和抛物线y x24x 6交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。【解答】【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程 y=kx。把它代入抛物线方程。因为直线和抛物线相交，所以0，解得k(,42 6)(42 6,)。，得设 A，B，Mx，y，由韦达定理得。由消去 k 得。又，所以x(,6)(6,)。点 M 的轨迹方程为y 2x24x,x(,6)(6,)1010、解：如图，设解：如图，设 MM(x x,y y)、P P(x x1
31、 1,y y1 1)。由于由于 OMOM 平分平分AOPAOP，故故 MM 分分 APAP 的比为：的比为：=|AM|OA|=3=3|MP|OP|33x103y1,y，1313由定比分点公式，得由定比分点公式，得x 43x(x)432423291342即即，由于，由于 x x1 1 2 2+y y1 12 2=1=1，故，故(x)(y)1，即，即(x)y。4343416y y13故所求轨迹是以故所求轨迹是以(,0)为圆心，以为圆心，以1111、解解:(1):(1)用交轨法用交轨法343为半径的圆。为半径的圆。416过以过以m为方向向量的直线方程为：为方向向量的直线方程为：y a ax 过以过以
32、n为方向向量的直线方程为：为方向向量的直线方程为：y a 2ax y2x21的轨迹为双曲线的轨迹为双曲线由消去由消去得：得：2 分分1a2 y2222x 1(2)(2)联立方程联立方程a消去消去y得得(12a2)x22x1a2 0 分分x y 112a2 012a2 062依题意有依题意有，即，即0 a 且a 2222 044(12a)(1a)0ccaa22a2又又e 12112 3且e 2 分分a22a231212、解：解：1 1、设直线、设直线 l l 的方程为的方程为y k(x2)，代入代入x2 y21得得(1k2)x24k2x4k21 0，4k24k21当当k 1时，设时，设A(x1,
33、y1)，B(x2,y2)，则，则x1 x2，x1x222k 11kk 4k24ky1 y2 k(x12)k(x22)4k 1k21k2设设P(x,y)，由，由OP OAOB，则，则4k2x 4k24k1k，解之得，解之得x k(k 0)(x,y)(x1 x2,y1 y2)(,)1k21k2yy 4k1k24kx22再将再将 k代入代入y 得得(x2)y 41 121ky当当k 0时，满足时，满足1 1式；式；22当斜率不存在是，易知当斜率不存在是，易知P(4,0)满足满足1 1式，故所求轨迹方程为式，故所求轨迹方程为(x2)y 4，其轨迹为双曲线；，其轨迹为双曲线；当当k 1时，时，l l 与
34、双曲线只有一个交点，不满足题意。与双曲线只有一个交点，不满足题意。2 2|OP|AB|，所以平行四边形所以平行四边形 OAPBOAPB 为矩形，为矩形，OAPBOAPB 为矩形的充要条件是为矩形的充要条件是OA OB 0，即即x1x2 y1y2 0。当当k不存在时，不存在时，A A、B B 坐标分别为坐标分别为(2,3)，(2,3)，不满足上式。，不满足上式。(k21)(4k21)2k24k224k 0又又x1x2 y1y2 x1x2k(x12)(x2)22k 1k 1k21 0，此方程无实数解，故不存直线，此方程无实数解，故不存直线 l l 使使 OAPBOAPB 为矩形。为矩形。化简得：化简得：2k 1217