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1、2022年高一数学二次函数知识点归纳 二次函数相比于一次函数更难,但只要做好总结,做做题,还是很快可以驾驭的,下面就是我给大家带来的高一数学二次函数学问点归纳,希望大家喜爱! 高一数学二次函数学问点归纳 I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a0,且a确定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下,IaI还可以确定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数
2、,a0) 顶点式:y=a(x-h)2+k抛物线的顶点P(h,k) 交点式:y=a(x-x?)(x-x?)仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线 注:在3种形式的相互转化中,有如下关系: h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax?,x?=(-bb2-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特殊地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P,坐
3、标为 P(-b/2a,(4ac-b2)/4a) 当-b/2a=0时,P在y轴上;当=b2-4ac=0时,P在x轴上。 3.二次项系数a确定抛物线的开口方向和大小。 当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同确定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右。 5.常数项c确定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c) 6.抛物线与x轴交点个数 =b2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点。 =b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 =b2-4ac0时
4、,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a) V.二次函数与一元二次方程 特殊地,二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程), 即ax2+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c(各式中,a0)的图象形态相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 顶点坐标 对称轴 y=ax2 (0,0) x=0 y=a(x-h)2
5、 (h,0) x=h y=a(x-h)2+k (h,k) x=h y=ax2+bx+c (-b/2a,4ac-b2/4a) x=-b/2a 当h0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到, 当h0时,则向左平行移动|h|个单位得到. 当h0,k0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0,k0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0,k0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图
6、象; 当h0,k0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 因此,探讨抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清晰了.这给画图象供应了便利. 2.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象:当a0时,开口向上,当a0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,4ac-b2/4a). 3.抛物线y=ax2+bx+c(a0),若a0,当x-b/2a时,y随x的增大而减小;当x-b/2a时,y随x的增大而增大.若a0,当x-b/
7、2a时,y随x的增大而增大;当x-b/2a时,y随x的增大而减小. 4.抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点: (1)图象与y轴肯定相交,交点坐标为(0,c); (2)当=b2-4ac0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?| 当=0.图象与x轴只有一个交点; 当0.图象与x轴没有交点.当a0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y当a0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y0. 5.抛物线y=ax2+bx+c的最值:假如a0),则当x=-b/2a时,y最小
8、(大)值=(4ac-b2)/4a. 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式: y=ax2+bx+c(a0). (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)2+k(a0). (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a0). 7.二次函数学问很简单与其它学问综合应用,而形成较为困难的综合题目。因此,以二次函数学问为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现。 高一数学二次函数学问点归纳第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页