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1、直线与平面的位置关系【要点梳理】要点一：直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：、，. 要点诠释：（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：直线a在平面外，即；直线b在平面内，即；直线a，b平行，即ab这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立（2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可要点二：直线和平面平行的性质文字语言：一条直线与一个平面
2、平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.符号语言：若，则.图形语言：要点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”可以用符号表示：若a，则ab这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a；（2）平面和相交，即；（3）直线a在平面内，即三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误要点三：直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直的定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互
3、相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)若，则.2.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言：符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直
4、线有公共点，则无关紧要.相关的重要结论 过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条 如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直 如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直要点四：直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：3直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。（2）若于，则。（3）垂直于同一条直线的两个平
5、面平行。（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面。要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化。要点五：直线与平面所成的角1直线与平面所成角的定义一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.要点诠释：(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线. (2)直线与平面垂直时射影是点.(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜
6、线的射影上.2直线与平面所成的角的范围：直线和平面相交不垂直时，090垂直时，=90 直线和平面平行或直线在平面内，=0直线和平面所成角的范围是0903求斜线与平面所成角的一般步骤： (1)确定斜线与平面的交点即斜足； (2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影； (3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：AC/平面EFG， BD/平面EFG例2已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平
7、面内，P、Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如右图求证：PQ平面CBE【变式1】在正方体中，是正方形的中心，求证：面 【变式2】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF平面PEC.类型二、直线与平面平行的性质例3已知直线平面，直线平面，平面平面=，求证【总结升华】证明线线平行的问题，往往可以先证线面平行，由线面平行得出线线平行，这是立体几何中证明线线平行最常用的方法之一举一反三：【变式1】 过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1求证：BB1EE1【变式2】四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中
8、点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH求证：APGH例4如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面，且AB、CD在的两侧，若AC、BD与分别交于M、N两点，求证：例5. 如图所示，已知平面平面，AB与CD是两条异面直线，且AB，CD如果E，F，G分别是AC，CB，BD的中点，求证：平面EFG【变式1】 如图所示，已知点P是ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PBC平面APD=（1）求证：BC；（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论类型三、直线与平面垂直的判定例6下列命题中正确的个数是( )如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；如果直线与平面内的
9、一条直线垂直，则；如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直A0 B1 C2 D3【变式】设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）A在平面内有且只有一条直线与直线垂直 B过直线有且只有一个平面与平面垂直 C与直线垂直的直线不可能与平面平行 D与直线平行的平面不可能与垂直例7如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC，AD=BD，作BECD，E为垂足，作AHBE于H，求证：AH平面BCD。例8 如图所示，四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAD是等腰三角形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN平面PCD。【变式1】 正方体，求证：
10、面.例9在正ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AEEB=CFFA=CPPB=12 如图（1）。将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B、A1P 如图（2）。求证：A1E平面BEP。 【变式1】 如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体（如图），使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是（ ） ASG平面EFG BSD平面EFG CGF平面SEF DGD平面SEF类型四：直线与平面垂直的性质例10设a，b为异面直线，AB是它们的
11、公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）。（1）若a，b都平行于平面，求证：AB；（2）若a，b分别垂直于平面，且，求证：ABc。【变式1】 设，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A若m，m，则 B若，m，则mC若，m，则m D若，m，则m例11如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（1）证明：AECD；（2）证明：PD平面ABE 【变式】如图，已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交SC于F（1）求证：AFSC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AGS
12、D类型五、直线和平面所成的角例12如图，三棱锥A-SBC中，BSC=90，ASB=ASC=60，SA=SB=SC。求直线AS与平面SBC所成的角。【变式1】 （1）正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）A B C D（2）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）A B C D【巩固练习】1下列说法中正确的是（ ）过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直；过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；过直线外一点只能作一条
13、直线与已知直线垂直 A B C D2对于平面的共面的直线m，n，下列命题中是真命题的为（ ）A若m，mn，则n B若m，n，则mnC若m，n，则mn D若m，n与所成角相等，则mn3已知三条互相平行的直线a、b、c中，则平面、的位置关系是（ ）A平行 B相交 C平行或相交 D重合4已知m，n是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，给出下列三个命题： ；。其中正确命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D35下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，、分别是为其所在棱的中点，能得出的图形的序号是( )A.B.C.D.()6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂
14、直于（ ）AAC BBD CA1D DA1D17平面四边形，为平面外一点，则、中最多有 个直角三角形8设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：若PABC，PBAC，则H是ABC的垂心；若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是ABC的垂心；若ABC=90，H是AC的中点，则PA=PB=PC；若PA=PB=PC，则H是ABC的外心。则正确命题的序号有_。9如右图，P为梯形ABCD所在平面外一点，CD2AB，E为PC的中点。求证：BE平面PAD。10两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，过M作MHAB于H.求证：MN平面BCE11如右图，直线AB和CD是异面直线，AB，CD，AC=M，BD=N，求证： 13如右图，在圆锥PO中，已知，O的直径AB=2，点C在上，且CAB=30，D为AC的中点。（1）证明：AC平面POD；（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值。 14如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MNCD；（2）若PDA=45，求证：MN平面PCD15如图，在正三棱柱中，是的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面10学科网（北京）股份有限公司