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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date二次根式-教学设计7二次根式7二次根式第1课时二次根式的概念和性质教学目标【知识与技能】1.了解二次根式及最简二次根式的概念.2.会化简二次根式.3.理解并掌握二次根式的性质.【过程与方法】经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式的过程,发展学生的归纳概括能力和语言表达能力.【情感、态度与价值观】积极参与数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体会到数学学
2、习的乐趣.教学重难点【重点】理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念,化简二次根式.【难点】化简二次根式.教学过程一、知识回顾,引入新课师:同学们还记得平方根的概念吗?生:记得.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.师:什么叫做算术平方根呢?生:正数的正的平方根以及零的平方根,统称算术平方根.师:很好!非负数a的算术平方根用(a0)表示.一般地,例如(a0)的式子,我们叫做二次根式.这就是今天这节课我们要学习的内容.二、讲授新课师:请同学们观察下列代数式,你能发现它们有什么共同特征吗?,(其中b=24,c=25).生:它们都含有开方运算,并且被开方数都是非负数.师:很好!一般
3、地,例如(a0)的式子,叫做二次根式,a叫做被开方数.那么二次根式具有什么性质呢?下面我们一起来探究一下.请同学们完成以下填空:=,=;=,=;=,=;=,=.学生独立完成填空,然后集体订正.并根据上面的猜想,估计下列式子是否相等,再借助计算器验证.=,=.师:请同学们比较左右两边的等式,你发现了什么?你能用字母表示你发现的规律吗?学生分组讨论交流,然后由小组代表发言,教师予以补充完善.师:通过刚才的探究,我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质.即:(1)积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数),即=(a0,b0);(2)商的算术
4、平方根的性质:商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.(被除式必须是非负数,除式必须是正数),即=(a0,b0).师:知道了二次根式的这些性质,下面我们来看几个例题,加深理解.三、例题讲解【例1】化简:(1);(2);(3).【答案】(1)=98=72;(2)=5;(3)=.例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.【例2】化简:(1);(2);(3) . 【答案】(1)=5;(2)=;
5、(3)=.判断最简二次根式的方法:通常将不含分母的被开方数分解因数或因式后,不含能开得尽方的因数或因式,即为最简二次根式.【例3】先化简,再求出下面算式的近似值(精确到0.01).(1);(2);(3).(合理应用二次根式的性质,可以帮助我们简化实数的运算.)【答案】(1)=1220.78;(2)=1.01;(3)=10-2=0.010.02.四、巩固练习1.化简:;(2);(3);(4)【答案】(1)165(2)4(3)(4)2.化简:-【答案】原式=-=.3.若b0,x0)2.想一想:你能计算吗?(1);(2);(3).师:先计算每组数中的左边的式子,再计算右边的式子.它们相等吗?你发现了
6、什么?学生先独立完成,然后分组讨论交流,再集体订正.3.提出问题.(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运煤多少吨?(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运煤多少吨?这是以前学过的多项式加减法,同类项可以合并,想一想在计算二次根式加减法的时候能运用此类方法吗?请尝试计算以下几题.(1)3+4;(2)+;(3)+4.二、讲授新课1.在学生进行练习后进行总结.二次根式的乘除运算法则.=(a0,b0)=(a0,b0)即将二次根式的性质等式左右两边对换,就得到二次根式的乘法法则和除法法则.二次根式的加减运算法则.师:与合并同类项类似,我们可以把相同二次根式的项合并.下列计算
7、结果哪些正确,哪些不正确?+=;a+=a;-=;a+b=(a+b);-=-=0.学生回答,教师予以订正.二次根式的四则混合运算.二次根式即可以进行乘除运算,也可以进行加减运算.以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.说说下列算式的运算顺序,并计算出结果.(+)(+) 56+2.例题学习.【例1】计算.(1);(2);(3).(归纳二次根式的乘除运算的一般步骤:(1)运用法则,化归为根号内的实数运算;(2)完成根号内乘除运算;(3)化简二次根式.)【答案】(1)=;(2)=;(3)=.【例2】计算:(1)32;(2)-5;(3)(+1)2;(4)(+3)(-3);(5)-;(6)【答案】(1)
8、32=32=6;(2)-5=-5=-5=6-5=1;(3)(+1)2=()2+2+1=5+2+1=6+2;(4)(+3)(-3)=()2-32=13-9=4;(5)(-)=-=-=6-1=5;(6)=+=+=2+3=5.【例3】计算:(1)+;(2)-;(3)(+).【答案】(1)+3=+=+=4+=5;(2)-=-=-=;(3)(+)=+=+=2+3=5.三、课堂小结师:本节课我们学习了哪些知识?还有什么疑惑的地方吗?师生共同总结.第3课时二次根式的运算(2)教学目标【知识与技能】1.巩固对二次根式的四则混合运算的掌握.2.进一步学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.【过程与方法】引导学
9、生从特殊到一般,用总结归纳的方法以及类比的方法解决数学问题.【情感、态度与价值观】体验并掌握迁移、转化等数学思想与方法.教学重难点【重点】进一步应用二次根式的运算法则进行二次根式的四则混合运算.【难点】熟练进行二次根式的四则混合运算.教学过程一、引入新课师:通过上节课的学习,同学们已经掌握了二次根式的相关运算法则,这节课我们进一步来学习二次根式的加减乘除混合运算.二、例题讲解【例1】先化简,再求出近似值(精确到0.01).-(二次根式加减运算的一般步骤是:先化简,再合并.)【答案】原式=-=2-=(2-)=1.73.【例2】计算.(1)-3;(2)(-3);(3)(-).(说明:(1)二次根式
10、混合运算的运算次序是:先乘除,后加减;(2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用;(3)二次根式的运算结果能化简的必须化简.)【答案】(1)原式=3-6=-3;(2)原式=-3=-3=-9;(3)原式=-=-=4-3=1.【例3】计算:(1)-;(2)-8+;(3)(-);(4)+-.【答案】(1)-=-=-=;(2)-+=-+=3-2+=;(3)(-)=-=-=-=-=2-=;(4)+-=+-=+-3=-+.在上面第(4)题中,很容易看出,化成最简二次根式后与,化简后的被开方数不可能相同,因此,结果中可以保留,不必将它化成最简二次根式.三、课堂小结师:本堂课我们学到了什么新知识?学生发言,教师予以补充.-