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1、2.1.1 2.1.1 向量的概念向量的概念扬中市第二高级中学 张克兰 老鼠由A向东方向以每秒6米的速度逃窜,而猫由B向西北方向每秒10米的速度追. 问猫能否抓到老鼠? 速度是既有大小又有方向的量。BA结论：猫不能追上老鼠。 猫的速度再快也没用，因为方向错了。想一想：想一想：位移和距离这两个量有什么不同？位移和距离这两个量有什么不同？oBA2000米1500米位移既有大小又有方向位移既有大小又有方向距离只有大小没有方向距离只有大小没有方向既有大小又有方向的量叫 现实生活中还有哪些量既有大现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？小又有方向？哪些量只有大小没有方向？哪些量只有大小没有方向？距离、身高
2、、质量、时间、面积等距离、身高、质量、时间、面积等位移、力、速度、加速度、电场强度等位移、力、速度、加速度、电场强度等向量向量数量数量向向 量量一一: :向量定义向量定义 注意：数量与向量的区别注意：数量与向量的区别1 1、数量只有大小，是一个代数量，可、数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；以进行代数运算、比较大小；2 2、向量不仅有大小还有方向、向量不仅有大小还有方向 ，具有双，具有双重性，重性， 不能比较大小。不能比较大小。 有向线段有向线段具有一定方向的线段具有一定方向的线段有向线段的三要素：有向线段的三要素：起点、方向、长度起点、方向、长度 AB 以以A A为起点、
3、为起点、B B为终点的有向线段记作为终点的有向线段记作 AB二二: :表示方法：表示方法： 几何表示法：有向线段几何表示法：有向线段 （3 3）模的概念：）模的概念： 向量向量 的大小即向量的大小即向量 的长度称为向量的长度称为向量的模的模. . ABAB记作：记作：| | AB字母表示法：字母表示法： 用用 等小写字母表示；或用表示有等小写字母表示；或用表示有向线段的起点和终点字母表示，如向线段的起点和终点字母表示，如 . .ABabc思考：思考：向量向量ABAB与向量与向量BABA是不是同一向量？为什是不是同一向量？为什么么？ 长度为长度为0 0的向量应该叫做什么向量？的向量应该叫做什么向
4、量？如何表示？它是否有方向？如何表示？它是否有方向？问题问题1 1：答：应该叫做零向量。答：应该叫做零向量。表示为表示为 0 0。它的方向是不确定的。它的方向是不确定的。 探探 究究 问题问题2 2： 长度等于长度等于1 1个单位长度的向量应该个单位长度的向量应该叫做什么向量？叫做什么向量？答：应该叫做单位向量。答：应该叫做单位向量。问：有几个单位向量？单位向量的大小是问：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？否相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小答：有无数个单位向量，单位向量大小相等相等. . 平面直角坐标系内，起点在原点的单位平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是
5、什么图形？向量，它们终点的轨迹是什么图形？如图，轨迹是以如图，轨迹是以O O为为圆心，半径为圆心，半径为1 1的圆。的圆。（单位圆）（单位圆）o答：答：思考：思考：问题问题3 3： 如图，这组向量之间，存在着什么关如图，这组向量之间，存在着什么关系？系？答：平行关系。答：平行关系。平行向量也叫共线向量平行向量也叫共线向量a ab bc c平行向量：方向平行向量：方向相同相同或或相反相反的非零向量。的非零向量。规定规定: :零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行(1) (1) 把平行于直线把平行于直线 的所有单位向量的的所有单位向量的起点平移到直线起点平移到直线 上的点上的点P P；ll是直线
6、是直线 上与点上与点P P的距离为的距离为1 1的两个点；的两个点；l(2) (2) 把平行于直线把平行于直线 的所有向量的起点的所有向量的起点平移到直线平移到直线 上的点上的点P P；ll是直线是直线l 对于下列各种情况，各向量的终点的集合对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？分别是什么图形？思考：思考： 问题4 若两个向量相等，那么它们必须若两个向量相等，那么它们必须具备什么条件？具备什么条件？相等向量：相等向量： 长度长度相等且相等且方向方向相同的向量。相同的向量。若向量若向量 a a 与与 b b 相等，记作：相等，记作：a a b b。规定规定:( :(1)1)零向量与
7、零向量相等。零向量与零向量相等。332 22A1B1=A2B2=A3B3下图中的向量是否是相等向量下图中的向量是否是相等向量? ?说明：任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。思考思考 ：相等向量一定是平行向量吗相等向量一定是平行向量吗? ? 平行向量一定是相等向量吗平行向量一定是相等向量吗? ?不是.是是 例例1 1判断下列命题真假或给出问题的答案：判断下列命题真假或给出问题的答案： （1 1）平行向量的方向一定相同）平行向量的方向一定相同 （2 2）不相等的向量一定不平行）不相等的向量一定不平行 （3 3）与零向量相等的向量是什么向量？）与零向量相等的向量是什么向
8、量？ （4 4）存在与任何向量都平行的向量吗？）存在与任何向量都平行的向量吗？ 零向量零向量零向量零向量（5 5）若两个向量在同一直线上，则这两）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？个向量一定是什么向量？ （6 6）两个非零向量相等的条件是什么？）两个非零向量相等的条件是什么？ （7 7）共线向量一定在同一直线上）共线向量一定在同一直线上 平行向量（共线向量）平行向量（共线向量） 模相等且方向相同模相等且方向相同 例例1 1判断下列命题真假或给出问题的答案：判断下列命题真假或给出问题的答案： 11个个例例2如图设如图设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，写出图中的中心，写
9、出图中 与向量与向量OA相等的向量。相等的向量。OA = DO = CB变式一：与向量变式一：与向量OA长度相等的向量长度相等的向量 有多少个？有多少个？变式二：是否存在与向量变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向长度相等，方向 相反的向量？相反的向量？ 存在，为存在，为 FECB、DO、FE变式三：与向量变式三：与向量OA长度长度相等的相等的共线向量有哪些？共线向量有哪些？aaa )（a 与 长度相等,方向相反的向量 叫 的相反向量.记为aaa 345,ABABABAB 例例 ：在在方方格格纸纸中中有有一一个个向向量量以以图图中中的的格格点点为为起起点点和和终终点点作作向向量量，其其中中与
10、与相相等等的的向向量量有有多多少少个个？与与长长度度相相等等的的共共线线向向量量有有多多少少个个？ (除 (除外外） AB相等的有相等的有7个个长度相等的有长度相等的有15个个例例4 4：D D、E E、F F依次是等边依次是等边ABCABC的边的边ABAB、BCBC、CACA的中点，在以的中点，在以A A、B B、C C、D D、E E、F F为起点或终点的向量中，为起点或终点的向量中，(1)(1)找出与向量找出与向量 DEDE相等的向量；相等的向量；(2)(2)找出与向量找出与向量 DF DF 共线的向量共线的向量ABCDEFAFAF和和FCFCBE,EB,EC,CE,BC,CB,FDBE
11、,EB,EC,CE,BC,CB,FD7. 相等向量相等向量:8. 相反向量相反向量:仅对向量的仅对向量的大小大小明确规定，而明确规定，而没有对向量的方向明确规定没有对向量的方向明确规定仅对向量的仅对向量的方向方向明确规定，而明确规定，而没有对向量的大小明确规定没有对向量的大小明确规定对向量的对向量的大小大小和和方向方向都明确规定都明确规定1.向量的概念向量的概念:2.向量的表示向量的表示:3.零向量零向量:4.单位向量单位向量:5.平行向量平行向量:6.共线向量共线向量:小结小结注意：注意：数学中的向量与物理中的矢量是数学中的向量与物理中的矢量是有区别的在数学中我们研究的是仅由大有区别的在数学中我们研究的是仅由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量，小和方向确定，而与起点位置无关的向量，也称为也称为自由向量自由向量