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1、2.掌握平面向量的表示方法，掌握向量的运算法则，理解并掌握向量共线的充要条件，了解平面向量的基本定理.1.理解平面向量的有关概念，并能准 确应用.3.熟练运用数形结合的思想方法解决有关问题复习目标平面向量平面向量向量知识向量知识向量应用向量应用向量的定义向量的表示向量的运算三重要结论定比分点平移解三角形知识结构向量的定义和表示几何表示 字母表示 : AB 、等a坐标表示 平面向量的定义 向量的表示向量的长度(模) 22222121|()()()ABxxyyxy ：大小、方向：有向线段：(x，y)2|a |=a注意：向量的坐标与有向线段的端点的坐标的关系？向量的相关概念零向量、单位向量相等向量、
2、相反向量平行向量(共线向量)向量的夹角(定义、范围)垂直向量向量共线（平行）的充要条件：1221/0 x yx y或ababba向量垂直的充要条件：121200 x xy yaba b1122(,) (,), xyxy为 、已，则夹角,知的a bab向量的夹角： | |cos , cos| |.|a ba babab例题下列物理量中，不能称为向量的有 个 质量 速度 时间 位移 力 加速度 “两个向量的模相等”是“这两个向量相等”的 条件. “两个向量不等”的条件是“两向量的起点、终点都不重合”.2必要非充分既非充分又非必要 “两个向量互为相反向量”的条件是“两向量的和是零向量”.充要向量既有
3、大小，又有方向! 零向量的大小为零，方向任意!对向量的大小和方向都明确规定的概念是：相等向量、相反向量!仅对向量的大小明确规定，而没有对向 量的方向明确规定的概念是： 单位向量、零向量!仅对向量的方向明确规定，而没有对向 量的大小明确规定的概念是： 平行(共线)向量、垂直向量!友情提醒友情提醒例题1.单位向量都相等；判断下列命题的真假：3.长度不等且方向相反的两向量不一定共线；8. | | 若、 满足：且与同向，则.abababab2. 与非零向量共线的单位向量是；aa | a |6./ 若 ,且，则； abbcac (假)(真)(假)(假)(假)4若与不共线，则、 均为非零向量；.abab(
4、真)5若，,则；.a = bb = c a = c7./ 若 ,且，则； | a | | b |abab= (真)(假) 单位向量虽然仅规定了长度，但它有方向，只不过其方向可以任意给定，且一旦给定方向，其方向就随之确定. 向量的平行与共线与平面几何中的平行共线的意义不同，这里有了新的内涵! 特别应重视零向量的影响!与非零向量 方向相同的单位向量， 都可用 表示 .a|aa友情提醒友情提醒例题2 1.(2,3)(2,1),(34,3), .ABxxxABx 设、且则aa 3.(1, 2)( ,1),2)/(2 ) .xx设、且 (，则ababab 4.( 1,2)(3,), OAOBmOAABm
5、 设、且，则. 2.( , 12)(4,5),(10, ), .OAkOBOCkABCk 设、且 、 、 三点共线，则-111或-20.54小结1122(,) (,),xyxy已知，则abab1212,.xxyy ab 1212,. xxyy /abmnmn 0存在 、 使 ab01221yxyxab0a b02121yyxx共线、点CBA共线、向量ACAB例题43.(1)60(2 ) (3 );(2)(23 ) (2)61已知= ，=若与 的夹角为，求若 ，求 与 的夹角 .|a |b|abababababab解:22(2)(23 ) (2)4-3-4,abababa b221 (2 ) (
6、3 )6 ( ） ababaa bb22| |cos606|44; aabb22224-3-461,44 4 -3 3 -61-24,-6, aba ba ba b12cos,0, .| |23 又a bab 234+ 已知=，= ， 与 的夹角为，且 +与的夹角为锐角，则.|a |b|ababa b思考 你从解题过程中得到什么启示？重点: 平面向量中相关概念的辨析.内容: 平面向量的定义、 表示和相关概念.课堂小结零向量单位向量相等向量相反向量共线向量平行向量向量的夹角垂直向量作业：数学之友23.OABCOAOBOCOACOBCOAB0 如图,已知 为中,如果求证：、的面积成等差数列MCAB
7、ONs2s6Ss2s思考 2.3333 aba babab 设|= ，|=4，且( + )( +)=，则 与 的夹角为 . 3.21332 ababc mabdambcdm 设|= ，|= ， 与 的夹角为， =+ ，=，且，则. 1. , abABakb AClabACAB 、 不共线，则与夹角为 的条件是.思考10kll且1206或-1 4.-2,12,135| OAOBkOAOBOAOBk 设=(),=(),与的夹角为，且，则.-6小结22 ,( )| | | cos, cos.| |aba baaabababab已知 、 ， 为 、的夹角 则 0a b 、夹角为/ aba b 且 、方
8、向相同0 .ab存在，使 a b 、夹角为/ aba b 且 、方向相反0 .ab存在，使 a b 、夹角为锐角 | | 0abaabb且 a b 、夹角为钝角 | |0ababba 且向量的运算向量的加法运算向量的减法运算实数与向量的积向量的数量积(内积)运算律坐标法则几何法则注意： 1.向量运算中起点、终点和方向的特征 2.数量积中“五条运算性质”的熟练运用 3.向量运算和多项式运算的异同 4.向量加法、减法、实数与向量的积三种运算和向量的数量积的异同向量减法的定义向量减法的定义abABBCAC _BC 1. 两个向量的加法法则两个向量的加法法则(1) 三角形法则三角形法则(2) 平行四边
9、形法则平行四边形法则abABCDababABC问题问题:2. 两个向量的减法两个向量的减法: 求两个向量差的运算求两个向量差的运算ACAB b3. 相反向量：与相反向量：与 长度相等，而方向相反的长度相等，而方向相反的向量叫向量叫 的相反向量。记为的相反向量。记为4. 向量的减法：减去一个向量等于加上这个向量的减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。向量的相反向量。 即即:aaa()abab 5. 零向量的相反向量仍然是零向量零向量的相反向量仍然是零向量.两个向量差的几何作法两个向量差的几何作法:三角形法则三角形法则abbaba特征特征: 两个向量的差两个向量的差 ,仍是一个向量仍是一个
10、向量,其方向是其方向是 从从 的终点指向的终点指向 的终点的终点( 在同一起点在同一起点).abab, a b 如果三个向量相加，四个向量相加，n个向量相加，和向量又如何？ 以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，即为这多个向量的和向量。ABCDEFKJAB+BC+CD+DE+EF+JKAK首尾相接首到尾；相同起点对角线；要让向量两相减；终点相连指向前.向量的加减法：实数与向量的积实数与向量的积 定义定义: 一般地一般地,实数实数 与向量与向量 的积是一个的积是一个 向量向量,记作记作: 它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下: (1) (2)当当 时时, 的方向与的方
11、向与 的方向相同的方向相同; 当当 时时, 的方向与的方向与 的方向相反的方向相反; (3)当当 时时,或或 时时,aa| |;aa000a0aaaa0a (2) 第一分配律第一分配律:(1) 结合律结合律:实数与向量积的运算实数与向量积的运算律律(3) 第二分配律第二分配律:()()aa ()aaa()abab练习练习1. 一架飞机向西飞行一架飞机向西飞行 ,然后改变方向向南飞行然后改变方向向南飞行 ,则飞机两次位移的和为则飞机两次位移的和为_100km100km2. 对吗对吗?| |abab3. 在四边形在四边形ABCD中中, 6. 用平行四边形法则作向量用平行四边形法则作向量 的和的和,
12、 若要使若要使 平分平分 间的夹角间的夹角, 则则 应满足什么条件应满足什么条件.5. 若若 则则 有最大值和有最大值和 最小值吗最小值吗? 如果有如果有,求出它们求出它们.4. 是否存在向量是否存在向量 ,使得使得 _CBADBA | 8,| 12,abbabab, a|abb, ab, ab, aab向量共线的充要条件向量共线的充要条件定理定理: 向量向量 与与非零向量非零向量 共线的充要条件是共线的充要条件是 有且只有一个实数有且只有一个实数 ,使得使得abba 如果是 同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 使1 12 2aee12, 12,e e
13、不共线的向量 叫做这一平面内所有向量的一组基底. 12,e e a 是这一平面任意向量,则实数 是唯一的.12, a三个重要结论向量共线()的充要条件：1221/0ababbax yx y或向量垂直的充要条件：121200aba bx xy y 平面向量的基本定理： 若 不共线，则对平面内任意向量 有且仅有一对实数 使 。12e e 、a12、1 122aee 例题2 (1)()()0 (2)| | (3)()() (4)(32 ) (32 )9| .a b ca b cc a bababb c ac a bcababab 2设 、 、 是任意的非零平面向量，且相互不共线，试判断下列命题的真假
14、：；不 与垂直 ；-4|( (假假) )( (假假) )( (真真) )( (真真) )例题 ( )1313(A) (B)22223131(C) (D)2222abccabababab若向量 =(1,1)，=(1,-1)，=(-1,2)，则B例题28 816 ( )(A) 33 (B)63 (C) 56 (D) 16abij abija b 设， 则2 2( )33 (A) (B) (C)3 (D)344OyxABOA OB 设坐标原点为 ，抛物线与过焦点的直线交于 、 两点，则的值是BB例题(3, 2)( 1,4) .ABABAACABACBC ，已知平面内有两点将向量绕 点旋转得到使求 (
15、10, 2)( 2, 10)BCBC 答案：或3 (1,cos )(cos ,1),.44 (1)( )( ) (2)cos( )( )( )( )PxQxxf xOP OQf xtxf xttt ，；，已知若用表示向量与夹角的余弦，求设表示为t的函数是请判定的奇偶性、单调性，并求的值域.例题例题(cos ,sin),(cos,sin),0, (1); (2)0,-.abababkabakbk 设求证：(若与的长相等，求的值1、数量积的定义：、数量积的定义：cos|baba其中：其中：, 0a0b数量积的坐标公式：数量积的坐标公式：2121yyxxba特别地：特别地：00a其中：其中：),(1
16、1yxa ),(22yxb 是向量是向量a和和b的夹角，范围是：的夹角，范围是：01802、数量积的物理意义：、数量积的物理意义：SFSFWcos|FS数量积的几何意义：数量积的几何意义：1Bcos|babBAObaa|abacos|b等于等于的长度的长度与与在在的方向上的投影的方向上的投影的乘积。的乘积。3、数量积的主要性质：、数量积的主要性质： 0baba(1)(1)ab|,|babaab|baba(2)(2)与与 同向同向与与反向反向22|aaaa2|aa 特别地特别地：即即，|cosbaba(3)(3)ba|ba|ba|ba|ba(4)(4)，即，即ab以上以上和和均为非零向量。均为非
17、零向量。注意：注意：数量积不满足结合律，数量积不满足结合律，即：即：4、数量积的运算律：、数量积的运算律：abba)()()(bababacbcacba )()()(cbacba交换律：交换律：对数乘的结合律：对数乘的结合律：分配律：分配律：注意：注意：222()| |a bab 5、重要定理和公式：、重要定理和公式：22)()(bababa2222)(bbaaba),(yxa 22|yxa设设则则),(11yxA),(22yxB212212)()(|yyxxAB设两点设两点则则),(11yxa ),(22yxb 222221212121cosyxyxyyxx设设则则ba02121yyxx),
18、(11yxa ),(22yxb 设非零向量设非零向量例题 1. (2,3),( 4,7),0,abaccb 若且则 在方向上的投影为_.13 2. ( 3, 1),( ,),22(sin3) ,(sin) ,.ababdkabcdk 已知若存在不为零的实数k和角 ，使向量c且试求实数 的取值范围 已 知 是 非零向量，且 与 ab、3ab垂直，75ab4ab与 垂直，72ab.ab求与的 夹 角由 ( a3b） （ 7 a解5：b）0573）（）得：（baba）b2a（7）b4a由(又0274）（）得：（baba0308a701615a72222babbab即：babacos60,夹角baba
19、 2b2化简得：ab212122bb180,0又例题已知已知,| 2OAa OBb a bab ，当，当ABO面积最大时，求面积最大时，求a与与b的夹角的夹角.例题222 ,| 2,| 1,0, (1)(3)( ); (2)( ).ab abktxatbykatbktkf tkf t 已知若与垂直，求 关于 的函数关系式确定函数的单调区间思考例题12012120121200 (1,0),(0,1)( 1,2)|( 2,-1)32|32 |.0eePPeeeeQQeeeePQtPQPQ 是平面上的两个向量，动点 从点出发，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为；另一动点 从点出发，沿着与向量
20、相同的方向做匀速直线运动，速度为设 、 在时刻秒时分别在 、处，试问经过多长时间后，00?PQ (3,1)(-1,3)=+=1.ABCOCOAOBOC R 设、，点 满足，其中 、，且， 为坐标原点，求点 的轨迹例题共线定理的延伸： ,+ =1.ABCPCPAPBP R 平面内 、 、 三点共线的充要条件是：、且，其中点 是平面上任意一点例题 在平行四边形ABCD中，一边AB的四等分点中靠近 B的点为E，对角线BD的五等分点中靠近 B的点为F . 求证：E、F、C三点共线 .重要结论： 0 = =0.a bab 若 、 是非零向量，则的充要条件是：例题试证：三角形的三条高线交于一点.已知：已知
21、：ACBPBCAP,求证：求证：ABCP ABC中，中，在在证法证法1：CABPBCAP,0,0CABPBCAP)()(CABCBCBPBACPCABCBCCABPBCBP2BCCABCBP)(BCCACP)(BCAP0ABCP APCB如图，如图，PCB试证三角形的三条高线交于一点。试证三角形的三条高线交于一点。已知：如图，已知：如图， 在在ABC中，中，ACBPBCAP,求证：求证：ABCP APCB证法证法2：如图，建立直角坐标系，如图，建立直角坐标系，设设),0 ,(1xOB ),0 ,(2xOC ), 0(3yOA )., 0(yOP CABP 0)(),(3213, 21yyxxy
22、xyxCABP而而3213, 12)(),(yyxxyxyxABCP0ABCPABCP 即即ABCP Oyx点评：有关垂直问题用其充要条件点评：有关垂直问题用其充要条件 解题是必选方法，对于未确解题是必选方法，对于未确 定的垂直关系，要分类讨论定的垂直关系，要分类讨论思考1212 (1 cos ,sin),(1 cos,sin),(1,0),(0, ),( ,2 ),-,sin32.abcacbc设向量与 的夹角为与 的夹角为则求的值向量的运算向量的加法运算向量的减法运算实数与向量的积向量的数量积(内积)运算律坐标法则几何法则注意： 1.向量运算中起点、终点和方向的特征 2.向量运算和多项式运
23、算的异同 3.向量加法、减法、实数与向量的积三种运算和向量的数量积的异同 4.数量积中“五条运算性质”的熟练运用三个重要结论向量共线()的充要条件(共线定理共线定理)1221/0ababbax yx y或(非零非零)向量垂直()的充要条件：121200aba bx xy y 平面向量的基本定理： 若 不共线，则对平面内任意向量 有且仅有一对实数 使 。12e e 、a12、1 122aee 线段的定比分点线段定比分点的定义：线段定比分点的公式：=1=1xxxyyy起终分起终分P PP P分分起终务必注意：分点分布与的取值关系中点公式和三角形重心公式长度比与定分比的相互转化特点方程思想的灵活运用
24、线段的定比分点的定义线段的定比分点的定义 设设 是直线是直线 上的两点，点上的两点，点 P 是是 上不同于上不同于 的任意一点的任意一点 , 则存在则存在 一个实数一个实数 ，使，使 则则 叫做点叫做点 P 分有向线段分有向线段 所成的比所成的比. 即即12PP l12,P P12,P Pl12,PPPP 12,PPPP 则点则点 P 叫做叫做 的定比分点的定比分点12PP 问题问题 : (1) 点点 P 不同于不同于 , 对对 有何影响有何影响? (2) 内分点内分点: 即点即点 P 在在 内时内时, 的取值范围如何的取值范围如何? (3) 外分点外分点: 即点即点 P 在在 或或 的延长线
25、上时的延长线上时, 的取值范围又如何的取值范围又如何? 12,P P12PP 12PP 21P P 线段定比分点定义P分 的位置定比分点坐标公式中点坐标 公式12PP 1(, 1) ( 1,0) 01平移图形平移的定义图形平移的公式 务必注意： 分清三坐标的地位 待定系数法的运用 方程思想的运用xxhyyk OPOPPP FOXYFa在坐标平面内，把图形F上所有的点都平移同一向量a，到F的位置。这种从图形F到F的位置变换叫平移变换。通俗来讲，就是图形在移动过程中本身不发生任何转动。设P（x，y）是F上任意一点，平移向量a=（a1，a2）后，对应F上点P（x，y）。由题意知： PP =a =（a
26、1，a2）OP=OP+a（x，y）-（x，y）=（a1，a2） （x，y）=（x+a1，y+a2） x=x+a1 y=y+a2即：对应点坐标=原点坐标+平移向量坐标OXYPPa1)点的平移解：由平移公式得：x= -2+3=1y= -1+2=1即：A（1，1）。例1：把点A（-2，-1）平移向量a=（3，2）求对应点A的坐标。OXYAAa解：在曲线F上任取一点（x0，y0），设F上的对应点为P（x，y），则 x=x0-2， y=y0+3 x0=x+2 ，y0=y-3因P0在F上，将上式代入方程y=x2，得： y-3=（x+2）2即：y=（x+2）2+3例2：已知函数y=x2图象F，平移向量a=（
27、-2，3）到F的位置，求图象F的函数表达式OXYF:y=x2Fa规律：规律：函数y=f(x)的图象平移向量a=(a1,a2)后，得到新图象的函数解析式为y-a2=f(x-a1). 正余弦定理正弦定理的三种形式余弦定理的两种形式证明证明 与与选用选用务必注意： 两边一对角中一解与两解的判断 应用问题中运用向量分析的方法 方位角两种表述、仰角俯角的意义例题1212 .12.PPPyPPy1已知点 (3,2)， (-8,3)，求点 (, )分线段所成的比 和 的值 . (1,4)( 3,1)(2,4).ABCBCPPBPCABAC 2 已知点、，试在上寻求一点 ，使|:|=|:|例题 1.(1,3)
28、(4,1)(2,1).PaPQa点按向量 平移后得到点，求点按向量平移后所得到的点的坐标22 2.611yxxyx将函数的图象经过怎样的一个平移，可以得到函数的图象？例题2 1 .yxAyxyxBCAB AC 将抛物线的图象平移，使抛物线的顶点 在直线上移动，且与直线交于、 两点，求思考1212 2sin(3)542cos(3)16. .CyxCyxCaCa已知曲线：，曲线：，且曲线按向量 平移后的图形是曲线求向量 的坐标思考 平行四边形ABCD中边CD的中点为P，以P为圆心，CD为直径作 P，若 P的另一直径MN两端可在此圆周上滑动.问当直径MN在什么位置时， 取值最大？AM BN 例题 2
29、. 18,22,35ABCacA在中，,试确定此三角形有几解？ 1. 2,1,.ABCacABCC在中，且有两解求角 的取值范围？例题 在海岸A处，发现北偏东450方向，距A为 海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西750方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以 海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东300方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时？10 33-1 60 30km10km40km(). xxyyOOxOyOAOBxxy y有两条相交成角的直线公路、，交点是 ，甲、乙两辆汽车分别在、上，起初甲在离 点的 处，乙在离 点的 处，后来两车同时用每小时的速度，甲沿的方向、乙沿的方向行驶 如图 问什么时候甲、乙两车的距离最小？例题yABOxyx谢谢各位!谢谢!