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1、知识结构串联锐角三角函数 概念 锐角的正切 正弦、 余弦 特殊角的三角函数值 应用 由三角函数值求锐角 解直角三角形 锐角三角函数的简单应用中考专题透析专题认识锐角三角函数(s i nA,c o sA,t a nA)命题热点趋向: 近几年, 各地对三角函数概念的考查, 更加体现对其本质属性的理解问题的背景丰富, 既有数学学科内部的情境, 如在圆里结合圆周角的性质构造直角三角形, 考查三角函数的概念, 也有实际生活的情境, 关注在情境中的对相关概念的理解, 克服通过死记硬背应付考试的情形解题思路梳理: 准确理解锐角三角函数的概念是关键在不同的情境中, 要善于发现直角三角形, 有时还需要添加辅助线
2、构造直角三角形, 锐角三角函数实质就是两条线段的比值, 但顺序不要出错例( 海南)如图, 点A、B、O是正方形网格上的三个格点,O的半径为O A, 点P是优弧Am B上的一点, 则t a n A P B的值是()图A BCD精析:A P BA O B , t a n A P B t a n 故选A解答:A专题知道 、 、 角的三角函数值命题热点趋向: 特殊角的三角函数值的考查也是中考常考内容, 可以直接以填空题或选择题来考查, 也可以含在实数运算中, 也可以渗透在解决实际问题, 以突出其应用价值解题思路梳理: 应熟记特殊角的三角函数值, 具体问题中的特殊角, 有的直接给出, 有的则要经过分析判
3、断而得, 另外要能根据特殊角的三角函数值获知相关线段之间的数量关系例( 山东烟台)如果在A B C中,s i nAc o sB, 那么下列最确切的结论是()AA B C是直角三角形BA B C是等腰三角形CA B C是等腰直角三角形DA B C是锐角三角形精析:由s i nAc o sB, 得AB , 从而C , 所以A B C是等腰直角三角形, 所以选C解答:C例( 四川德阳)某时刻海上点P处有一客轮, 测得灯塔A位于客轮P的北偏东 方向, 且相距 海里客轮以 海里/小时的速度沿北偏西 方向航行小时到达B处, 那么t a n A B P等于()AB CD 精析:如图所示, 根据题意可知A P
4、 B 且A P ,P B 所以t a n A B PP AP B , 故选A图解答:A例( 江苏泰州)如图, 一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上,小李在P处测得居民楼顶A的仰角为 , 然后他从P处沿坡角为 的山坡上走到C处, 这时,P C m, 点C与点A在同一水平线上,A、B、P、C在同一平面内() 求居民楼A B的高度;() 求C、A两点之间的距离( 精确到 m, 参考数据: , , )图精析:过点C作B P的垂线, 垂足为G, 利用特殊R t P C G和R t A B P中的边角关系, 我们容易计算出C G( 即A B) 的长, 最后用A CB PP G, 就是C、A两点之间的距离
5、解答:() 过点C作B P的垂线, 垂足为G, 在R t P C G中,C GP Cs i n , 所以A B (m)()P GP Cc o s ,B P , 所以C、A两点之间的距离B PP G (m)点拨:解直角三角形是每年中考的必考知识点之一, 主要考查直角三角形的边角关系及其应用, 难度一般不会很大, 本题是基本概念的综合题, 主要考查考生应用知识解决问题的能力, 很容易上手, 容易出错的地方是近似值的取舍专题由已知锐角求它的三角函数值, 由已知三角函数值求它对应的锐角命题热点趋向: 特殊角的三角函数值是中考的常考内容, 考查的形式多样, 有的直接以填空题或选择题来考查, 有的含在解答
6、题之中, 但考查的要点就是: 可以由特殊角知道其三角函数值, 也可以由三角函数值知道特殊角的大小解题思路梳理: 熟记特殊角的三角函数值, 从角与三角函数值的对应关系来理解, 对 、 、 等角的三角函数值的求解, 则要利用三角函数的定义来研究例()( 天津) c o s 的值等于()A BCD 精析:直接根据特殊角的三角函数值代入计算,c o s , 所以 c o s 解答:A()( 山 东 济 宁 )在A B C中,若A、B满 足c o sAs i nB, 则C精析:由一个数的绝对值以及一个数的平方的非负数性质, 得到c o sA,s i nB,因为c o sA, 所以A 因为s i nB,
7、所以B 所以C 解答: 点拨: 、 、 这三个特殊的角, 常常是编制试题选用的锐角, 从对应关系来认识, 它们所对应的三角函数值也是特殊的数值例( 福建福州)如图, 已知A B C,A BA C,A ,A B C的平分线B D交A C于点D, 则AD的长是,c o sA的值是( 结果保留根号)图精析:由已知条件, 可知B D C、AD B是等腰三角形, 且DAD BB C, 可证B D CA B C, 则有B CA CD CB C, 设B Cx, 则D Cx, 因此xxx, 即xx, 解 方 程, 得x,x ( 不 合 题 意, 舍 去) , 即AD又c o sAA BAD解答:,专题运用三角
8、函数解决与直角三角形有关的简单实际问题命题热点趋向: 考查学生应用数学的能力是中考必须关注的, 围绕本章内容,运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题已经成为命题的热点, 问题涉及轮船定位、 堤坝工程、 建筑测量、 高度测量等解题思路梳理: 首先根据题意理解图形( 或画出图形) , 将实际问题转化为数学问题, 即将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素( 边、 角) 之间的关系, 这样就可以运用三角函数由已知量求未知量了例( 广东湛江)五一期间, 小红到美丽的世界地质公园光岩参加社会实践活动, 在景点P处测得点B位于南偏东 , 然后沿北偏东 方向走 米到达景点A, 此时测得景点B正
9、好位于景点A的正南方向, 求景点A与景点B之间的距离( 结果精确到 米)图精析:本题是运用三角函数解决实际问题的典型, 构造出直角三角形, 便可很容易解决解答:过点P作PDA B, 垂足为D, 则A BADB D, 所 以A ,A P D , 且P A 米, 所以AD 米又BD P B , 所以D BD P, 而D P , 所以A B 米例( 四川乐山)如图, 在东西方向的海岸线l上有一长为千米的码头MN, 在码头西端M的正西方向 千米处有一观察站O某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西 方向, 且与O相距 千米的A处; 经过 分钟, 又测得该轮船位于O的正北方向, 且与O相距 千米的
10、B处() 求该轮船航行的速度;() 如果该轮船不改变航向继续航行, 那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由( 参考数据: , )图()精析:() 过点A作A CO B于点C可知A B C为直角三角形根据勾股定理解答() 延长A B交l于点D, 比较O D与AM、AN的大小即可得出结论解答:() 过点A作A CO B于点C由题意, 得O A 千米,O B 千米,A O C A CO A ( 千米)在R t A O C中,O CO Ac o s A O C ( 千米)B CO CO B ( 千米)在R t A B C中,A BA CB C( ) ( 千米)轮船航行的速度为 ( 千米/时)()
11、 如果该轮船不改变航向继续航行, 不能行至码头MN靠岸理由: 延长A B交l于点DA BO B ( 千米) ,A O C ,O A BA O C O B DO A BA O C 在R t B O D中,O DO Bt a n O B D t a n ( 千米) ,该轮船不改变航向继续航行, 不能行至码头MN靠岸图()点拨:此题结合方向角, 考查了阅读理解能力、 解直角三角形的能力计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键最新三年真题例( 浙江温州)如图, 已知一商场自动扶梯的长l为 米, 该自动扶梯到达的高度h为米, 自动扶梯与地面所成的角为, 则t a n的值等于()图ABCD解
12、答:A例( 安徽芜湖)如图, 直径为 的A经过点C(,) 和点O(,) ,B是y轴右侧A优弧上一点, 则O B C的余弦值为()图ABCD精析: 连接O A、A C, 因为O AA CO C, 所以O A C 从而O B C , 故O B C的余弦值为选C解答:C例( 四川乐山)如图, 在R t A B C中,C ,A BB C, 则s i nB的值为()图ABCD 解答:C例( 四川内江)如图所示,A B C的顶点是正方形网格的格点, 则s i nA的值为()图 ABC D 解答:B例( 湖北宜昌)如图 是教学用的直角三角板, 边A C c m,C ,t a n B A C, 则边B C的长
13、为()图 A c mB c mC c mD c m精析: 由t a n B A C, 得B A C , 由锐角三角函数的定义便可得出答案选C解答:C例( 湖南株洲)数学实践探究课中, 老师布置同学们测量学校旗杆的高度小民所在的学习小组在距离旗杆底部 米的地方, 用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 , 则旗杆的高度是米图 解答: 例( 福建泉州)如图 , 在R t A B C中,C ,A C,B C, 则A B,s i nA图 精析:,构成直角三角函数应熟练记忆, 由图, 可得s i nA解答:,例( 甘肃兰州)某水库大坝的横断面是梯形, 坝内斜坡的坡度i, 坝外斜坡的坡度i, 则两个坡角的和为解答:
14、 例( 四川凉山州)如图 所示, 城关幼儿园为加强安全管理, 决定将园内的滑滑板的倾斜角由 降为 , 原滑滑板A B的长为米, 点D、B、C在同一水平地面上图 () 改善后滑滑板会加长多少米?() 若滑滑板的正前方能有米长的空地就能保证安全, 原滑滑板的前方有米长的空地, 像这样改造是否可行? 请说明理由( 参考数据: , , , 以上结果均保留到小数点后两位)精析: () 先在等腰直角三角形A B C中求出A C的长, 然后再在直角三角形AD C中计算出AD的长, 用AD减A B即为滑滑板加长的长度; () 求出D B的长,若D B的长大于米, 则改造不可行, 若D B的长小于或等于米, 则
15、改造可行解答: () 在R t A B C中,A CA Bs i n A B C ,A CB C 在R t AD C中,ADA Cs i n ,ADA B (m)改善后滑滑板会加长 米() 这样改造能行, 理由如下:C DA Cs i n ,( 或C DADA C )B DC DB C (m) , ,这样改造能行点拨: 本题属于解直角三角形的基础题, 注意题目的要求是保留到小数点后两位例 ( 江苏盐城)如图所示, 当小华站立在镜子E F前A处时, 他看自己的脚在镜中的像的俯角为 ; 如果小华向后退 米到B处, 这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为 求小华的眼睛到地面的距离( 结果精确到 米, 参
16、考数据: )图 解答: 设A CB Dx, 在R t A C A中,A AC ,A Ax在R t D B B中,B Bxt a n x,又B BA A, 即 xx,解得x ( 米)例 ( 贵州安顺)丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形, 作为要制作的风筝的一个翅膀请你根据图中的数据帮丁丁计算出B E、C D的长度( 精确到个位, )图 解答: 由A B C 可得E B C , 在R t B C E中,C E ,E B C ,因此t a n E CB E,B E t a n c m;在矩形A E C F中, 由B AD , 得AD FD A F , 因此D FA F ,F CA E c
17、m,C DF CF D c m,因此B E的长度均为 c m,C D的长度均为 c m例 ( 福建宁德)我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳如图是小明站在距离墙壁 m处观察装饰画时的示意图, 此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上, 视线恰好落在装饰画中心位置E处,且与AD垂直已知装饰画的高度AD为 m, 求:() 装饰画与墙壁的夹角C AD的度数; ( 精确到 )() 装饰画顶部到墙壁的距离D C( 精确到 m)图 精析: () 利用同角的余角相等, 将C AD转化为A B E即可;() 利用A C DB E A求解解答: ()AD ,A EAD 在R t A B E中
18、,s i n A B EA EA B ,A B E C ADD A B ,A B ED A B ,C ADA B E 镜框与墙壁的夹角C AD的度数约为 () 解法一: 在R t A C D中,s i n C ADC DAD,C DADs i n C AD s i n 解法二:C ADA B E,A C DA E B ,A C DB E AC DA EADA BC D C D 镜框顶部到墙壁的距离C D约是 m分析对比: 注意挖掘题目中的隐含条件例 ( 江苏扬州)如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图, 已知真空集热管A B与支架C D所在直线相交于水箱横断面O的圆心, 支架C D与水
19、平面A E垂直,A B 厘米,B A C , 另一根辅助支架D E 厘米,C E D () 求垂直支架C D的长度; ( 结果保留根号)() 求水箱半径O D的长度( 结果保留三个有效数字, 参考数据: , )()()图 解答: () 在R t D C E中,C E D ,D E ,s i n C E DD CD E,D CD Es i n C E D ( 厘米)故垂直支架C D的长度为 厘米() 设水箱半径O Dx厘米, 则O C( x) 厘米,A O( x) 厘米,R t O A C中,B A C ,A OO C, 即 x( x)解得x ( 厘米)即水箱半径O D的长度为 厘米例 ( 浙江
20、温州)某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l( 如图)救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况, 发现其正北方向的B处有人发出求救信号他立即沿A B方向径直前往救援, 同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从C处入海, 径直向B处游去甲在乙入海 秒后赶到海岸线上的D处, 再向B处游去若C D 米,B在C的北偏东 方向, 甲、 乙的游泳速度都是米/秒问谁先到达B处? 请说明理由( 参考数据:s i n ,c o s ,t a n )图 解答: 由题意, 得B C D ,B D C , t a n B C DB DC DB CC Dt a n B C D t a n ( 米)B CC Dc o
21、s B C D c o s ( 米)t甲 ( 秒) ,t乙 ( 秒)t甲t乙故乙先到达B处例 ( 山东青岛)如图, 某校教学楼A B的后面有一建筑物C D, 当光线与地面的夹角是 时, 教学楼在建筑物的墙上留下高米的影子C E; 而当光线与地面夹角是 时, 教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有 米的距离(B、F、C在一条直线上)() 求教学楼A B的高度;() 学校要在A、E之间挂一些彩旗, 请你求出A、E之间的距离( 结果保留整数)( 参考数据:s i n ,c o s ,t a n )图 ()解答: () 过点E作EMA B, 垂足为M设A B的长为x在R t A B F中,A F B ,
22、B FA BxB CB FF Cx 图 ()在R t A EM中,A EM ,AMA BBMA BC Ex, t a n AMME得xx ,x , 即教学楼的高为 m() 由() 可得MEB Cx 在R t AME中,c o s MEA E,A EMEc o s , 即A E之间的距离约为 mP 复习题 () 原式() () 原式 ()s i n ()c o s ()t a n () () () () t a n B CA C,B C,A CA C c m又s i n B CA B,B C,A BA B c m() t a n B CA C,A C ,B C t a n (c m)又c o s
23、 A CA B,A BA B c m如图, 作A FO E于点F,( 第题)O AO E,A O F ,c o s O FO A,即O FO FF E (m)即秋千摆动到最高位置与最低位置时的高度差约为 m如图, 连接A C, 作B DA C于点D,则由题意可知A C ,B D ,( 第题)在R t A B D中,t a nA B DADB D ,A B D A B C , 即V形角大约为 设扶梯与地面的夹角为, 则s i n , 即自动扶梯与地面的夹角约为 如图, 由题意, 得C EB D m,A E D ,B CD E m在R t AD E中,t a n ADD EAD ,AD t a n
24、 (m)A BADB D (m)( 第题) 作C DA B于点D, 则C D即为船C离海岸线的距离由题意,得t a n ADC D,t a n B DC D,ADC Dt a n C D,B DC Dt a n C DADB D C DC D k m故船C离 海 洋 岸 线 的 距 离 约 为 k m 如图, 作C EA B于点E,D FA B于点F在R t C E B中,B ,B C,s i n E CB CE CE Cs i n (m)D FE C m即坝高约为 m在R t AD F中,t a n D FA F A F,A F t a n 在R t B E C中,c o s B EB CB
25、 E,A E A BA FF EB E (m)坝底宽约为 m( 第 题) 如图,c o sA ,( 第 题)则设A Ck,A B k,B C ks i nAB CA B k k ,t a nAB CA C kk 如图, 过点A作A EC D于点E( 第 题)在R tA E C中,A E (m) ,C A E ,E CA E (m)在R tA E D中,A E (m) ,E AD , t a n E DA EE D E D t a n C DC EE D (m)即铁塔高约为 m () 在矩形A B C D中,C D (c m) ,A D (c m) ,A B (c m) ,B C (c m) ,
26、F ,E B A 在R t E B A中,c o sE B AA BB E,即c o s B EB E c o s 在R t B C F中,s i n B F CB CB F,即s i n B FB F s i n E FB EB F , 即 直 棒 长 约 为 c m() 在R t E D F中,s i n D EE FD E ,D E s i n (c m) ,即点E离地面的高度约为 c m () 如图, 已知A B C求证:SA B CA BB Cs i nB证明: 作ADB C于点D( 第 题() )在R t A B D中,s i nBADA B,ADA Bs i nBSA B CB CADB CA Bs i nB() 如图, 已知: 四边形A B C D是平行四边形( 第 题() )求证:SA B C DADA Bs i nA证明: 作D EA B于点E在R t AD E中,s i nAD EAD,D EADs i nASA B C DA BD EA BADs i nA 如图, 作ADB C于点D, 设ADx( 第 题)A BA C,B A C ,B A Bx,B D xB C xA BB CA Cx xx,即( )x,解得x A BA C (c m) ,B C (c m)