《九年级数学下册 6.2二次函数的图象和性质教材深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+知识整合+能力提升评估pdf） 新人教版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册 6.2二次函数的图象和性质教材深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+知识整合+能力提升评估pdf） 新人教版.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 二次函数的图象和性质学 习 目 标 导 航会用列表描点法画二次函数ya xb xc的图象会用待定系数法确定二次函数的关系式能根据二次函数的二次项系数判断函数图象的开口方向, 并能从图象上认识二次函数的性质会用配方法确定二次函数图象的顶点坐标和对称轴会用平移变换解释二次函数ya xk、ya(xm)、ya(xm)k的图象与二次函数ya x的图象的位置关系教 材 知 识 详 析要点二次函数ya x(a) 的图象及其特点一般地, 二次函数ya x(a) 的图象是顶点在原点, 对称轴与y轴重合的抛物线当a时, 抛物线开口向上, 顶点位于抛物线的最低点处, 抛物线在x轴的上方( 除顶点外) ;当a时,
2、抛物线开口向下, 顶点位于抛物线的最高点处, 抛物线在x轴的下方( 除顶点外)例已知二次函数ya x(a) 的图象经过点(,)() 求a的值, 并写出这个二次函数的关系式;() 说出这个二次函数图象的开口方向、 顶点坐标、 对称轴;() 当x为何值时,y随x的增大而减小?() 当x时, 求函数y的值精析: 理解二次函数ya x的概念、 图象、 性质是解决本题的关键, 采用代入法求a的值解答: () 把x,y代入ya x中, 得a(),解得a这个二次函数的关系式为yx() 二次函数yx的图象是抛物线,a,抛物线开口向下, 对称轴是与y轴重合的直线, 顶点坐标为(,)() 当x时,y随x的增大而减
3、小() 当x时,y要点二次函数ya x(a) 的性质() 如果a, 那么当x时, 函数值y随着自变量x的增大而减小;当x时, 函数值y随着自变量x的增大而增大;当x时, 函数y的值最小, 最小值是() 如果a, 那么当x时, 函数值y随着自变量x的增大而增大;当x时, 函数值y随着自变量x的增大而减小;当x时, 函数y的值最大, 最大值是例已知a, 点(a,y) , (a,y) , (a,y) 都在函数yx的图象上, 则()AyyyByyyCyyyDyyy精析: 本题考查的是二次函数ya x的图象及其性质, 运用的数学方法是数形结合的方法, 关键是要画出ya x的大致图象, 然后确定a,a,a
4、在x轴上的位置, 它的正确答案是C解答:C要点二次函数ya xc(a) 的图象及其性质二次函数ya xc的图象与二次函数ya x的图象的形状相同, 只是位置不同, 可看作由抛物线ya x沿y轴向上(c) 或向下(c) 平移|c|个单位而得, 它的顶点坐标是(,c)若a, 则当x时, 二次函数ya xc有最小值,y最小值c;若a, 则当x时, 二次函数ya xc有最大值,y最大值c例将二次函数yx的图象向下平移一个单位, 则平移以后的二次函数的解析式为()AyxByxCy(x)Dy(x)精析: 由“ 上加下减” 的原则可知, 将二次函数yx的图象向下平移一个单位, 则平移以后的二次函数的解析式为
5、yx解答:A要点二次函数ya(xh)(a) 的图象及其性质二次函数ya(xh)的图象与二次函数ya x的图象的形状相同, 只是位置不同, 可看作由抛物线ya x沿x轴向右(h) 或向左(h) 平移|h|个单位而得, 它的顶点坐标是(h,) , 对称轴是过顶点(h,) 且与y轴平行的直线若a, 则当xh时, 二次函数ya(xh)有最小值,y最小值;若a, 则当xh时, 二次函数ya(xh)有最大值,y最大值例如图 , 在R t O A B中,O A B ,O为坐标原点, 边O A在x轴,O AA B个单位长度, 把R t O A B沿x轴正方向平移个单位长度后得A AB图 () 求以A为顶点,
6、且经过点B的抛物线;() 若() 中的抛物线与O B交于点C, 与y轴交于点D, 求点D、C的坐标精析: 本题考查点的坐标的意义和识图能力由题意确定A、A、B三点的坐标, 点A是抛物线的顶点, 设抛物线的解析式为ya(x), 把点B的坐标代入ya(x)求出a即可; () 点D的坐标很容易求解, 点C是抛物线ya(x)与直线O B的交点解答: () 由题意, 得A(,) ,A(,) ,B(,)设抛物线解析式为ya(x),抛物线经过点B(,) ,a(), 解得a抛物线解析式为y(x)() 令x,y(),点D的坐标为(,)直线O B在第一、 三象限的角平分线上,直线O B的解析式为yx根据题意得yx
7、,y(x),解得x ,y ,x ,y x ( 舍去) ,点C的坐标为 , 要点二次函数ya(xh)k与ya xb xc的图象及其性质函数ya(xh)kya xb xc图象特征开口方向a开口向上a开口向上a开口向下a开口向下顶点坐标(h,k)ba,a cba()对称轴过顶点(h,k) 且与y轴平行的直线过顶点(ba,a cba)且与y轴平行的直线函数的最大( 小) 值a , 当xh时,y最小值ka, 当xba时,y最小值a cbaa , 当xh时,y最大值ka, 当xba时,y最大值a cba例已知抛物线yxx() 该抛物线的对称轴是, 顶点坐标为;() 选取适当的数据填入下表, 并在图中直角坐
8、标系内描点画出该抛物线的图象;xy图 ()() 若该抛物线上两点A(x,y) ,B(x,y) 的横坐标满足xx, 试比较y与y的大小精析: () 代入对称轴公式xba和顶点公式ba,a cba()即可; () 结合图象可知这两点位于对称轴右侧, 图象随着x的增大而减少, 因此yy解答: ()x(,)()xy图 ()() 因为在对称轴x 右侧,y随x的增大而减小, 又xx , 所以yy要点用待定系数法确定二次函数的关系式二次函数的一般式:ya xb xc(a,b,c为常数, 且a)当已知函数图象上三个点的坐标( 横坐标相当于自变量的值, 纵坐标相当于函数值) 时, 可以设出函数的一般式, 代入可
9、得关于a,b,c的三元一次方程组, 从而求出a,b,c的值顶点式:ya(xh)k(a,h,k是常数, 且a) , 此时抛物线的顶点坐标是(h,k) , 对称轴是直线xh当已知抛物线的顶点坐标、 对称轴或最大( 小) 值时, 可利用这种形式求出未知系数两点式: 如果已知抛物线与x轴的两个交点的坐标为(x,) , (x,) ( 这时关于x的一元二次方程a xb xc有两个实数根x,x, 根的判别式ba c) , 这时可将抛物线的函数关系式设成ya(xx) (xx) 求解特殊顶点式: 若抛物线的顶点在原点, 可设为ya x求解; 若顶点在y轴上,可设为ya xk求解; 若顶点在x轴上, 可设为ya(
10、xh)求解关键提醒: () 确定二次函数的关系式时, 必须先确定函数关系式中的待定系数, 根据不同的条件选择合适的形式进行求解; () 两点式要在确定抛物线与x轴有交点的情况下使用例已知二次函数yxb xc, 其图象的对称轴为直线x, 且经过点,()() 求此二次函数的解析式;() 设该图象与x轴交于B、C两点( 点B在点C的左侧) , 请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E, 使E B C的面积最大, 并求出最大面积精析: () 根据抛物线的对称轴直线xba求出b的值, 把点,()代入yxb xc求出c的值; () 利用数形结合思想求出最大面积解答: () 由已知条件得b,bc,解得b,c
11、此函数的解析式为yxx()xx,x,xB(,) ,C(,)B C点E在x轴下方, 且E B C面积最大,点E是抛物线的顶点, 其坐标为(,)E B C面积例已知抛物线ya(xh)的对称轴方程为x , 且经过点A(, )求此抛物线所对应的函数解析式精析: 由对称轴为x, 可知h, 然后利用点A(,) 求出a的值解答:抛物线ya(xh)的对称轴为x,h抛物线的解析式为ya(x)此抛物线经过点A(,) ,a(), 解得a此抛物线的解析式为y(x)xx抛物线的函数关系式( 解析式) 一般写成其一般式:ya xb xc(a,b,c是常数, 且a)例抛物线yxb xc经过坐标原点, 并与x轴交于点A(,)
12、() 求此抛物线的解析式;() 写出顶点坐标及对称轴;() 若抛物线上有一点B, 且SO A B, 求点B的坐标精析: () 直接把(,) , (,) 代入yxb xc中, 列方程组求b,c的值即可;() 将二次函数解析式写成顶点式, 可求顶点坐标及对称轴;() 设点B的坐标为(a,b) , 根据三角形的面积公式 求b的值, 再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值, 确定点B的坐标解答: () 把(,) , (,) 代入yxb xc, 得c,b,解得b,c,所以解析式为yxx()yxx(x),顶点为(,) , 对称轴为直线x() 设点B的坐标为(a,b) , 则 |b|, 解得b或b顶点纵坐标为
13、,( 或xx中,x无解) ,bxx, 解得x,x所以点B的坐标为(,) 或(,)流关键是将抛物线上两点的坐标代入解析式, 列方程组求解析式, 将抛物线解析式写成顶点式, 可求顶点坐标及对称轴拉 分 典 例 探 究综合应用例( 要点) 二次函数yx的图象如图 所示, 请将此图象向右平移个单位, 再向下平移个单位() 画出经过两次平移后所得到的图象, 并写出函数的解析式;() 求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标, 指出当x满足什么条件时,函数值大于图 精析: 本题考查的是二次函数图象的平移, 平移后只改变其位置, 不改变其开口方向及大小, 在平移时只注意顶点位置的变化即可解答: () 画图如图
14、 所示依题意, 得y(x)xxxx平移后图象的解析式为yxx() 当y时,xx,解得x ,x 平移后的图象与x轴两交点的坐标分别为( ,) 和( ,)由图可知, 当x 或x 时, 二次函数y(x ) 的函数值大于 分析对比: 注意二次函数图象的平移可看作是抛物线顶点的移动例( 要点) 已知二次函数图象的顶点是(,) , 且过点,()图 ()() 求该二次函数的关系式, 并在图 () 中画出它的图象;() 求证: 对任意实数m, 点M(m,m) 都不在这个二次函数的图象上精析: 本题考查二次函数的关系式及图象判断点是否在函数的图象上, 只需验证点的坐标是否满足此函数关系式即可解答: () 依题意
15、, 可设此二次函数的关系式为ya(x)由点,()在它的图象上, 可得a, 解得a图 ()故所求函数的关系式为y(x), 图象如图 () 所示() 假设点M在函数的图象上,则m(m)整理, 得mm方程的判别式 ,故该方程无解, 从而原命题成立例( 要点,) 如图 是二次函数ya xb xc(a) 在平面直角坐标系中的图象, 根据图形判断:c;abc;ab;baa c其中正确的是( 填写序号)图 精析: 本题考查了抛物线图象的性质, 由开口向上, 知a ; 由与y轴的交点在负半轴上, 知c ; 由对称轴在y轴的右侧且在直线x 左侧, 知 ba , 则b , 故ab ; 当x 时函数值在y轴的下方,
16、 故abc ; 由与x轴的交点有两个, 知b a c , 故b a a c解答:归纳演绎: 不能正确理解解析式中的系数a,b,c的符号与图象的联系图 例( 要点) 已知二次函数ya xb xc(a) 的图象如图所示, 下列结论错误的是()Aa b cB abCm(a mb)ab(m为任意实数)D abc精析: 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,A由函数图象可得各系数的关系:a,c, 对称轴xba, 则b, 故a b c, 故此选项正确, 但不符合题意;B由xba, 得ba, 即ba又因为a,b, 所以ab故此选项正确, 但不符合题意;C将ba代入m(a mb)(ab) , 得m(a ma
17、)(aa)a ma maa(m)因为a, 所以a(m)所以m(a mb)(ab), 即m(a mb)ab, 故此选项正确, 但不符合题意;D当x代入ya xb xc, 得出yabc, 利用图象与x轴交点左侧小于, 则得出图象与坐标轴右侧交点一定小于, 故yabc, 故此选项错误, 符合题意解答:D归纳演绎: 对于的判断可能一时找不到解题途径, 要注意多观察, 多归纳例( 要点) 已知二次函数ya xb xc的图象如图所示, 那么一次函数ya xc和反比例函数ybx在同一平面直角坐标系中的图象大致是()图 精析: 解答本题的关键是讨论两个函数关系式中的系数a,b的符号情况要注意a,b,c在图象中
18、所起的作用是什么, 可以用排除法解答:C技法探究: 这类题错的原因都是不知道a,b,c在画图象时所起的作用例( 要点) 如图 , 在平面直角坐标系中, 抛物线经过A(,) ,B(,) ,C(,) 三点图 () 求该抛物线的表达式;() 点Q在y轴上, 点P在抛物线上, 要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形, 求所有满足条件的点P的坐标精析: 利用点A、B、C的坐标可求出抛物线的解析式; 利用平行四边形的判定条件找出点P解答: () 设该抛物线的表达式为ya xb xc, 根据题意, 得abc,abc,c,解得a,b,c 所求抛物线的表达式为yxx()当A B为边时, 只要P QA B且
19、P QA B即可点Q在y轴上,点P的横坐标为或, 这时符合条件的点P有两个, 分别记为P、P而当x时,y; 当x时,y,此时P,(),P(,)当A B为对角线时, 只要线段P Q与线段A B互相平分即可点Q在y轴上, 且线段A B中点的横坐标为,点P的横坐标为, 这时符合条件的点P只有一个, 记为P而当x时,y, 此时P(,)综上, 满足条件的点P为P,(),P(,) ,P(,)技法探究: 第() 问有两种可能: 一是以A B为边; 二是以A B为对角线注意不要忽略A B为对角线的这种情况例( 要点,) 把一边长为 c m的正方形硬纸板, 进行适当的剪裁, 折成一个长方形盒子( 纸板的厚度忽略
20、不计)() 如图, 若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形, 将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子要使折成的长方形盒子的底面积为 c m, 那么剪掉的正方形的边长为多少?折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值? 如果有, 求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长; 如果没有, 说明理由;() 若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形( 即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上) , 将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子, 若折成的一个长方形盒子的表面积为 c m, 求此时长方形盒子的长、 宽、 高( 只需求出符合要求的一种情况)图 精析: ()假设剪掉的正方形的边长为xc m, 根据题意得出(
21、x) ,求出即可;假设剪掉的正方形的边长为xc m, 盒子的侧面积为yc m, 则y与x的函数关系式为y( x)x, 利用二次函数最值求出即可;() 假设剪掉的正方形的边长为xc m, 利用折成的一个长方形盒子的表面积为 c m, 得出等式方程求出即可解答: ()设剪掉的正方形的边长为xc m则( x) ,即 x , 解得x ( 不合题意, 舍去) ,x,剪掉的正方形的边长为 c m侧面积有最大值设剪掉的正方形的边长为xc m, 盒子的侧面积为yc m,则y与x的函数关系为y( x)x,即yx x,即y(x ) ,x 时,y最大 即当剪掉的正方形的边长为 c m时, 长方形盒子的侧面积最大为
22、c m() 在如图的一种剪裁图中, 设剪掉的正方形的边长为xc m( x) ( x)x( x)x( x) ,解得x ( 不合题意, 舍去) ,x 剪掉的正方形的边长为 c m此时长方体盒子的长为 c m, 宽为 c m, 高为 c m图 技法探究: 此题主要考查了二次函数的应用, 找到关键描述语, 找到等量关系准确的列出函数关系式是解决问题的关键探究创新例( 要点,) 已知A(,) ,B(, ) ,C( ,) ,D(, ) ,E(,) 五个点, 抛物线ya(x )k(a ) , 经过其中三个点() 求证:C、E两点不可能同时在抛物线ya(x)k(a) 上;() 点A在抛物线ya(x)k(a)
23、上吗? 为什么?() 求a和k的值精析: () 把点C、E的坐标代入抛物线ya(x)k(a) , 求得a,k的值, 从而发现矛盾; () 方法一: 分类讨论, 同时在抛物线上的三点有如下六种可能:A、B、C;A、B、E;A、B、D;A、D、E;B、C、D;B、D、E将、四种情况依次代入ya(x)k(a) , 求a,k的值, 若存在符合题意的a,k的值, 则说明点A在抛物线ya(x)k(a) 上, 否则点A不在抛物线ya(x)k(a) 上方法二: 根据抛物线的对称性讨论、 探究; () 在第() 问的基础上确定B、C、D;B、D、E在抛物线ya(x)k(a) 上, 分别代入求出a,k的值解答:
24、() 将C、E两点的坐标代入ya(x)k(a) , 得ak,ak,解得a, 这与条件a不符,C、E两点不可能同时在抛物线ya(x)k(a) 上() 方法一:图 A、C、D三点共线( 如图 ) ,A、C、D三点也不可能同时在抛物线ya(x)k(a) 上同时在抛物线上的三点有如下六种可能:A、B、C;A、B、E;A、B、D;A、D、E;B、C、D;B、D、E将、四种情况( 都含点A) 的三点坐标分别代入ya(x)k(a) , 解得无解;无解;a, 与条件不符, 舍去;无解所以点A不可能在抛物线ya(x)k(a) 上方法二:抛物线ya(x)k(a) 的顶点为(,k) ,假设抛物线过点A(,) , 则
25、点A必为抛物线ya(x)k(a) 的顶点,由于抛物线的开口向上且必过A、B、C、D、E中的三点, 所以必过x轴上方的另外两点C、E, 这与() 矛盾, 所以点A不可能在抛物线ya(x)k(a) 上() 当抛物线经过() 中B、C、D三点时, 则ak,ak,解得a,k当抛物线经过() 中B、D、E三点时, 同理可求得a,k a,k或a,k 归纳演绎: 没有理解“ 三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分” 而寻求不到解题途径例( 要点) 如图 () , 在平面直角坐标系中, 点A的坐标为(,) ,点B的坐标为(,) , 二次函数yx的图象记为抛物线l() 平移抛物线l, 使平移后的抛物线过点A
26、, 但不过点B, 写出平移后的一个抛物线的函数解析式为; ( 任写一个即可)() 平移抛物线l, 使平移后的抛物线经过A、B两点, 记为抛物线l, 如图 () 所示, 求抛物线l的函数解析式;() 请在图 () 中用尺规作图的方式探究抛物线l上是否存在点P, 使A B P为等腰三角形? 若存在, 请判断点P共有几个可能的位置( 保留作图痕迹) ; 若不存在, 请说明理由()()()图 精析: () 根据抛物线的平移规律可以写出, 此题答案不唯一; () 平移后的抛物线若过A、B两点, 可通过解方程组求出抛物线的解析式; () 可通过尺规作图,直接得出点P的个数, 但注意不要遗漏解答: () 有
27、多种答案, 符合条件即可, 例如yx ,yxx,y(x ) 或yx x ,y(x ),y(x )等()图 () 设抛物线l的函数关系式为yxb xc点A(,) ,B(,) 在抛物线l上,bc,bc解得b,c 抛物线l的函数解析式为yxx () 存在, 作图痕迹如图 () 所示, 由图可知点P共有个可能的位置技法探究: 不了解分类讨论的标准或未想到用圆规操作导致第() 小问错解或漏解误 区 警 醒【 误区】混淆二次函数的二次项系数与某个字母取值之间的关系而出错例已知函数y(m)xmm是关于x的二次函数, 当m为何值时, 抛物线有最低点? 求出这个最低点的坐标当x为何值时,y随x的增大而增大?错解
28、:y(m)xmm是关于x的二次函数,mm,m解得m或m抛物线有最低点,m当m时, 抛物线有最低点, 这个最低点的坐标是(,)当x时,y随x的增大而增大正解: 解得m或m后再取舍抛物线有最低点,mmm当m时, 抛物线有最低点, 这个最低点的坐标是(,)当x时,y随x的增大而增大警醒: 产生错误的原因在于没有弄清抛物线ya x有最低点或最高点是由抛物线的开口方向确定的, 而抛物线的开口方向是由a的符号决定的当a时, 抛物线有最低点; 当a时, 抛物线有最高点上述解法误认为m时抛物线存在最低点【 误区】不能正确把握图象变换的规律而出错例如果将抛物线yx作适当的平移, 可以分别得到抛物线y(x)和y(
29、x), 那么应该怎样平移?错解: 将抛物线yx向右平移个单位, 得到抛物线y(x)将抛物线yx向左平移个单位, 再向上平移个单位, 得到抛物线y(x)正解: 将抛物线yx向左平移个单位, 得到抛物线y(x)将抛物线yx向右平移个单位, 再向上平移个单位, 得到抛物线y(x)或将抛物线yx先向上平移个单位, 再向右平移个单位, 得到抛物线y(x)警醒: 产生错误的原因在于没弄清抛物线平移的规律是“ 左右平移, 左加右减;上下平移, 上加下减”受数轴左负右正的影响, 左右平移时常出现“ 左减右加” 的错误【 误区】忽视二次函数图象的对称性, 导致判断函数增减性时出错例已知点(,y) , (,y)
30、, ( ,y) , 在函数y(x)c的图象上,则y,y,y的大小关系是()AyyyByyyCyyyDyyy错解: 因为 , 所以yyy, 故选C正解:B警醒: 对于函数的增减性应按x和x来分类讨论, 当x时,y随x的增大而减小, 因为, 所以yy对于对称轴两侧的x值, 应根据它到对称轴的距离来比较函数值的大小因为| | |, 所以yy所以yyy知 能 提 升 训 练夯基固本( 要点) 已知二次函数y(x)下列说法:其图象的开口向下;其图象的对称轴为直线x;其图象的顶点坐标为(,) ;当x时,y随x的增大而减小则其中说法正确的有()A 个B 个C 个D 个( 要点) 下列二次函数中, 图象以直线
31、x为对称轴, 且经过点(,) 的是()Ay(x)By(x)Cy(x)Dy(x)( 第题)( 要点) 图中是相同对称轴的两条抛物线, 下列关系中不正确的是()AhmBknCknDh,k( 要点) 二次函数ya xb xc的图象如图所示, 则反比例函数yax与一次函数yb xc在同一坐标系中的大致图象是()( 第题)( 第题)( 要点) 已知二次函数ya xb xc的图象如图所示, 它与x轴的两个交点分别为(,) , (,)对于下列命题:ba;a b c;abc;ac其中正确的有()A 个B 个C 个D 个综合应用( 要点) 已知二次函数ya xb xc, 其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表
32、所示:xy点A(x,y) ,B(x,y) 在函数的图象上, 则当x,x时,y与y的大小关系正确的是()AyyByyCyyDyy( 第题)( 要点) 如图, 在平面直角坐标系中,O是坐标原点, 点A的坐标是(,) , 过点A作A By轴, 垂足为B,连接O A() 求O A B的面积;() 若抛物线yxxc经过点A求c的值;将抛物线向下平移m个单位, 使平移后得到的抛物线顶点落在O A B的内部( 不包括O A B的边界) , 求m的取值范围( 直接写出答案即可)( 要点) 二次函数yxb xc的图象经过点(,) , (,)() 求b,c的值;() 求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;() 在
33、所给坐标系中画出二次函数yxb xc的图象( 第题)( 要点) 已知二次函数ya xb xc(a) 中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:x y () 你能根据表格中的数据, 写出该二次函数的对称轴、 顶点坐标和开口方向吗?() 当x为何值时,y随x的增大而减小?() 求该二次函数的解析式探究创新( 第 题) ( 要点) 小明代表班级参加校运会的铅球项目, 他想: “ 怎样才能将铅球推得更远呢?” 于是找来小刚做了如下的探索: 小明手掷铅球在控制每次推出时用力相同的条件下, 分别沿与水平线成 , , 的方向推了三次铅球推出后沿抛物线形状运动, 如图, 小明推铅球时的出手点距地面m, 以铅球出
34、手点所在的竖直方向为y轴、 地平线为x轴建立平面直角坐标系, 分别得到的有关数据如下表:推铅 球 的 方 向 与 水平线的夹角 铅球 运 行 所 得 到 的抛物线解析式y (x) y (x) y (x)估测 铅 球 在 最 高 点的坐标P(, )P(, )P(,)铅球落点到小明站立处的水平距离 mm m() 请你求出表格中两横线上的数据, 写出计算过程, 并将结果填在表格中的横线上;() 请根据以上数据, 对如何将铅球推得更远提出你的建议 ( 要点) 已知二次函数yxb x的图象经过点P(,)() 求b的值, 并写出当x时y的取值范围;() 设点P(m,y) ,P(m,y) ,P(m,y) 在
35、这个二次函数的图象上当m时,y,y,y能否作为同一个三角形的三边的长? 请说明理由;当m取不小于的任意实数时,y,y,y一定能作为同一个三角形三边的长, 请说明理由( 第 题) ( 要点) 如图, 二次函数yxxc的图象与x轴分别交于A、B两点, 顶点M关于x轴的对称点是M () 若A(,) , 求二次函数的关系式;() 在() 的条件下, 求四边形AMBM 的面积;() 是否存在抛物线yxxc, 使得四边形AMBM 为正方形, 若存在, 请求出此抛物线的关系式; 若不存在, 请说明理由 答案全析全解A C B D B B()点A的坐标是(,) ,A By轴,( 第题)A B,O BSA O
36、BA BO B()把点A的坐标(,) 代入yxxc,得()()c,cyx x (x ) ,抛物线顶点D的坐标是(,) ,A B的中点E的坐标是(,) ,O A的中点F的坐标是(,)m的取值范围为m()二次函数yxb xc的图象经过点(,) , (,) , bc,bc解得b,c()该二次函数为yxx(x),该二次函数图象的顶点坐标为(,) , 对称轴为x() 列表略, 描点作图如下:( 第题)()对 称 轴 为x ,顶 点 为,(), 开口向上()x()yxx () 抛物线ya(x) 经过点(,) ,解得a ,y (x) 当y时, (x) 解得x () 推铅球时沿与水平线成 的方向用力推出, 推
37、得更远 () 把点P代入二次函数解析式得()b, 解得b当x时y的取值范围为y()m时,y,y,y的值分别为, , , 由于 , 不能成为三角形的三边长当m取不小于的任意实数时,y,y,y的值分别为mm,m,mm, 由于(m), 当m不小于时成立,mmmmm, 即yyy成立所以当m取不小于的任意实数时,y,y,y一定能作为同一个三角形三边的长 () 把A(,) 代入yxxc中, 得()()c,c ,二次函数的关系式是yxx () 解方程xx , 得x,x,A B|xx| yxx (x) ,M(, )M (, )MM MM A B,S四边形A MBM A BMM () 存在抛物线yxxc, 使得
38、四边形AMBM 为正方形四边形AMBM 为正方形,MM A BMM A Byxxc(x)c,M,c (),M ,c (),MM c解方程xxc, 得xc,xc,A B|xx| cA B(c)又MM (c),(c)(c)解得c( 不合题意, 舍去) ,c故存在抛物线yxx, 使得四边形AMBM 为正方形迷 你 数 学 世 界蜘蛛的启示爸爸出差前, 留给小华一道题:如图是某地区的交通网, 其中小圈代表城镇, 小圈间的连线代表道路, 连线旁的字母表示该段道路的千米数, 请你选择一条从A到B的最短线路爸爸还特地交给小华一个“ 锦囊” , 嘱咐他不到万不得已的时候不要拆开小华是个要强的孩子, 题目未解出
39、来, 他才不会去看什么“ 锦囊妙计” 呢!图 可说起来容易, 做起来还真难小华绞尽脑汁, 想了一天还是没有眉目吃过晚饭, 他信步走进小树林, 树林里比家里可有趣多了! 他东瞅瞅、 西瞧瞧, 一眼落到一张硕大的蜘蛛网上这张蜘蛛网, 多像那张交通图呀! 突然, 一只小虫撞到网上, 蜘蛛像触电一样, 迅速出击, 抓住了小虫蜘蛛那美滋滋的样子, 似乎在嘲笑小华对了, 蜘蛛一定是凭着它的本能沿着最短线路抓住小虫的, 可蜘蛛是怎样选择最短线路的呢? 正巧, 又一只小虫撞到了网上小华睁大了眼睛, 这一下他看清楚了: 原来, 当小虫被网缠住后, 奋力挣扎, 于是便不断地拉紧连到网中心的蜘蛛的最短的那根丝, 把
40、被俘获的信息传给了蜘蛛, 蜘蛛便立即沿着不断被拉紧的那根丝扑向小虫小华不断地捶着自己的脑袋, 口里直嚷嚷: “ 有了! 有了!” 他想, 只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例, 编织一幅真正的“ 交通网” ,要求A、B两地的最短线路, 只需把网上相当于A、B两地的网结各自向外拉, 则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上小华高兴地打开锦囊, 妙极了, 他和爸爸的解法完全一样爸爸的解法后面还有几行字:“ 这种解法叫做模拟法, 它是研究科学的一种重要方法, 自然界中简单的现象往往孕育着深刻的道理, 放开你的眼界, 打破学科的界限, 努力去探索吧!”一P 练习略略
41、提示: 先描出一些关键点, 再用平滑曲线连接这些点即可得到函数图象P 练习函数yx的图象开口向下, 顶点坐标为(,) , 对称轴为y轴函数yx的图象开口向上, 顶点坐标为(,) , 对称轴为y轴函数yx的图象开口向上, 顶点坐标为(,) , 对 称 轴 为y轴函 数yx的图象开口向下, 顶点坐标为(,) , 对称轴为y轴() 减小大大() 减小小小把点P(,) 代入ya x, 得a,即a, 因为, 所以该函数的图象开口向上P 练习()()() 函数yx的图象是由函数yx的图象向上平移个单位长度得到的; () 函数y(x)的图象是由函数yx的图象向右平移个单位长度得到的提示: 对于函数yxa,
42、当a时, 是由函数yx的图象向上平移a个 单 位 长 度 得 到 的; 当a时, 是由函数yx的图象向下平移|a|个单位长度得到的; 对于函数y(xa), 当a时, 是由函数yx的图象向左平移a个单位长度得到的; 当a时, 是由函数yx的图象向右平移|a|个单位长度得到的P 练习()() ()()提示: 利用列表、 描点、 连线的方法画出图象, 图象略自左至右依次填: 上, (),小,; 上,(), 过点,()且平 行 于y轴 的 直 线, 小,; 上,(), 过点,()且平行于y轴的直线, 小,;下,(), 过点,()且平行于y轴的直线, 大,P 习题 提示: 用列表、 描点、 连线的方法画
43、出图象, 图象略()()图象略, 函数y x的图象的顶点坐标为(,) , 对称轴为y轴函数y x的图象的顶 点坐标为(,) , 对称轴为y轴函数yx的 图 象 的 顶 点 坐 标为(,) , 对称轴为y轴图象略, 它们的顶点坐标及对称轴的位置如下表所示:函数顶点坐标 对称轴yx(,)y轴yx(,)y轴y(x)(,)xy(x)(,)x图象略, 它们的顶点坐标及对称轴的位置如下表所示:函数顶点坐标 对称轴y(x)(,)xy(x ) (,)x提示: 利用列表、 描点、 连线的方法画出图象, 图象略()yxx(x), 当x时, 函数有最小值;()y xx x() , 当x时, 函数有最大值 ;()yxxx(),当x时, 函数有最小值;()yx x x () , 当x 时, 函数有最大值 因为yxx(x), 所以将函数yx的图象向左平移个单位长度, 再向上平移个单位长度, 即可得到函数yxx 的图象由题可设二次函数的关系式为ya x x 因为当x 时, 二次函数有最 小 值, 所 以 二 次 函 数 过 点( , ) , 代入, 得a, 解得a , 所以二次项系数为