《九年级数学下册 6.4二次函数的应用教材深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+知识整合+能力提升评估pdf） 新人教版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册 6.4二次函数的应用教材深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+知识整合+能力提升评估pdf） 新人教版.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 二次函数的应用学 习 目 标 导 航能根据具体问题中的数量关系用相关的二次函数知识解决实际问题能根据实际问题中的数量变化关系的图象特征, 用相关的二次函数知识解决实际问题教 材 知 识 详 析要点运用二次函数的性质解决有关最大( 小) 值的问题二次函数图象的顶点是最高( 低) 点, 相应的函数有最大( 小) 值, 有关最大( 小)值的问题需要通过建立二次函数模型, 用二次函数的最值来解决例如图 , 有一道长为 m的篱笆, 一面利用墙( 墙的最大可用长度为 m) , 围成中间隔有一道篱笆( 平行于A B) 的矩形花圃, 设花圃的一边A B的长为xm, 面积为ym图 () 求y与x之间的函数关系
2、式;() 如果要围成面积为 m的花圃, 那么A B的长是多少?() 能围成面积比 m更大的花圃吗? 如果能, 请求出最大面积; 如果不能,请说明理由精析: 解二次函数应用题时, 必须考虑实际情况本题有两处需特别注意: 一是第() 问解一元二次方程时, 必须同时考虑B C x , 否则会认为xm和xm都满足题意; 二是第() 问求最大值时, 一定要考虑到在x的取值范围内求最值, 而不是求整个二次函数的最大值, 若得出“ 当x时,y有最大值 m”的结论, 是没有考虑到实际情况而产生的错误解答: ()A Bxm,B C( x)myA BB Cx( x)x xyx x(x )() 当y 时, 可得x
3、x , 即x x 解得x,x当x时,B C x (m) m m,x不符合题意, 舍去当xm时,B C x(m) m符合题意如果要围成 m的花圃,A B的长应是m()yx x(x) a,图象开口向下当x时,y随x的增大而减小另一方面, 由题意, 知B C , 即 x 解得 x 故当x 时,y有最大值, 为y最大 () 能围成比 m更大的花圃, 当A B的长取m时, 花圃的面积最大,是 m要点结合图形( 象) 求相关图形所表示的函数关系式根据题中的条件, 把图形( 象) 中的数据信息转化为相关点的坐标, 代入含有未知参数的关系式, 再求出函数的关系式例如图 , 足球场上守门员在点O处开出一高球,
4、球从离地面m的A处飞出( 点A在y轴上) , 运动员乙在距点O为m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M, 距地面约m高, 球落地后又一次弹起据实验测算, 足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同, 最大高度减少到原来最大高度的一半() 求足球开始飞出到第一次落地时, 该抛物线的表达式;() 足球第一次落地点C距守门员多少米? ( 取 )() 运动员乙要抢到第二个落点D, 他应再向前跑多少米? ( 取 )精析: () 中需求出第二个抛物线的解析式, 而第二个抛物线和第一个抛物线的形状相同, 开口方向一样, 所以二次项的系数不变, 而最高点是原来的一半, 即顶点的纵坐标为, 所以解析式
5、可设为y (xm)图 解答: () 由题意, 可设抛物线的解析式为ya(x), 当x时,y,则 a, 解得a y (x)() 令y, 得x 足球第一次落地点C距守门员 m() 设第二个抛物线的解析式为y (xm),由() 知, 当x 时,y, 再根据图象可知m , 令y, 则xD 再向前跑 米当二次项的系数相同时, 抛物线的形状和开口方向一样, 反之成立要点运用二次函数的有关知识解决综合应用题二次函数的应用问题是以贴近现实生活中的热点话题为背景, 运用函数知识来解决的一类实际问题解这类题的关键是对问题的审读和理解, 要熟练掌握用一个变量的代数式表示另一个变量, 建立两个变量之间的等量关系例红星
6、食品厂独家生产具有地方特色的某种食品, 产量y( 万千克) 与销售价格x( 元/千克) (x ) 满足函数关系式y x 经市场调查发现:该食品市场需求量y( 万千克) 与销售价格x( 元/千克) (x ) 的关系如图 所示当产量小于或等于市场需求量时, 食品将被全部售出; 当产量大于市场需求量时, 只能售出符合市场需求量的食品, 剩余食品由于保质期短将被无条件销毁() 求y与x的函数关系式;() 当销售价格为多少时, 产量等于市场需求量?() 若该食品每千克的生产成本是元, 试求厂家所得利润W( 万元) 与销售价格x( 元/千克) (x ) 之间的函数关系式图 精析: 从图象可以看出函数是一次
7、函数, 所以可以根据待定系数法求出函数的解析式, 然后再根据题意表示出利润和销售价格之间的函数关系解答: () 设函数的解析式为yk xb, 把(, ) 和( ,) 代入函数的解析式可得kb , kb,解得k,b 所以函数的解析式为yx () 由题意可得 x x , 所以x所以当销售价格为元时, 产量等于市场需求量() 设当销售单价为x时, 产量为y,则由题意, 得W(x)y(x) ( x ) x x (x ) (x )拉 分 典 例 探 究综合应用例( 要点) 将一根长为 厘米的细铁丝剪成两段, 并把每段铁丝围成圆, 设所得两圆的半径分别为r,r() 求r与r的关系式, 并写出r的取值范围;
8、() 将两圆的面积和S表示成r的函数关系式, 求S的最小值精析: () 先由圆的周长公式表示出半径分别为r和r的圆的周长, 再根据这两个圆的周长之和等于 厘米列出关系式即可;() 先由() 可得rr, 再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和S表示成r的函数关系式, 然后根据函数的性质即可求出S的最小值解答: () 依题意, 得 r r , 化简, 得rr,r() 两圆面积和Srr(rr)r(r) (rr ) (r) , 当r时, 面积和有最小值 分析对比: 本题考查了二次函数的应用及圆的周长与面积公式, 难度中等,() 中用含r的代数式表示r是解题的关键, 运用配方法求函数的最小值需牢固掌握例
9、( 要点) 某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 元的护眼台灯销售过程中发现, 每月销售量y( 件) 与销售单价x( 元) 之间的关系可近似的看作一次函数:y x () 设李明每月获得的利润为w( 元) , 当销售单价定为多少元时, 每月可获得最大利润?() 如果李明想要每月获得 元的利润, 那么销售单价应定为多少元?() 根据物价部门规定, 这种护眼台灯的销售单价不得高于 元, 如果李明想要每月获得的利润不低于 元, 那么他每月的成本最少需要多少元? ( 成本进价销售量)精析: () 根据利润销售量( 售价成本) 可列出w关于x的二次函数关系式; () 构建一元
10、二次方程可求出销售单价; () 借助二次函数的图象和自变量的取值范围可求出销售单价, 进而求出每月的成本解答: () 由题意, 得w(x ) y(x ) ( x ) x x , ,当x ( ), 即x 时,w最大当销售单价定为 元时, 每月可获得最大利润() 由题意, 得 x x 解得x ,x 李明想要每月获得 元的利润, 销售单价应定为 元或 元() 方法一:a ,抛物线开口向下当 x 时,w x ,当 x 时,w 设成本为P( 元) , 由题意, 得P ( x ) x k ,P随x的增大而减小当x 时,P最小 方法二:a ,抛物线开口向下当 x 时,w x , x 时,w y x ,k ,
11、y随x的增大而减小当x 时,y最小 当进价一定时, 销售量越小, 成本越小, ( 元)想要每月获得的利润不低于 元, 每月的成本最少为 元分析对比: 本题若直接由题意得出不等式是无法求解的例( 要点) 打高尔夫球时, 球的飞行路线可以看成是一条抛物线, 如果不考虑空气的阻力, 某次球的飞行高度y( 单位: 米) 与飞行距离x( 单位: 百米) 满足二次函数:y x x, 这个球飞行的水平距离最远是多少米? 球的飞行高度能否达到 米?图 精析: 二次函数的图象是一条抛物线, 高尔夫球飞行的路线可以看成一条抛物线,高尔夫球飞行的水平最远距离即为抛物线与x轴的另一个交点的横坐标, 从而转化为解一元二
12、次方程问题; 球飞行的最大高度即为抛物线的顶点的纵坐标, 所以可以把二次函数的解析式通过配方转化为顶点式, 也可以直接利用顶点坐标公式求解解答: 当y时, 即x x, 解得x,x,所以高尔夫球飞行的水平最远距离为 米yx x(xx)(x) 所以高尔夫球飞行的最大高度为 米, 不能达到 米分析对比: 配方时是提取二次项的系数, 而不是除以二次项的系数, 水平距离的单位是百米, 而不是米例( 要点) 用长度为 m的金属材料制成如图 所示的金属框, 下部分为矩形, 上部分为等腰直角三角形, 其斜边长为xm当该金属框围成的图形面积最大时, 图形中矩形的相邻两边长各为多少? 请求出金属框围成的图形的最大
13、面积图 精析: 金属框围成的图形的面积应为矩形和等腰直角三角形面积的和, 所以应该先用含x的代数式表示出等腰直角三角形的直角边和矩形的另一边长, 代入面积公式求解解答: 根据题意, 得等腰直角三角形的直角边长为xm, 矩形的一边长为xm, 则其相邻边长为 ( )x ( )x(m)该金属框围成的面积Sx ( )x xx( )x x(x )当x 时, 金属框围成的面积最大, 此时矩形的一边是x (m) , 相邻边长为 ( ) ( ) (m)S最大 ( ) (m)矩形的相邻两边长分别为( )m, ( )m时, 金属框围成的图形的最大面积为 ( )m点拨: 本题的解题关键是正确的表示矩形的另一边长例(
14、 要点) 如图 , 在A B C中,A ,A B,A C,D是A B上的一个动点,D EB C, 交A C于点E, 将四边形B D E C沿D E向上翻折, 得四边形B D E C ,B C 与A B、A C分别交于点M、N() 证明:AD EA B C;() 设AD为x, 梯形MD EN的面积为y, 试求y与x之间的函数关系式当x为何值时,y有最大值?图 精析: 因为D EB C, 所以AD EA B C, 运用三角形相似的性质可以求出AD E的面积, 再利用翻折的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定确定线段BM的长, 从而求出AMN的面积, 再利用AD E减去AMN的面积即可得梯形MD E
15、N的面积解答: () 因为D EB C,所以AD EB,A E DC所以AD EA B C() 由题意, 知SA B C ,因为AD EA B C, 所以相似比为x所以SA D ESA B Cx()所以SA D Ex因为,B,BB ,B MD,所以B B MD所以B DMD又因为B DB D,所以MDB D所以AMA BMB(x)x同理,AMNA B C,SA MN(x)所以ySA D ESA MNx(x)x x 配方, 得y(x),所以当x时,y有最大值点拨: 本题借助函数的性质研究图形问题, 解题的关键是利用图形的性质正确表示相关线段的长和相关图形的面积例( 要点) 某工厂生产某品牌的护眼
16、灯, 并将护眼灯按质量分成 个等级( 等级越高, 灯的质量越好如: 二级产品好于一级产品)若出售这批护眼灯, 一级产品每台可获利润 元, 每提高一个等级每台可多获利润元, 工厂每天只能生产同一个等级的护眼灯, 每个等级每天生产的台数如下表所示:等级(x级)一级二级三级生产量(y台/天) () 已知护眼灯每天的生产量y( 台) 是等级x( 级) 的一次函数, 请直接写出y与x之间的函数关系式:;() 若工厂将当日所生产的护眼灯全部售出, 工厂应生产哪一等级的护眼灯,才能获得最大利润? 最大利润是多少?精析: () 由于护眼灯每天的生产量y( 台) 是等级x( 级) 的一次函数, 所以可设yk x
17、b, 再把(, ) , (, ) 代入, 运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式;() 设工厂生产x等级的护眼灯时, 获得的利润为w元由于等级提高时, 带来每台护眼灯利润的提高, 同时销售量下降而x等级时, 每台护眼灯的利润为 (x) 元, 销售量为y元, 根据: 利润每台护眼灯的利润销售量, 列出w与x的函数关系式, 再根据函数的性质即可求出最大利润解答: ()yx ;() 设工厂生产x等级的护眼灯时, 获得的利润为w元由题意, 有w (x) y (x) (x )(x ) ,所以当x 时, 可获得最大利润 元故若工厂将当日所生产的护眼灯全部售出, 工厂应生产十级的护眼灯时, 能获得最大
18、利润, 最大利润是 元归纳演绎: () 中生产等级提高时, 带来每台护眼灯利润的提高, 同时销售量下降, 列函数关系式时, 要注意这“ 一增一减” , 这是此类题的难点例( 要点) 国家推行“ 节能减排, 低碳经济” 政策后, 某环保节能设备生产企业的产品供不应求若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围, 每套产品的生产成本不高于 万元, 每套产品的售价不低于 万元已知这种设备的月产量x( 套) 与每套的售价y( 万元) 之间满足关系式y x, 月产量x( 套) 与生产总成本y( 万元) 存在如图 所示的函数关系图 () 直接写出y与x之间的函数关系式;() 求月产量x的范围;() 当
19、月产量x( 套) 为多少时, 这种设备的利润W( 万元) 最大? 最大利润是多少?精析: 此题把图象信息、 阅读理解、 解不等式组、 二次函数的性质有机地结合在一起, 要求学生在读懂文字、 图象的基础上, 把实际问题抽象出数学问题, 进而求解解答: ()y x() 依题意, 得 x x, x ,解得 x ()Wxyyx( x)( x)x x ,W(x ) 而 ,当x 时,W最大 即月产量为 件时, 利润最大, 最大利润是 万元归纳演绎:y是每套售价与产量x之间的关系, 而y是x套的生产成本, 要区分开探究创新例( 要点) 如图 () , 经过原点的抛物线yxx与x轴的另一交点为A, 现将它向右
20、平移m(m) 个单位, 所得抛物线与x轴交与C、D两点, 与原抛物线交于点P() 求点A的坐标, 并判断P C A存在时它的形状; ( 不要求说理)() 在x轴上是否存在两条相等的线段? 若存在, 请一一找出, 并写出它们的长度( 可用含m的式子表示) ; 若不存在, 请说明理由;()C D P的面积为S, 求S关于m的关系式()()图 精析: () 要求点A的坐标, 可令y的值为, 求方程的解得到, 要判断三角形的形状可从图形的对称性上观察与发现; () 要探究相等的线段, 应借助平移的性质去分析与突破; () 要探究C D P的面积, 通过操作或观察可发现, 应存在多种可能情形, 即交点P
21、可能在x轴的上方, 也可能在x轴的下方解答: () 令xx得x,x点A的坐标是(,) ,P C A是等腰三角形() 存在O CADm,O AC D() 当m时, 如图 () , 作PHx轴于点H, 设P(xP,yP) ,A(,) ,C(m,) ,A CmCHA CmxPOHmmm把xPm代入yxx, 得yPmC DO A,SC DHP m()m当m时, 如图 ()作PHx轴于点H, 设P(xP,yP) ,图 ()A(,) ,C(m,) ,A CmAHmxPOHmm把xPm代入yxx,得yPmC DO A,SC DHP(yP)m当m时,S综上,Sm,m,m,m,m 归纳演绎: 本题是通过抛物线的
22、平移变换设置的融代数与几何为一体的综合题,构思新颖, 入手容易, 逐步上升, 尤其在第() 中较好地考查数学的空间观念、 分析能力、 综合能力、 分类讨论及数形结合能力, 解决的关键在于用含m的代数式表示点P的坐标, 难度较大, 具有明显的区分度例( 要点,) 如图 () , 二次函数ya xb x的图象与x轴相交于点A、C, 与y轴相交于点B,A,(), 且A O BB O C() 求点C的坐标,A B C的度数及二次函数ya xb x的关系式;() 在线段A C上是否存在点M(m,) , 使得以线段BM为直径的圆与边B C交于点P( 与点B不同) , 且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三
23、角形? 若存在,求出m的值; 若不存在, 请说明理由图 ()精析: 这是一道典型的坐标几何题, 融函数图象与几何图形于一体, 用几何方法研究函数问题, 包含的知识点较多, 代数变换与几何推理相融合, 数形结合的思想方法得到了充分运用解答: () 由题意, 得B(,)A O BB O C,O A BO B C,O AO BO BO C O CO CC(,)O A BO B A ,O B CO B A A B C ya xb x的图象经过点A,(),C(,) , ab, ab,解得a,b yx x()如图 () , 当C PC O时, 点P在以BM为直径的圆上,BM为圆的直径,B PM PMA B
24、C PMC B AC PC BCMC A, 得CMm图 ()图 ()如图 () , 当P CP O时, 点P在O C的垂直平分线上, 得P C 由C PMC B A, 得CM m 当O CO P时, 点M不在线段A C上综上所述,m的值为或误 区 警 醒【 误区】不能结合实际问题理解二次函数的意义而导致出错例焰火晚会令很多人向往有一种焰火升高高度为h(m) 与飞行时间t(s)的关系式是ht t, 若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆, 则从点火到引爆所需时间为s 错解:正解:警醒: 根据函数关系式, 我们可以看出焰火的运行路线是一个开口向下的抛物线, 引爆处为抛物线的顶点处, 顶点处的横坐标即代
25、表从点火到引爆所需时间, 而非纵坐标【 误区】忽视自变量的取值范围而产生错误例某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售, 对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查调查发现这种水产品的每千克售价y( 元)与销售月份x( 月) 满足关系式yx , 而每千克成本y( 元) 与销售月份x( 月) 满足关系如图所示() 试确写b,c的值;() 求出这种水产品每千克的利润与销售月份( 月) 之间的函数关系式;() “ 五一” 之前, 几月份出售这种水产品每千克的利润最大? 最大利润是多少?图 错解: 第小题在第、小题求得函数的基础上配方得函数y(x) ,a,当x时函数y有最大值, 即月份出这种水
26、产品每千克的利润最大,最大利润是 元正解:a,在x时,y随x的增大而增大, 而x在此范围内, 所以当x取整数时y值最大, 即月份出售这种水产品每千克的利润最大, 最大利润是 元警醒: 此题学生因不重视“ 五一” 之前这一句话, 以至于没考虑到这里隐含着自变量的取值范围:x学生在做题时, 看到最大值或最小值的时候, 直接从顶点式中找最值, 走入了误区知 能 提 升 训 练夯基固本( 要点) 年月 日 日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛在比赛中, 某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线yxb xc的一部分( 如图) , 其中出球点B离地面点O的距离是m, 球落地点A到点O的距离是m,
27、 那么这条抛物线的解析式是()( 第题)Ayx xByx xCyx xDyx x( 要点) 某广场有一喷水池, 水从地面喷出, 如图, 以水平地面为x轴, 出水点为原点, 建立平面直角坐标系, 水在空中划出的曲线是抛物线yxx( 单位:米) 的一部分, 则水喷出的最大高度是()A 米B 米C 米D 米( 第题)( 第题)( 要点) 某公园草坪的防护栏是由 段形状相同的抛物线组成的为了牢固起见, 每段护栏需要间距 m加设一根不锈钢的支柱, 防护栏的最高点距底部 m( 如图) , 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A mB mC mD m( 要点) 如图所示,P是菱形A B C D的对角
28、线A C上一动点, 过点P垂直于A C的直线交菱形A B C D的边于M、N两点, 设A C,B D,A Px,AMN的面积为y, 则y关于x的函数图象的大致形状是()( 第题) ( 要点) 出售某种手工艺品, 若每个获利x元, 一天可售出( x) 个, 则当x元时, 一天出售该种手工艺品的总利润y最大( 要点) 如图, 把抛物线yx平移得到抛物线m, 抛物线m经过点A(,) 和原点O(,) , 它的顶点为P, 它的对称轴与抛物线yx交于点Q, 则图中阴影部分的面积为( 第题)综合应用( 要点) 小磊要制作一个三角形的钢架模型, 在这个三角形中, 长度为x( 单位:c m) 的边与这条边上的高
29、之和为 c m, 这个三角形的面积S( 单位:c m) 随x( 单位:c m) 的变化而变化() 请直接写出S与x之间的函数关系式( 不要求写出自变量x的取值范围) ;() 当x是多少时, 这个三角形的面积S最大? 最大面积是多少?( 要点,) 在体育测试时, 九年级的一名高个子男生推铅球, 已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分( 如图) , 若这个男生出手处点A的坐标为(,) , 铅球路线的最高处点B的坐标为B(,)() 求这个二次函数的表达式;() 求该男生把铅球推出去多远? ( 精确到 m)( 第题)( 第题)( 要点,) 如图, 矩形A B C D的两边长A B c m,ADc
30、 m, 点P、Q分别从点A、B同时出发,P在边A B上沿A B方向以每秒c m的速度匀速运动,Q在边B C上沿B C方向以每秒c m的速度匀速运动设运动时间为x秒,P B Q的面积为y(c m)() 求y关于x的函数关系式, 并写出x的取值范围;() 求P B Q的面积的最大值 ( 要点,) 如图, 某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分, 抛物线的顶点O落在水平面上, 对称轴是水平线O C点A、B在抛物线造型上,且点A到水平面的距离A C米, 点B到水平面的距离为米,O C米( 第 题)() 请建立适当的直角坐标系, 求抛物线的函数解析式;() 为了安全美观, 现需在水平线O C上
31、找一点P, 用质地、 规格已确定的圆形钢管制作两根支柱P A、P B对抛物线造型进行支撑加固, 那么怎样才能找到两根支柱用料最省( 支柱与地面、 造型对接方式的用料多少问题暂不考虑) 时的点P? ( 无需证明)() 为了施工方便, 现需计算出点O、P之间的距离, 那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少? ( 请写出求解过程)探究创新 ( 要点,) 某公司销售一种新型节能产品, 现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售若只在国内销售, 销售价格y( 元/件) 与月销量x( 件)的函数关系式为y x , 成本为 元/件, 无论销售多少, 每月还需支出广告费 元, 设月利润为w内(
32、元) ( 利润销售额成本广告费)若只在国外销售, 销售价格为 元/件, 受各种不确定因素影响, 成本为a元/件(a为常数, a ) , 当月销量为x( 件) 时, 每月还需缴纳 x元的附加费, 设月利润为w外( 元) ( 利润销售额成本附加费)() 当x 时,y元/件,w内元;() 分别求出w内,w外与x之间的函数关系式; ( 不必写出x的取值范围)() 当x为何值时, 在国内销售的月利润最大? 若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同, 求a的值;() 如果某月要将 件产品全部销售完, 请你通过分析帮公司决策, 选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大? ( 要点,) 我
33、市某镇的一种特产由于运输原因, 长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为每投入x万元, 可获得利润P (x ) ( 万元)当地政府拟在“ 十二五” 规划中加快开发该特产的销售, 其规划方案为: 在规划前后对该项目每年最多可投入 万元的销售投资, 在实施规划年的前两年中, 每年都从 万元中拨出 万元用于修建一条公路, 两年修成, 通车前该特产只能在当地销售; 公路通车后的年中, 该特产既在本地销售, 也在外地销售在外地销售的投资收益为每投入x万元, 可获利润Q ( x) ( x) ( 万元)() 若不进行开发, 求年所获利润的最大值是多少?() 若按规划实施, 求年所获利润( 扣除修路
34、后) 的最大值是多少?() 根据() 、 () , 该方案是否具有实施价值? ( 要点,) 如图, 排球运动员站在点O处练习发球, 将球从点O正上方m的A处发出, 把球看成点, 其运行的高度y(m) 与运行的水平距离x(m) 满足关系式ya(x)h已知球网与点O的水平距离为m, 高度为 m, 球场的边界距点O的水平距离为 m() 当h 时, 求y与x的关系式; ( 不要求写出自变量x的取值范围)() 当h 时, 球能否越过球网? 球会不会出界? 请说明理由;() 若球一定能越过球网, 又不出边界, 求h的取值范围( 第 题) 答案全析全解AA C C ()Sx( x)x x()xba ,Sa
35、cba ,所以当x c m时, 这个三角形的面积最大, 最大面积是 c m() 设ya(x), 则把点A(,) 代入,得a(), 得a 故y (x)() 由 (x),得x ,x 结合图象可知点C的坐标为( ,) , 故O C (m) ,即该男生把铅球推出约 m()SP B QP BB Q,P BA BA P x,B Qx,y( x)x,即yxx(x)() 由() 知yxx,yx() 当x时,y随x的增大而增大, 而x, 当x时,y最大值 ,即P B Q的最大面积是 c m () 以点O为原点、 射线O C为y轴的正半轴建立直角坐标系设抛物线的函数解析式为ya x,由题意知点A的坐标为(,) ,
36、 且点A在抛物线上,所以a, 解得a, 故所求抛物线的函数解析式为yx() 找法: 延长A C, 交建筑物造型所在抛 物 线 于 点D, 则 点A、D关 于O C对称连接B D交O C于点P, 则点P即为所求() 由题意知点B的横坐标为, 且点B在抛物线上,所以点B的坐标为(,)又知点A的坐标为(,) ,所以点D的坐标为(,)设直线B D的函数解析式为yk xb,则有kb,kb解得k,b,故直线B D的函数解析式为yx把x代入yx, 得点P的坐标为(,)两根支柱用料最省时, 点O、P之间的距离是米 () ()w内x(y ) x x ,w外 x( a)x() 当x () 时,w内最大;由题意,
37、得( a) () ()( ) (),解得a ,a ( 不合题意, 舍去)所以a () 当x 时,w内 ,w外 a 若w内w外, 则a ;若w内w外, 则a ;若w内w外, 则a 所以当 a 时, 选择在国外销售;当a 时, 在国外和国内销售都一样;当 a 时, 选 择 在 国 内销售 () 当x 时,P最大且为 , 故五年获利最大值是 万元() 前两年:x , 此时因为P随x增大而增大, 所以x 时,P值最大且为 万元, 所以这两年获利最大为 万元后三年: 设每年获利为y, 设当地投资额为x, 则外地投资额为 x, 所以yPQ (x ) x x ()x x (x ) ,表明x 时,y最大且为
38、,那么三年获利最大为 万元,故五年获利最大值为 万元() 有极大的实施价值 () 把x,y, 及h 代入到ya(x)h,即a() a y (x) () 当h 时,y (x ) ,x时,y () ,球能越过网x 时,y ( ) ,球会过界()x,y, 代入到ya(x)h, 得ah x时,yh ()hh ,x 时,yh ( )hh,由, 得h迷 你 数 学 世 界优美的数学定理数学定理一般都被认为是枯燥无味的, 哪里有什么美可言, 但数学家们有他们自己的审美标准, 能从大家认为干瘪瘪的定理中发现美几年前读过一篇数学小短文, 文中讨论什么样的数学定理可以称之为美有些数学家认为简单就是美, 有些数学家
39、认为清楚明确就是美, 有些数学家认为深刻才是美文中列出了二十四个被当今数学家认为最简明、 最优美的数学定理让许多大数学家打分这些定理的确都很简明, 定理叙述最多两行字得分最高的是众所周知的复数等式:ei 称其为美的原因是, 小小一个等式, 包含了数学( 或大自然) 中最重要的五个常数,e,i, 真是绝了P 练习设宽为xm, 则高为( x)m, 透光面积Sx( x)x x, 则当x () ,S有最大值, 所以x m,( x) m故宽为 m, 高为 m时, 透光面积最大()y(x ) (x )x x () 由 () 可 知, 当x ( ) ( 元) 时, 商场获得最大毛利润, 毛利润为y( ) (
40、 ) ( 元)故每件售价定为 元时, 最大销售毛利润为 元P 练习以小明脚底为原点, 身体为y轴, 铅球落地的水平方向为x轴建立平面直角坐标系, 设抛物线的解析式为ya(x), 易知抛物线过点(,) , 代入得 a , 解得a , 所以抛物线的解析式为y (x) 当y时, (x ) , 解得x ,x ( 小于, 舍去) (m) , 所以水平距离约是 mP 练习设石拱桥的顶点在坐标原点上, 设解析式为ya x, 由题意, 可知该拱桥过点( , ) , 代 入, 得a , 所以二次函数的解析式为y x若建立坐标系后抛物线的顶点在原点上, 则可设解析式为ya x, 由题意知抛物线过点( , ) ,
41、代入解得a , 所以抛物线的解析式为y xP 习题 提示: 设一个数为x, 则另一个数为 x,设 两 数 之 积 为y,则yx( x)x x(x ) , 所以当x 时,y有最大值 设一个正方形的边长为xc m, 则另一个正方形的边长为( x)( x)c m, 则面积和为Sx( x)x x , 所以当x( ) 时, 正方形的面积和最 小, 最 小 值 为S () () (c m)如图所示, 作A EB C于点E, 设D Cxm, 则B C( x)m,A ED CxmB AD ,A EB C,A B E B EA ExC EB CB E xxADS( x xx) xx x当x ()时, 面积最大,
42、S最大值 (m)( 第题)将h 代 入h t, 得 t, 解 得t 故 大 约 经 过 s落地将t 代入h t, 得h 故枯井大约为 米建立如图所示的平面直角坐标系, 图象过点(,) , (, ) , (,) , 设抛物线的解析式为ya(x) (x) ,把点(, ) 代入, 得a , 所以抛物线的解析式为y x 当x 时,y ; 当x 时,y , 所以每段护栏所需钢管长为 ( ) (m) , 所以 段护栏需钢管 m( 第题)() 如图所示, 设拱桥所在的抛物线ya(n ) (n ) , 当n时,y,即A(,) , 把点(,) 代入ya(n ) (n ) , 得 a, 即a ,y (n ) (n ) n() 由() 知, 警戒水位距桥顶部的距离 为m, 所 以 再 过 (h) , 桥孔将被淹没( 第题)