《九年级数学下册 7.2正弦、余弦教材深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+知识整合+能力提升评估pdf） 新人教版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册 7.2正弦、余弦教材深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+知识整合+能力提升评估pdf） 新人教版.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 正弦、 余弦学 习 目 标 导 航知道锐角的正弦、 余弦的概念会利用计算器求一个锐角的正弦、 余弦能说出锐角的正弦值随着锐角的增大而增大, 余弦值随着锐角的增大而减少教 材 知 识 详 析要点锐角正弦、 余弦的概念() 在A B C中,C ,A、B、C的对边分别是a,b,c, 锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦, 记为s i nAac; 锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦, 记为c o sAbc() 对于锐角A的正弦和余弦来说, 实质上就是直角三角形中两边之比, 它的值只与角的度数有关例在A B C中,C ,s i nA, 则t a nB的值为()ABCD精析:s i nA, 设B Ck,A
2、 Bk, 根据勾股定理得A Ck t a nBA CB Ckk解答:B解答这类习题可通过画图解题, 可降低求解的难度要点三角函数的概念锐角A的正弦、 余弦和正切都是A的三角函数在锐角三角函数中,A是自变量, 其取值范围是 A , 三个比值是因变量当A确定时, 三个比值分别唯一确定; 当A变化时, 三个比值也分别有唯一确定的值与之对应例在R t A B C中,C ,a,c, 求s i nA和t a nA的值精析:由本题条件可以知道三角形的另一边, 再根据锐角三角函数的意义求得结果解答: 在R t A B C中,c,a,bcas i nAac,t a nAab要点等角、 互余角的正弦、 余弦之间的
3、关系在A B C中,C ,s i nAc o sB,s i nBc o sA()s i n( A)c o sA;()c o s( A)s i nA;()s i nAc o sA例如图 , 在R t A B C中,B C、A C、A B三边的长分别为a,b,c, 则s i nAac,c o sAbc,t a nAab我们不难发现:s i n c o s , , 试探求s i nA、c o sA、t a nA之间存在的一般关系, 并说明理由图 精析: 由三角函数的意义结合勾股定理不难解答解答: 存在的一般关系有: ()s i nAc o sA; ()t a nAs i nAc o sA()s i
4、nAac,c o sAbc,abc,s i nAc o sAacbcabccc()s i nAac,c o sAbc, t a nAabacbcs i nAc o sA同一直角三角形中两个锐角互余, 在此条件下, 可由三角函数的定义,找到存在的等量关系要点 能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角例如图, 已知在R t A B C中,B A C , 点D在边B C上, 且A B D是等边三角形若A B, 求A B C的周长( 结果保留根号)图 精析: 由A B C是直角三角形和A B D是等边三角形, 可求出C , 利用三角函数可求出答案解答:A B D是等边三角形,B B
5、A C ,C s i nCA BB C,B CA Bs i nCc o sCA CB C,A CB Cc o sC A B C的周长是 在直角三角形中计算线段长度问题, 通常利用勾股定理和三角函数来解决, 本题也可由勾股定理来计算A C的长拉 分 典 例 探 究综合应用例( 要点) 一副直角三角板如图() 放置, 点C在F D的延长线上,A BC F,FA C B ,E ,A ,A C , 试求C D的长()()图 精析: 过点B作BHF D于点H, 根据题意可求出B C的长度, 然后在E F D中可求出E D F , 进而可得出答案解答:A , ,B CA C ,作BHF C于点H, 则BH
6、CHB C ,在R t B DH中,DHBH t a n ,C DCHDH 归纳演绎: 解答此类题目的关键根据题意建立三角形, 利用所学的三角函数的关系进行解答例( 要点) 通过学习三角函数, 我们知道在直角三角形中, 一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定, 因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的, 可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义: 等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(s a d)如图 () , 在A B C中,A BA C, 顶角A的正对记作s a dA, 这时s a dA底边腰B CA B容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对定义,
7、 解下列问题:()s a d ;() 对于 A ,A的正对值s a dA的取值范围是;() 如图 () ,s i nA, 其中A为锐角, 试求s a dA的值()()图 精析: () 的等腰三角形是等边三角形; () 由腰底,s a dA底边腰B CA B; () 构造锐角A为公共角的等腰三角形、 直角三角形, 再进行计算解答: ()()s a dA()图 ()设A Ba,B Ca, 则A Ca如图 () , 在A B上取ADA Ca, 作D EA C于点E则D EADs i nAa a,A EADc o sAa a,C Ea aa,C DC ED Ea() a() as a dAC DA C
8、 分析对比: 问题中根据三角形两边之和大于第三边( 等腰三角形两腰之和大于底) 来解决, 否则难以做对例( 要点) 某市正在进行商业街改造, 商业街起点在古民居P的南偏西 方向上的A处, 现已改造至古民居P南偏西 方向上的B处,A与B相距 m, 且B在A的正东方向为不破坏古民居的风貌, 按照有关规定, 在古民居周围 m以内不得修建现代化商业街若工程队继续向正东方向修建 m商业街到C处, 则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定?图 精析: 首先过点P作PDB C, 垂足为D, 然后分别在R t A P D与R t B PD,求得AD与P D,B D与PD的关系, 又由A B , 即可求得B
9、D、PD的长, 继而求得答案解答: 过点P作P DB C, 垂足为D在R t A P D中,A P D , t a n ADP D ,AD PD在R t B PD中,B PD , t a n B DP D,B D P DADB D, B DB D B D PD,P D ,不违反有关规定归纳演绎: 此题考查了锐角三角函数的应用本题主要考查了方向角含义,正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键例( 要点) 为了搞好防洪工程建设, 需要测量岷江河某段的宽度, 如图 () , 一测量员在河岸的A处测得对岸岸边的一个标记B在它的正北方向,测量员从点A开始沿岸边向正东方向行进了 米到达C处, 这时测得标记B
10、在北偏西 的方向() 求河的宽度; ( 保留根号)() 除上述测量方案外, 请你在图 () 中再设计一种测量河的宽度的方案()()()图 精析: () 由题设, 可得A B C为直角三角形, 且有BB C E , 且A C 米, 故可求出A B;() 可用解直角三角形、 全等三角形、 相似三角形等性质来测量河的宽度解答: () 如图 () 所示B C E ,A C B C A B ,A C 米,在R t A B C中,t a n A C BA BA C, 即A BA Ct a n A C BA B t a n ( 米)故河的宽度为 米() 利用全等、 相似等方法, 正确即可归纳演绎: 在解决有
11、关方向角的问题时, 要注意南北方向与东西方向是垂直的, 可构成直角三角形探究创新例( 要点) 已知锐角的余弦值大于且小于 , 请写出的一个可能值精析: 根据锐角越大,c o s的值越小,c o s , 得为大于 且小于 的角因而写出一个大于 且小于 的角即可解答: ( 填 之间的任意角即可)分析对比:c o s , 而非c o s 例( 要点) () 如图 , 锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定、 变化而变化试探索随着锐角度数的增大, 它的正弦值和余弦值的变化规律;() 根据你探索到的规律, 试比较 、 、 、 、 这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小;() 比较大小( 在空格处填写“
12、” “” 或“” ) :若 , 则s i nc o s;若 , 则s i nc o s;若 , 则s i nc o s() 利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系, 试比较下列正弦值和余弦值的大小s i n 、c o s 、s i n 、c o s 图 精析: 此题是考查锐角的正弦函数值和余弦函数值随着锐角的变化而变化的规律, 通过由特殊到一般进而利用此规律判断函数值的大小, 很有代表性解答: () 锐角的正弦值随着角度的增大而增大, 锐角的余弦值随着角度的增大而减小()s i n s i n s i n s i n s i n ,c o s c o s c o s c o s c o s (
13、) 若 , 则s i nc o s;若 , 则s i nc o s;若 , 则s i nc o s()c o s s i n ,c o s s i n ,s i n s i n s i n s i n ,s i n c o s s i n c o s 技法规律: 锐角三角函数的概念可通过画图帮助分析, 找准直角三角形中边角的关系, 加深对概念的理解, 否则失分的机会将增大误 区 警 醒【 误区】忘记锐角三角函数的使用条件而出错例在A B C中,A、B、C的对边分别是a,b,c, 且abc, 求s i nAs i nB的值错解: 设ak,bk,ck,则s i nAackk,s i nBbckks
14、 i nAs i nB图 正解: 设ak,bk,ck,则ab(k)(k)k k kcA B C是直角三角形, 且C s i nAs i nBacbcabckkk警醒: 本题应用的s i nAac,s i nBbc是在C 的条件下成立的, 而题目中并没有告诉C , 因此直接应用此结论是错误的应先判定A B C是不是直角三角形【 误区】三角函数之间的关系变换识别能力不高例如果是锐角, 且c o s, 那么c o s( ) 的值是()ABCD错解:A正解: 由余角三角函数关系, 得c o s( )s i n由同角三角函数关系得s i nc o s, 得s i nc o s所以c o s( ), 故选
15、C警醒: 本题在运用互为余角三角函数关系时, 应避免出现c o s( )c o s之类的错误知 能 提 升 训 练夯基固本( 要点) 把A B C三边的长度都扩大为原来的倍, 则锐角A的正弦函数值()A不变B缩小为原来的C扩大为原来的倍D不能确定( 要点) 如 图, 在R tA B C中,C ,A C,A B, 则s i nB的 值 是()ABCD( 要点) 如图, 先锋村准备在坡角为的山坡上栽树, 要求相邻两棵树之间的水平距离为米, 那么这两棵树在坡面上的距离A B为()( 第题)A c o sBc o sC s i nDs i n( 要点)在A B C中, 若三边B C、C A、A B满足
16、B CC AA B , 则c o sB的值为()A B C D ( 要点,) 如图, 在R t A B C中,C ,A C,B C, 则A B,s i nA( 第题)( 要点) 在R t A B C中,C ,A B,B C, 则s i nA,t a nA,c o sA综合应用 ( 要点) 在R t A B C中,C ,A B ,s i nA , 则A C,B C( 要点) 在平面直角坐标系中, 已知点A(,) 和点B(,) , 则s i nA O B的值等于( 第题)( 要点,) 如图, 直径为 的A经过点C(,) 和点O(,) ,B是y轴右侧A优弧上一点, 则O B C的余弦值为 ( 要点)
17、 在R t A B C中,C是直角,A、B、C的对边 分 别 是a,b,c, 且a ,c 求s i nA、c o sA、c o sB的值探究创新 ( 要点) 如图() , 某超市从一楼到二楼的电梯A B的长为 米, 坡角B A C为 () 求一楼与二楼之间的高度B C; ( 精确到 米)() 电梯每级的水平级宽均是 米, 如图()小明跨上电梯时, 该电梯以每秒上升级的高度运行, 秒后他上升了多少米? ( 精确到 米)备用数据:s i n ,c o s ,t a n ()()( 第 题) ( 要点) 生活经验表明, 靠墙摆放的梯子, 当 (为梯子与地面所成的角) , 能够使人安全攀爬, 现在有一
18、长为米的梯子A B, 试求能够使人安全攀爬时, 梯子的顶端能达到的最大高度A C( 结果保留两个有效数字,s i n ,s i n ,c o s ,c o s )( 第 题) 答案全析全解A D B C bca,s i nAac ,c o sAbc ,c o sBac ()s i n B A CB CA B,B CA Bs i n 米() t a n 级高级宽,级高级宽t a n 秒钟电梯上升了 级, 小 明 上 升 的 高 度 为 米 由题意知, 当越大, 梯子的顶端达到的最大高度越大因为当 时, 能够使人安全攀爬, 所以当 时,A C最大在R t A B C中,A Bm, ,s i n A
19、 C, 即 A C,解得A C 故梯子 的 顶 端 能 达 到 的 最 大 高 度A C 米迷 你 数 学 世 界三十六军官问题大数学家欧拉曾提出一个问题: 即从不同的个军团各选种不同军衔的名军官共 人, 排成一个行列的方队, 使得各行各列的名军官恰好来自不同的军团而且军衔各不相同, 应如何排这个方队? 如果用(,) 表示来自第一个军团具有第一种军衔的军官, 用(,) 表示来自第一个军团具有第二种军衔的军官, 用(,) 表示来自第六个军团具有第六种军衔的军官, 则欧拉的问题就是如何将这 个数对排成方阵, 使得每行每列的数无论从第一个数看还是从第二个数看, 都恰好是由,组成历史上称这个问题为三十
20、六军官问题三十六军官问题提出后, 很长一段时间没有得到解决, 直到 世纪初才被证明这样的方队是排不起来的尽管很容易将三十六军官问题中的军团数和军衔数推广到一般n的情况, 而相应的满足条件的方队被称为n阶欧拉方欧拉曾猜测: 对任何非负整数t,nt阶欧拉方都不存在t时, 这就是三十六军官问题, 而t时,n , 数学家们构造出了 阶欧拉方, 这说明欧拉的猜想不对直到 年, 数学家们彻底解决了这个问题, 证明了nt(t) 阶欧拉方都是存在的P 练习()C DA B()B CA C()A CC D()ADB CC DB C()s i n ()c o s ()s i n ()c o s P 练习()A B
21、,B C,C ,A Cs i nAB CA B,c o sAA CA B,s i nBA CA B,c o sBB CA B()A C,B C,C ,A B s i nAB CA B ,c o sAA CA B ,s i nBA CA B ,c o sBB CA B 设滑梯高xm, 由题意可知s i n x,x 故滑梯的高度约为 m如图, 可知c o s B CA B A B,A B c o s 故梯子的长约为 m( 第题)P 习题 ()s i n ,c o s ()s i n ,c o s ()s i n ,c o s ()s i n ,c o s ()A C,B C,C ,A B s i
22、nAB CA B ,c o sAA CA B ,s i nBA CA B ,c o sBB CA B ()A B,B C,C ,A C s i nAB CA B,c o sAA CA B,s i nBA CA B,c o sBB CA B()A CB C,C ,c o sAc o s () 当A B时,c o s c o sAA C,A C B CA C t a nAB CA C, 即t a n B C ,B C (m)C DA B,C D(c m) ,A C (c m) ,AD (c m)又A C B ,D C BA又 t a n D C BB DC D,t a nAC DAD,B DC DC DAD, 即B DB D (c m)A BADB D (c m)()s i nAs i n ,c o sAc o s ()s i nAB CA B,s i nA ,A B ,B CA Bs i nA (m)