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1、广东省深圳市罗湖外语学校广东省深圳市罗湖外语学校 林静林静 二次函数的应用一、最大值问题1、最大利润问题；2、最大高度问题；3、最大面积问题。二、需建立坐标系的问题三、二次函数与一元二次方程解：设旅行团人数为解：设旅行团人数为x人人,营业额为营业额为y y元元, ,则则 y y例例1 1：某旅行社组团去外地旅游：某旅行社组团去外地旅游,30,30人起组团人起组团, ,每人单价每人单价800800元元. .旅行社对超过旅行社对超过3030人的团给予优惠人的团给予优惠, ,即旅行团每增即旅行团每增加一人加一人, ,每人的单价就降低每人的单价就降低1010元元. .你能帮助分析一下你能帮助分析一下,
2、 ,当当旅行团的人数是多少时旅行团的人数是多少时, ,旅行社可以获得最大营业额？旅行社可以获得最大营业额？（元）时，当最大值30250y55x30250)55(10110010)30(1080022xxxxx答：当旅行社的人数是答：当旅行社的人数是55人时，旅行社可以获得人时，旅行社可以获得最大的营业额。最大的营业额。1 1、某商场销售某种品牌的纯牛奶、某商场销售某种品牌的纯牛奶, ,已知进价为每箱已知进价为每箱4040元元, , 要求每箱售价在要求每箱售价在4040元元7070元之间元之间. .市场调查发现市场调查发现: :若每箱若每箱按按5050元销售元销售, ,平均每天可售出平均每天可售
3、出9090箱箱, ,价格每降低价格每降低1 1元元, ,平均平均每天多销售每天多销售3 3箱箱; ;价格每升高价格每升高1 1元元, ,平均每天少销售平均每天少销售3 3箱箱. .(1)(1)写出售价写出售价x(x(元元/ /箱箱) )与每天所得利润与每天所得利润w(w(元元) )之间的函数之间的函数关系式关系式; ;(2)(2)每箱定价多少元时每箱定价多少元时, ,才能使平均每天的利润最大才能使平均每天的利润最大? ?最最大利润是多少大利润是多少? ?自我检测自我检测方法方法1 1:(:(公式法公式法) )根据题意根据题意,h=-5t,h=-5t2 2+v+v0 0t t顶点的纵坐标为顶点的
4、纵坐标为15 .15 .例例2 2：竖直向上发射物体的高度：竖直向上发射物体的高度h(mh(m) )满足关系式满足关系式h=-5th=-5t2 2+v+v0 0t t，其，其中中t(s)t(s)是物体运动的时间是物体运动的时间,v,v0 0(m/s)(m/s)是物体被发射时的速度是物体被发射时的速度. .某公某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m,15m,那么喷水那么喷水的速度应该达到多少？的速度应该达到多少？( (结果精确到结果精确到0.01m/s).0.01m/s).)/(32.17310.155415440202smvvabac得由
5、答：喷水的速度应该达到答：喷水的速度应该达到17.32m/s.例例2 2：竖直向上发射物体的高度：竖直向上发射物体的高度h(mh(m) )满足关系式满足关系式h=-5th=-5t2 2+v+v0 0t t，其，其中中t(s)t(s)是物体运动的时间是物体运动的时间,v,v0 0(m/s)(m/s)是物体被发射时的速度是物体被发射时的速度. .某公某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m,15m,那么喷水那么喷水的速度应该达到多少？的速度应该达到多少？( (结果精确到结果精确到0.01m/s).0.01m/s).方法方法2 2:(:(用顶点式
6、用顶点式) )根据题意根据题意,h=-5t,h=-5t2 2+v+v0 0t t顶点的纵坐标为顶点的纵坐标为15.15.)/(32.1731015202010552022002smvvvvttvty得：由方法方法1：解解:如图如图,设矩形的一边设矩形的一边AB=x m,那么那么另一边另一边BC=(15-x) m,面积为面积为S m2 2,则则例例3 3：如图：如图, ,假设篱笆假设篱笆( (虚线部分虚线部分) )的长度是的长度是15m,15m,如何围篱笆如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大才能使其所围成矩形的面积最大? ?B BD DA AC C)(25.56422544y)(5 . 721
7、52bx0115)15(222cmabaccmaaxxxS时当最大值最大面积问题最大面积问题方法方法2：解解:如图如图,设矩形的一边设矩形的一边AB=x m,那那么另一边么另一边BC=(15-x) m,面积为面积为S m2 2,则则例例3 3：如图：如图, ,假设篱笆假设篱笆( (虚线部分虚线部分) )的长度是的长度是15m,15m,如何围篱笆如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大才能使其所围成矩形的面积最大? ?B BD DA AC C)(25.56y)(5 . 7x0125.56)5 . 7(15)15(222cmcmaxxxxS最大值时当例例4.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长小明
8、的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。花圃的宽米宽的门（木质）。花圃的宽AD究究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？竟应为多少米才能使花圃的面积最大？解：设解：设AD=x,则则AB=32-4x+3=35
9、-4x 从而从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x AB10 6.25x S=-4x2+34x，对称轴，对称轴x=4.25,开口朝下开口朝下 当当x4.25时时S随随x的增大而减小的增大而减小 故当故当x=6.25时，时，S取最大值取最大值56.25 BDAHEGFC例例5： 如图，一位运动员在距篮下如图，一位运动员在距篮下4m处处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高时，球达到最大高度度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能投中？问
10、球出手时离地面多高时才能投中？ 球的出手点球的出手点A的横坐标为的横坐标为-2.5，将，将x=-2.5代入抛物线表达式得代入抛物线表达式得y=2.25,即当出手高即当出手高度为度为2.25m时，才能投中时，才能投中。y2.5m4m3.05ABCO3.5解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最 高点和球篮的坐标分别为高点和球篮的坐标分别为B(0,3.5),C(1.5,3.05).3.5=c3.05=1.52a+c 设所求的二次函数的表达式为设所求的二次函数的表达式为y=ax2+c. 将点将点B和点和点C的坐标代入，得的坐标代入，得 解得解得a= -02c= 3
11、.5该抛物线的表达式为该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5此类问题需建立此类问题需建立坐标系坐标系解解:建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系例例6 6：一座抛物线型拱桥如图所示：一座抛物线型拱桥如图所示, ,桥下水面宽度是桥下水面宽度是4m,4m,拱高是拱高是2m.2m.当水面下降当水面下降1m1m后后, ,水面的宽度是多少水面的宽度是多少?(?(结果精结果精确到确到0.1m).0.1m).A(2,-2)B(X,-3)(9 . 4626213321:3xB2, 2A222mxxyxyaxy水面的宽时，得当所以可得函数表达式为），点坐标为（），点坐标为（则有则可设抛物线表达式为二次函数
12、与一元二次方程二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况: :有两个交点有两个交点, ,有一个交点有一个交点, ,没有交点没有交点. .当二次函数当二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴有交轴有交点时点时, ,交点的横坐标就是当交点的横坐标就是当y=0y=0时自变量时自变量x x的值的值, ,即一元二次方程即一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根. .二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴的交点轴的交点一元二次方程一元二次
13、方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判别式根的判别式=b=b2 2-4ac-4ac有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根b b2 2-4ac-4ac 0 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b b2 2-4ac = 0-4ac = 0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0二次函数二次函数 何何时为一元二次方程时为一元二次方程?它们的关它们的关系如何系如何?当当y取定值时，二次函数即是取定值时，二次函数即是一元二次方程。一元二次方程。思
14、考与复习思考与复习cbxaxy2例7：一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式 来表示。其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，图象如图所示：（1）当t1和t2时，足球的高度分别是多少？（2）方程 的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来吗？（3）方程 的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来吗？30252015105-5-10-15-20-25-30-40-30-20-101020304050tth6 .199 . 4206 .199 . 42tt7 .146 .199 . 42tt解：（1）当t1时，即当t1时，足球距离地面的高度是14.7m。当t2时，即当t2时，足球距离地面的高度是19.6m。7 .141119.64.9h26 .192219.64.9h2（2）是足球离开地面及落地的时间。（3）是足球高度是14.7m时的时间。课堂小结：课堂小结：1.理解问题理解问题;2.分析问题中的变量和常量分析问题中的变量和常量,以及它们之以及它们之间的关系间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解做数学求解;5.检验结果的合理性检验结果的合理性,拓展等拓展等.作业：课本复习题A组第5，6，7题；B组第5，6题.