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1、第 36 卷 第 1 期 吉 林 大 学 学 报 （ 信 息 科 学 版） Vol 36 No 1 2018 年 1 月 Journal of Jilin University （ Information Science Edition） Jan 2018 文章编号 ： 1671-5896（ 2018） 01-0034-07 一 类 分 数 阶 超 混 沌 系 统 的 自 适应 有 限 时 间 控 制 邵克勇 ，韩 峰 ，郭浩轩 （ 东北石油大学 电气信息工程学院 ，黑龙江 大庆 163318 ） 摘要 ： 为实现带有不确定参数的分数阶超混沌 Lorenz 系统的自适应有限时 间控制 ，采用分
2、数阶微积分的相关引 理及有限时间 Lyapunov 原理，设计了一个自适应有限时间控 制器。该方法 将整数阶 混沌系 统的有 限时间控 制 方法拓展到阶次小于 1 的分数 阶混沌 系统，数 值仿 真验证 了该 控制器 的准 确性及 有效 性。该方 法简 单有效， 可使系统的状态变量在有限时间 内收敛到平衡点，收敛速度较快，具有良好的鲁棒性能。 关键词： 分数阶超混沌系统； 自 适应； 有限时间； 参数不确定 中图分类号： TH865 文献标识码： A DOI:10.19292/ki.jdxxp.2018.01.006 Adaptive Finite Time Control for a Cla
3、ss of Fractional Hyperchaotic Systems Abstract： SHAO Keyong， HAN Feng， GUO Haoxuan （ School of Electrical Engineering Information， Northeast Petroleum University， Daqing 163318 ， China） To solve the adaptive finite-time control problem for fractional order hyperchaotic Lorenz systems with uncertain
4、parameters ， based on the related lemmas of fractional calculus and the finite-time Lyapunov principle， an adaptive finite time controller is designed to guarantee the systems adaptive finite-time stability The accuracy and effectiveness of the proposed controller are verified by numerical simulatio
5、ns The method is simple and effective， which can make the state variables of the system converge to the equilibrium point in a finite time The convergence speed is fast and the robust performance is good Key words ： fractional-order hyperchaotic system； adaptation； finite time； parameters uncertaint
6、y 0 引 言 分数阶微积分已有超过三百多年的历史。近几十年，分数阶微分方程已被证实比传统的整数阶方程 更加可行 ，因此，分数阶微积分已成为工程、数学和物理等科学领域中非常重要的一部分。在许多实 际 系统中，分数阶混沌可能会导致系统的振荡或不规则运动。因此，为消除混沌行为，混沌控制已成为 非线性控制领域的重要问题。目前许多控制方法已成功运用到分数阶系统中，如主动控制 、 T-S 模糊 控制 和滑模控制等 。滑模控制是一种简单有效的控制方法，因其具有较强的鲁棒性和抗干扰能力 而被广泛关注 。 许多研究学者采用混沌控制消除混沌，通常他们多是考虑系统的渐近稳定，然而有限时间稳定可能 在某些实际情况下
7、更有意义。 20 世纪 50 年代， Kamenkov 首次提出了有限时间稳定的概念。有限时间 稳定 系统不仅有更快的收敛速度，而且有更好的鲁棒性和抗干扰性能 。 Amato 和 Garcia 研究了 连续时间系统和离散时间系统的有限时间稳定问题。文献 14， 15将有限时间的一些结果拓展到线性、 连续系统中。 Wang 等 解决了超混沌系统的有限时间控制问题。然而，这些研究主要是针对于整数阶 收稿日期： 2017-10 -13 基金项目： 国家自然科学基金资助项目（ 51404073） 作者简介： 邵克勇（ 1970 ） ，男，河南淮阳人，东北石油大学教授，硕士生导师，主要 从事分数阶混 沌
8、 系统的理论研究，（ Tel） 86- 13945931672（ E-mail） shaokeyongauto163 com。 1-4 5 6 7， 8 9 10 11 12 13 16 第 1 期 ， 邵 克勇，等： 一类分数阶超混沌系统的自适应有限时间控制 。 35 系统 而对分数阶系统有限时间控制研究的结果还很少 ， 笔者针对不确定参数的分数阶超混沌系统的有 ， 限时间稳定问题 通过构造全新的李雅普诺夫函数并设计自适应有限时间控制器 实现了系统的自适应 有限时间稳定。该方法简单有效，可使系统的状态变量在有限时间内收敛到平衡点，具有良好的鲁棒性 能，并通过数值仿真验证了该方法的准确性及有效
9、性。 1 分 数阶 微 积分 基 本理 论 定义 1 连续函数 f（ t） 的 阶 Caputo 分数阶导数定义为 （ n ） （ t ） 其中 n 是整数， 为分 数阶系统的阶次，满足 n 1 n， （ ） 是 Gamma 函数。 定义 2 Gamma 函数定义 a 考虑如下非线性分数阶混沌系统 0 0 0 0 0 0 上满足局部 Lipschitz 条件， 是 n 维欧氏空间。同时， 是一个包含原点 x = 0 的区域。假设对 0 0 0 0 0 的空间。 0 t 0 t 0， + ） 上单调增加 。 引理 2 x = 0 是系统（ 1） 的平衡点，并且 D 是一个包含原点的区域，且 D
10、。若存在 Lyapunov 函数 V（ t， x（ t ） ） ，且 V（ t， x（ t） ） ： 0， D 是连续可导函数，并且关于 x 满足局部 Lipschitz 条件， 是 实数集，使 1 2 0 t 3 其中 t0， x D， （ 0， 1） ， i （ i = 1， 2， 3） ， a 和 b 都是任意正的常数，则系统（ 1） 是 Mittag-Leffler 稳定 的。若在 上亦满足式（ 2） 和式（ 3） ，则系统（ 1） 是全局 Mittag-Leffler 稳定的 。 引理 3 Mittag-Leffler 稳定和全局 Mittag-Leffler 稳定表明系统渐近稳定
11、。 0 0 的系统（ 1） 的 0 解是稳定的。此外，当 t ，有 x（ t） 0，则系统（ 1） 的 0 解是渐近稳定的 。 引理 4 若 x（ t） 是连续可导函数。则对任意时间常数 t 0，有 2 引理 5 Jensen 不等式 2 1 i i = 1 引理 若 是分数阶系统 的平衡点 是一个包含原点的区域 若存在 函数 V（ t， x（ t） ） ： 0， D 是连续可导函数，且关于 x 满足局部 Lipschitz 条件，使 1） 1 x V （ t， x （ t ） ） 2 x ； 2 ） kV （ t， x （ t ） ） 3 x ； 3 ） 0 Dt V（ t， x（ t） ）
12、 3 x 。 其中 （ 0， 1） ， i （ i = 1， 2， 3） ， a， b， k 和 都是任意的正常数，且 1，则系统（ 1） 是有限时间稳定的， 17 t n 1 f （ ） D f（ t） = d 0 a t 18 t z 1 （ z） = e t dt z C C D x（ t） = f（ t， x（ t） ） （ 1） n （0， 1） ， x（ t ） = x ， t 0， f： t ， t ， t ， n n 1 1 x（ t ） =x （ 1） x（ t） C （ t ， ） ， C （ t ， ） （ t ， ） C C 1 D x（ t） 0， x（ t ） 0，
13、 + ） ； ， D x （ t ） 0， x （ t） 19 n a ab x V（ t， x（ t） ） x （ 2） C ab D V（t， x（ t） ） x （ 3） n 20 20 3 21 n 21 1 D x（ t） x（ t） D x（ t ） （ 0， 1） S （ x） S （ x） 0 c c n 1 /c c 成立 其中 （ x ） 并且 n 珓 a ab 1 / ab C ab 36 且系统 （ 1） 的稳定时间满足 T 吉 林 大 学 学 报（ 信 息 科 学 版） k（ 1） 第 36 卷 （ 4） 由引理 6 中的条件 1） 和 3） 可知，系统 （ 1） 是
14、 Mittag-Leffer 稳定的。 通过引理 3 可知 ，系统 （ 1） 是渐近 。 2） ： C D V（ t， x（ t） ） kV 1 / （ t， x（ t） ） 。 ， （ 1） Mittag-Leffer 稳定的 C 结合条件 可得 1 / 0 t 因此 只要系统 是 稳定并 满足 0 D 2 t V（ t， x（ t） ） kV （ t， x（ t） ） ， 则系统（ 1） 即为有限时间稳定的。 自 适应 有 限时 间 控制 考虑分数阶超混沌 Lorenz 系统 a a 0 0 x 4 C D x（ t） = Ax + f（ x） + u = c 0 0 0 x2 + x 2
15、 x1 x3 + u （ 5） 0 0 0 0 b 0 0 d x3 x1 x 2 x = x ， x ， x ， x ， u = u ， u ， u ， u x4 x2 x3 ， f（ x） ， A 其中 1 2 3 4 是系统的状态变量 1 2 3 4 是待设计控制器 是非线性部分 是带有未知参数 a， b， c 和 d 的系数矩阵。由式（ 5） 可见， x = 0 是系统（ 5） 的平衡点。 当不考虑控制器 u 时，系统具有分数阶 超混沌 Lorenz 系统结构。通过对分数阶超混沌系统的离散化 及 Matlab 编程计算，对 4 个参数、分数阶阶次 及初值变化取值并进行大量计算得到，当参
16、数 a = 10， b = 8 /3， c = 28， d = 1， 0 9 1 时，系统处于超混沌状态。选取如上参数并取 = 0 9，任选初值 x1 （ 0） = x2 （ 0） = x3 （ 0） = x4 （ 0） = 0 1时，分数阶超混沌 Lorenz 系统的相图如图 1 所示。 图 1 阶次为 09 时分数阶超混沌 Lorenz 系统的相图 定理 1 Fig1 系统 Phase diagram of fractional order hyperchaotic Lorenz system with order 0 9 （ 5） 在控制器 4 4 1 20 1 / （ +1） V （0
17、， x ） x T T u = （ x x ） a k sign（ x ） 1 1 2 1 1 4 4 4 （6） 作用下是自适应有限时间稳定的。其中 k i 0（ i = 1， 2， 3， 4） ， a， b， c， d 分别为 a， b， c， d 的估计值。参数自 第 1 期 适应率设计如下 邵 克 勇，等： 一类分数阶超混沌系统的自适应有限时间控制 D a = x1 x2 x1 3 D d = x4 37 （ 7） 珘 珓 珓 珘 其中不确定参数的估计误差为 a = a a， b = b b， c = c c， d = d d。 证明 选取 Lyapunov 函数 2 2 2 2 i
18、=1 2 2 2 2 2 由引理 4 可知 C C C C C d D V1 x 1 D x 1 + x 2 D x 2 + x 3 D x 3 + x 4 D x4 = x1 （ ax C 1 + ax 2 + x C 4 + u1 ） C + x2 （ cx C 1 x1 x C 3 x 2 + u2 ） C + x3 （ C bx 3 + x1 x2 C + u3 ） + x4 （ dx 4 x2 x3 C + u4 ） 珘 珓 珓 珘 考 虑到 D a = D a， D b = D b， D c = D c， D d = D d，将 式 （ 7） 代 入， 有 D V 1 2 珘 珓
19、2 珓 珘 2 1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 2 （ x1 x 2 x1 ） a bx 3 + x1 x2 c + dx 4 k 1 x 1 k 2 x2 k 3 x 3 k 4 x4 2 C D V（ X，t） = C D V1 + C D 1 2 a + C D 1 2 b + C D 1 2 c + C D 1 2 d C C C 珓 珓 C 珓 C 珘 C 珘 珓 珓 珘 D V 1 + a D a + bD C b + c D c + d D d 2 D 2 V 1 aD a bD 2 b cD c dD d 珘 珓 珓 珘 D V 1 + 1 （ x1 x 2 x
20、1 ） a + bx 1 + 3 cx1 x 1+ 2 dx4 = 1 + 2 k1 x 1 1 k C 2 x 2 2 k 3 x3 3 k4 x 4 4 x 2 由于 k C i 0（ i = 1， 2， 3， 4） ，故可得 D V（ X，t） 0。 C 2 因 D V（ X，t） 0，即负定，所以一定存在 C 3 0，使 D V （ X， t ） 3 X 。故由引理 2 可知， （ 5） Mittage-Leffler 。 D V（ X， t） ， lim x = 0， ， 系统 是 C 稳定 由 的负定性可知 t 因此 该控制器保证系统的解是全 局有界的。由于 D V（ X，t） 0
21、，由引理 2 1， V （ X，t ） 2 关于时间 2 2 t 是单调递减的，因此 2 V（ X，t） 2 2 V（ X， 0） ，且 2 V（ X， t） 0， 0 是下界。同时也可得 a （ t） C 2 珘 珓 2 珓 + b （ t） 珘 2 + c （ t） 1+1 + d （ t） 2V（ X， 0） 。当 x1 1+2 1+3 + x2 + x 3 + x4 1 时，有 4 D V1 （ x1 x 2 2 x1 ） a bx 2 3 + x1 x2 c + dx 4 k1 2 x 1 1+ k 2 x 2 1+ k 3 x 3 1+ k 4 x 4 1+ x 2 2 3 x1
22、x2 2 x 1 1 2 a珘 + b珓x 3 2 + x1x2 1 2 珓 c + 1 2 d珘x 4 k 1 x 2 1 1 k 2 x 2 2 k 3 x 3 3 k 4 x 4 4 x 2 （ 2 x1 + 2 x2） a珘+ 3 + （ 2 x 1 + 2 x2 ） c珓+ 4 k 1 x1 1 + 1 k 2 x2 1 + 2 k3 x3 1 + 3 k4 x4 1 + 4 （ 3 2 珘 a + 1 2 1 + （ a珘 + 1 2 珓c ） x 2 2 + 3 + 珘d x 2 4 k 1 x 1 1 +1 k 2 x 2 1 +2 k 3 x3 1 + 3 k 4 x4 1
23、+ 4 C 2 C 2 C c = x x C 2 1 1 1 1 珘 珓 珓 1 4 1 1 1 1 1 其中V = x = x + x + x + x 。 2 x 。 2 2 2 2 2 珓 x 珘 x 2 珓） x 2 珓 x 2 槡 V（ X，0） x1 + 1+1 槡 2 5V（ X，0） x 1+2 2 2 + 槡 2V（ X，0） x 1+3 2 3 + 槡 2V（ X，0） x4 1+4 2 k 1 2 x 1 2 k 2 2 x 2 k 1 +1 3 x 3 k 1 +2 4 x 4 1 +3 1 + 4 2 槡 V（ X，0） （ x 1 + x 2 + x 3 + x4）
24、 k 1 x1 k2 x2 k3 4 x3 1+max k4 ，1 x4 i 4 珋 2 槡 V（ X， 0） （ x1 + x2 珔 + x3 + x4 ） min ki， 1 i 4 k =1 x 4 k 2 i k = min k ， 1 i 4 ， = max ， 1 i 4 。 5， x 1， 定义 C D V i 2 V（ X，0） 4 2 i k珋 4 1 +珔 由引理 2 V（ X，0） 当 k =1 4 2 k k珋 有 4 2 （ 1 +） /2珔 4 1 槡 k =1 x k 珔 k =1 x k 槡 k =1 xk k =1 xk 则当 k =1 xk min 2 k珋
25、 槡 V（ X，0） 2 /（ 1 ） ， 0 时，可得 C D V 1 k = 1 xk （ 1+） /2珔 = 1 （ 1 +） /2 。 令 = 2 / （ 1 + 则 C D V 1 1 1 / 。 4 2 k珋 因 此， 若 初 始 条 件 x（ 0） ， a（ 0） ， b（ 0） ， c（ 0） ，d（ 0） = k =1 x k min 1， 2 槡 V（ X ，0） ， 2 2 2 2 2 2 2 1， 珋 4 2 珋 珔 珋 38 C 吉 林 大 学 学 报（ 信 息 科 学 版） 第 36 卷 D V 0， （ x（ t） ， a（ t） ， b（ t） ，c （ t）
26、， d（ t ） ） 。 ， （ x（ 0） ， a（ 0） ， b（ 0） ， 则由于 有 C 珋 因 此 对于任意初始 条件 c （ 0） ， d（ 0 ） ） ， D V 1 1 。 由 引理 6，系统 （ 5） 的原 点是 局部 有限 时 间收 敛 的。 由于全局渐近稳定意味着系统的任何解都会在有限时间内 进入包含原点的邻域内，所以全局渐近稳定 和局部有限时间收敛意味着全局有限时间收敛。因此，闭环系统（ 5） 是全局自适应有限时间收敛的。 3 数 值仿 真 为证实带有未知参数的分数阶超混沌 Lorenz 系统的自适应有限时间控制器（ 6） 及自适应控制率（ 7） 的准确性，对其进行数值
27、仿真，仿真结果如图 2 和图 3 所 示。系 统 的 仿 真 时 间 为 10 s，分 数 阶 超 混 沌 Lorenz 系统（ 5） 的参数值选取如 下： a = 10， b = 8 /3， c = 28， d = 1， = 0 9； 任选初始条 件为： x （ 0） = 根据 1 2 3 4 （ 参数可以不同） ， 1 = 2 = 3 = 4 = 0 5，即 = 4 /3。 k（ 1） O（ 0， 0， 0， 0） ，收敛速度很快，同时实现了未知参数的 辨识。 图 3 估计参数随时间变化图 Fig3 为分析该控制方法的鲁棒性 C The time variations of the est
28、imated parameters ，给出扰动模型 a D a x（ t） 0 = Ax + f（ x） + u x 4 = d1 （ t） c 0 0 0 x2 + x 2 x1 x3 d2 （ t ） + u 0 0 0 0 b 0 0 d x3 x1 x 2 d3 （ t ） x4 x2 x3 d4 （ t ） 其中 di （ t） 件： x（ 0） = 0 5 sin（ 10xi） ， i = 1， 2， 3， 4。任选初始条 c（ 0） = d（ 0） = 0。为 方便 计 算，选 取参 数 k 1 = k2 = 珔 k （ 2V ） 1， ， k = k = k = k = 6 1
29、 / （ +1） （ 1） / V （ 0， x ） 图 2 分数阶超混沌 Lorenz 系统 的状态变量随时间变化图 由图2 和图 3 可见，系统在 3 s 内便可消除混沌， Fig 2 The state variables of the fractional-order 并使系统的 状态 变 量在 有限 时 间内 稳 定 到平 衡 点 hyperchaotic Lorenz systems x 0 图 4 带扰动分数阶超混沌 Lorenz 系统 k 3 = k4 1 （ + 1） = 2 = 3 = 4 = 0 6，即 1 / = 1 25。稳定 的状态 变量随时间变化图 时间 k（ 1
30、） V （ 1） / （ 0，x0 ） = 2 87 s。仿真结果 Fig 4 The state variables of disturbed fractional order hyperchaotic Lorenz systems 如图 4 和图 5 所示。 = 8， 第 1 期 邵 克勇，等： 一类分数阶超混沌系统的自适应有限时间控制 39 图 5 带扰动系统的估计参数随时间变化图 4 结 Fig 5 语 The time variations of the estimated parameters of the disturbed systems 笔者基于分数阶微积分引理及有限时间 L
31、yapunov 原理，通过设计控制器及自适应法则实现了带有未 知参数的分数阶超混沌 Lorenz 系统的有限时间控制问题。该方法简单有效，可使系统 的状态变量在有限 时间内收敛到平衡 点，收敛速度较 快，具有良好的鲁 棒性能。数值仿真 验证了该 控制的有 效性及准 确性。 参考文献： 1 MOHAMMAD POUMAHMOOD AGHABABA Fractional Modeling and Control of a Complex Nonlinear Energy Supply- Demand System J Complexity， 2015， 20（ 6） ： 74-86 2 PODLU
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