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1、第 46 卷 第 1 期 福州大学学报（ 自然科学版 ） Vol 46 No 1 2018 年 2 月 DOI： 10 7631/ issn 10002243 16395 Journal of Fuzhou University（ Natural Science Edition） 文章编号 Feb 2018 ： 1000 2243（ 2018） 01 003206 随 机参 考 点 下带 有 最小 收 益 约束 的 投资 组 合 胡双霞，王晶海 （ 福州大学数学与计算机科学学院，福建 福州 350116） 摘要： 在完 全市场下，考虑基于随机参考点的带有下限约束的证券组合 投资问题 利 用等量
2、代换 ，将随 机参考 点等价转化为另一损失厌恶水平下的固定参考点 ，进 而应用 鞅方法求 解固定 参考点 下的模 型，给 出损失 厌恶 投资者的最优财富过程和最优投资策略的解析表达式 关键词： 随机参考点； 下限约束； 等量代换； 鞅方法； 损失厌恶 中图分类号： F830 文献标识码： A Optimal investment with minimum performance constraints under dynamic reference point HU Shuangxia， WANG Jinghai （ College of Mathematics and Computer Sc
3、ience， Fuzhou University， Fuzhou， Fujian 350116， China） Abstract： This paper analyzes the optimal investment strategy with minimum performance constraints based on dynamic reference point in a complete market The random reference point is equivalent to another loss averse level under the fixed refer
4、ence point by using equivalent transformation Then， by applying the martingale method， we derive the analytical expression of optimal risky asset weight， based on which we obtain the expected optimal terminal wealth of loss aversion investors whose refer- ence point is dynamically adjusted Keywords
5、： dynamic reference point； minimum revenue constraint； equivalent substitution； martingale method； loss aversion 0 引言 金融市场内解决连续时间组合投资选择问题的方法中，期望效用最大化倍受青睐 以公理体系为基准 的期望效用理论已不能反映人们对盈利和损失的直观感受，而运用前景理论的知识 ，借助参考点来定 义盈利和亏损，更能直观反映期末财富相对参考点的变化 同时，可以借助损失厌恶效用函数图像参考点 左侧的斜率大于右侧的斜率判定出投资者是损失厌恶型的，即投资者表现出对损失比对盈利更为敏感
6、 虽然许多学者对前景理论下恒定参考点的证券组合投资问题研究颇多 ，但他们对投资组合问题的研 究都是基于恒定的 参考点，已不能满足投资者的投资理论需求 近年来，市场的不确定性越来越引起人们 的重视，考虑不确定性对投资者投资决策的影响相当重要 Baeberis 等 和 Zhang 等 均指出投资者当前 阶段的参考水平受前一阶段的损益影响，进而对其投资决策产生影响 Berkelaar 等 指出市场具有随机 不确定性，投资者用于权衡损益的参考点会随时间和财富状况的变动而变化 因此，研究随机参考点下的 投资组合问题与金融市场更贴近，研究随机参考点下的损失厌恶效用更能反映投资者的心理特征 本研究 提出的考
7、 虑随机参考点下带有最小收益约束的投资组合问题具有理论价值，并且更接近实际金融市场， 可为投资者提供一定的理论参考 1 模型假设 1 N 收稿日期： 2016 10 27 通讯作者： 王晶海（ 1966） ，教授，主要从事非线性分析，应用概率统计等研究， 2681111 qq com 基金项目： 福建省自然科学基金资助项目（ 2014J01008） 1 2 3 1 3 8 T = 1 ， ： 33 第 期 胡双霞 等 随机参考点下带有最小收益约束的投资组合 备概率空间 （ ， F， P， Ft 0tT ） 上的 N 维标准布朗运动，其中 Ft 0tT 是由（ W1（ t） ， ，WN（ t ）
8、 ） 产生 0， T ， N + 1 ， ， t 的信息流 内 假设金融市场中有 种可连续交易的资产 其中一种为无风险资产 其 时刻的 价格记为 B（ t） ，并且 B（ t ） 满足以下微分方程： dB（ t） = B（ t） r（ t ） dt T （ B（ 0） + 0， t 0， T） （ 1） 其中： r（ t） = 是 F t 循序可测的过程，且 0 r（ t ） dt 其余的 N 个资产是风险资产，并且价格过程 Si（ t） ，i 1， ， N 满足下列随机微分方程： N i i i j= 1 T ij（ t ） dW j（ t） （t 0， T， Si（ 0） 0） （ 2）
9、其中： （ ） = （ 1 （ ） ， ， N （ ） ） 和 （ ） = （ ij（） N N 分别为实值 F t 循序可测的漂移系数向量和波 动率矩阵 假定 = （ t） = （ 1 （ t） ， ， N （ t ） ） T 为自融资策略，且 （ t） 是 N 上 Ft 循序可测的 其中 i （ t） ， i 1， ， N 表示投资者的总财富在 t 时刻分配在第 i 个资产上的份额 这里假定投资者的最初财富为 x 0 0， 则相应的财富过程 X（t ） = 满足如下随机微分方程： + T + T dX（ t ） ： I = （ 1， 1， ，1） r（ t） X（ t ） ， t 0， T
10、 （ （ t） X（ 0） r（ t） I） = x （ t） dt （ t） （ t） dW（ t） （ 3） 其中 且 0 本研究反映投资者为损失厌恶型的效用函数： 2 （x （x 0） 0） （ 4） 1 + 表示严格增二阶可微凹函数，并且 = u1（ 0） = 0， u（ 0 +） = + ， u（ + ） = 0； u2（ 0） = 0， u（ 0 ） = ， u2 （ ） 0 同时，通过 u2（ ） 在零点附近的斜率大于 u1（ ） 在零点附近的斜率可知，损失所带来 的心理感受大于同等程度盈利所带来的感受 假定投资者的期末财富 X（ T） FT，记 X = X（ T） ，可得投资者
11、的目标函数为： V（ X） 其中， 表示参考点，满足： = Eu（ X ） = E u1（ X ） I X + u2（ X ） I X （ 5） 则： d（ t） = （ 1 ） （ 0） r（ 0） dt + dX（ t） （ 0 1） （ 6） （ T） = （ 0） + （ X（ T） X（ 0） ） + （ 1 ） （ 0） r（ 0） T （ 0 1） （ 7） 其中： 初始参考点 （ 0） 、初始财富 X（ 0） ， 以及初始无风险利率 r（ 0） 三者均为常数； ， 为参考点受财富影响 1， 的系数 由于存在 风险资产 资产的变动幅度大于无风险资产的收益幅度 从而 越接近于 参考
12、点的 变动幅度越大， 越接近于 0，参考点的变动幅度越小 2 模型建立 证 券投 资组合问题转化为下面问题的解： ma dS （ t） = S （ t） （ t） dt + T u （ x） = ： u （ x） x V（ X） （ t） X（ t） X， 0， T T （ t） dt + （ t ） T （ t） dW（ t） （ 8） 其中： X 是给定的常数，且满足 0 X ， X（ t） ， X， 0， T表示在整个投资期不破产，相应的投 ： 资策略是可行的 dQ 完全市场中 1 存在唯一的状态价格密度函数 0 2 T Z（ t） 1 其中 ： Z（ t ） = dP F t 2 0
13、k（ s） ds 0 k（ s） dW（ s） ， Q 是等价鞅测度，且 k（ t） = （ t） （ （ t） r（ t） I） 表示风险的市场价格 为便于书写，记 = = （ T） T 状态价格密度的微分形式： = d（ t） （ t） （ r（ t） dt k（ t） dW（ t） ） （ （ 0） 1） （ 9） http： / / xbzrb fzu edu cn t （t） = exp r（ s） ds t t = exp 34 = 福州大学学报（ 自然科学版 ） 第 46 卷 状态价格密度 9 （ T） 和 （ t） 的商服从对数正态分布，可得其均值和方差分别为： （ t） 2
14、Var （ ln ln （ t） ） = k （ T t ） （ 10） （ 11） 利用鞅方法 将问题（ 8） 转化为静态优化问题： max V（ X） ， （ t） st E（ X） X X = X 0 （12） 如果能够求出问题 最优投资策略 （ t） 3 模型求解 （ 12） 的最优解 X * ，则可利用鞅的性质通过对 X * 的复制得到任意 10 t 时刻的最优财富及 研究 Tversky = 和 Kahneman 提出的基于前景理论下的 （ x） S 型效用函数 （ x 0） （ x 0） ： （ 13） 其中 ： 0 1， 1， 为损失厌恶系数 则损失厌恶投资者的效用函数为： u
15、（ X（ T） ） = （ X（ T） （ T） ） （ X（ T） （ T） 0） （ 14） （ （ T） X（ T） ） （ X（ T） （ T） 0） 为了解决投资组合问题中带有随机参考点 （ T） 的情形，利用等价转化的思想，将其转化为固定参考 点下的证券组合投资问题 将式（ 7） 中的 （ T） 代入式（ 14） 中，可以得到新的效用函数： T T 其中： T T 者的期末财富效用 因此，解决损失厌恶系数为 的随机参考点下的效用函数为（ 14） 式的投资组合问题， T 任意的（ t， y） 0， T （ 0， + ） 及任意 c，有： U（ t ， I（ t， y） ） U（ t，
16、 c） + y（ I（ t， y） c） 定理 1 最小收益约束下的损失厌恶投资者的最优期末财富为： X （ （ y， X） ） y 1 1 1 T 2 T 证明 先考虑下面的最大化问题： XX T 2 T 2 2 T 1 + 2 * x = * * （ 1 ） （ X（ T） （ ） ） （ X（ T） （ ） 0） T T u（ X（ T） （ ） ） = （15） T （ 1 ） （ （ ） X（ T） ） （ X（T） （ ） 0） 1 = + T * （ ） ， （ 0） ， X（ 0） ， r（ 0） T （ 15） （ 6） （ ） ， （ 1 ） * 11 + * 1 * +
17、T 1 = * 1 = + = = T 0 0 a ， （y， X） = ， a = a（ X） 0 ： 1 1 * * = + = * * = T * * * * * = 2 若 T 又 1 T 是凸函数 则最优解 1 存在且唯一 并满 足 条件 http： / /xbzrb fzu edu cn 1 ， ： 35 第 期 * * + 胡双霞 = * 等 随机参考点下带有最小收益约束的投资组合 = = u 1（ X 1 * T （ ） ） = + 0， （ X1 1 X） 0，其中 0 由于 X1 T （ ） 0，所以 0 通过 KKT 条 件解得： X 1 T （ ） （ u1） X *
18、（ y） X ， 需比较两个局部最优解 令： = 1 和 * 2 * 的大小 才能得到整体最优解 * g（ ） = u（ X1 * T * （ ） yX1 * （ u（ X 2 * T （ ） ） * yX 2 ） * u1（ X * 1 T （ ） ） * yX1 （ u2（ X2 T （ ） ） yX2 ） 若 g（ ） 0，则整体最优解是 * * X 1 ，反之是 1 X2 * 首先比较 X 1 = T （ 1 （y ） 和 T （ ） ，由于 ： g1（ ） = u1（ X * 1 * T （ ） ） y X * 1 （ u2 （ X * 2 * T （ ） ） y X * 2 ） =
19、 u1（ （ u1 ） 1 （ y） ） y（ * T （ ） + （ u1 ） 1 （ y） ） u2（ 0） + y * T （ ） u1（ （ u1） 1 （y） ） （ u1 ） 1 （ y） y （ * T （ ） + （ u1 ） 1 （ y） ） + y * T （ ） （ 凹函数的性质 1） * = y（ u1 ） * 1 （ y） y（ * T （ ） + （ u1 ） 1 （ y） ） * * + y * T （ ） = 10 * 因此 X 2 = T （ ） 不可能为最优解 * * 同理，比较 * X 1 * = T * （ ） + （ u1） * （y ） 和 X2 =
20、 X 的大小，由于 ： g2（ ） = u1（ X 1 1 T （ ） ） y X 1 * （ u2（ X 2 1 T （ ） ） y X 2 ） * = u1（ （ u1 ） （ y ） ） y （ T （ ） + （ u ） （y ） ） u2（ X T （ ） ） + y X 1 * 1 （y ） ） （ u ） 1 * （ y ） y （ * T （ ） + （ u ） 1 （ y ） ） u2（ X * T （ ） ） + y X * = y T （ ） u2（ X * T （ ） ） + y X * * 如果 y T （ ） u2（ X T （ ） ） + y X 0，即 y （
21、T （ ） X） u2（ X T （ ） ） ，则 g2（ ） * * * * * * * ） +（ u ） u （ （ u ） 0 又 ，有： g2（ ） = u1（ X * 1 * T （ ） ） X * 1 yX * 1 y X * 1 + yX = y（ X * 1 X） 0 所以 g2（ ） 是单调递减的，且 * g2 （ ） 在 上连续 x + = ，从而可得当 * T （ ） X 时 ，在区间 u2（ X * T （ ） ） ， + 内， g2（ ） 只有一个零点 * = * （ y， X） 因此，当 * （ y，X） 时，最优解为 X y（ = T * （ （ ） ） X） +
22、 （ u ） 1 （ y ） ， X * = X 1 T X * 1 （ 19） 反之最优解为 2 易知 即为问题 X 的最优解 （12） 证毕 ， X ： 下面证明 也是问题 E（ u（ X * 的最优解 T 不妨假设还有另一个满足预算约束的最优解 T 由于 = = E（ u（ X * * T * （ ） ） ） E（ u（ X * T * （ ） ） ） yX0 + yX * 0 + E（ u（ X T （ ） ） ） E（ u（ X T （ ） ） ） yE（ X ） yE（ X） * = E（ u（ X * * T （ ） yX * ） E（ u（ X * T （ ） ） yX） 0
23、显然 X 是问题（ 12） 的最优解 * = * 由以上证明过程知，对固定的 y 0，存在唯一的 2 1 1 T 1 1 * 1 1 （ y， X） ，使得： 2 * * T （ ） ） + yxX = 0 易知 u1（ （ u1 ） （ x） * x（ * T （ ） + （ u ） a （ x） ） u2（ X T （ ） ） + xX = 0 存在唯一解： x = a = a（ X） ，比 较两个等式，可知 = （ y，X） = y 利用 Karatzas 和 Shreve 提供的方法来证明 y 的唯一性 定义如下函数： T 1 （ y） u （ ） ， 0） （ u ） 1 （） +
24、又 1 是定义在 上二阶可微严格凹的增函数 则它的一阶导函数的反函数 1 在 上是单调 http： / / xbzrb fzu edu cn ， lim g （ x） * * * （ ） ） ） * E（ u（ X （ ） ） ） * = + * （ y） = E（ （ （ ） + （ u） 1（ y ） ） I ） （ y + 36 福州大学学报（ * 自然科学版 = ） a a = * 第 46 卷 递减的非负函数 对于任意的 y 1 y2 ，有： （ y1 ， X） y 1 y 2 （ y2 ， X） ， 进而有（ u1） 1（ y1 ） I * （ y1） （ u1） 1（ y2 ）
25、I * （ y2） = 1 = + （ y2 ） ，即 （ y） 是单调递减的 根 据单调性和控制收敛定理知， （ y） + 连续且 lim y + = （ y） y0 + = （ y） 所以，对于给定的 X 0 0，方程 E（ （ T （ ） （ u 1 ） （ y） ） I * （ y） ） X0 存在唯一解 y y（ X0 ） 证毕 定理 2 1） 对于效用函数 （ 15） 下，问题 （ 12） 的 t 时刻的最优财富过程为： 1 * 1 0， lim 1 1 ， ： 37 第 期 胡双霞 等 随机参考点下带有最小 收益约束的投资组合 由于： X * （ t） = （ * T （ ） X
26、） e r（ T t） （ d1（ * ） 1 + （ t ） 1 1 （ 1 ） 1 e （ t） （ d2（ （ t） ） ） k 槡 T t （ d2（ * ） ） （ 22） y （ t） （ t） （ 1） （ t） k 槡 T t 将式（22） 代入式（ 21） 即可得证 证毕 4 具体例子 = = 0 88， = 2 25， k = 0 3， r = 0 04， = 0 1， T = 依据上文分析给出具体效用函数情形 1， t = 0 5， X（ 0） = 1， X = 0 8， （ 0 5） 假定相关参数 = 0 98， * = 1 278 1 则计算可得 为分析参考点变动对投
27、资者投 资策略造成的影响，不妨设参考点受财富影响的系数 分别取 0 2， 0 5 和 0 8，并以此来调整参考点，计算 可得 T 的值分别为 1 04， 2 00， 1 04，则由定理 2 可得，同一损失厌恶水平下不同参考点所对应的最优财 富分别为 1 007、 1 893、 1 002，最优优投资策略分别为 0 587、 1 454， 0 460 通过以上三组数据可以看出： 在一定范围内，随着参考点调整幅度的增大，投资者的最优财富以及分配在风险资产的最优比例也在增 大； 而超出一定范围后，随着参考点调整幅度的增大，投资者的最优财富以及分配在风险资产的最优比例 反而减少，这一结论较为符合损失厌
28、恶投资者的心理特征 5 结语 在损失厌恶投资者的情形下，讨论了完全市场下基于动态参考点的最小收 益约束下的投资组合，并 且得出了损失厌恶效用函数下的最优期末财富和最优投资策略 从最优期末财富可以看出，为尽量避免降 低获利的可能性，投资者的参考点调整幅度不宜过高； 从最优投资策略可以看出，为迎合投资者的损失厌 恶心理，把握参考点的调整幅度，可有效避免投资者最终财富出现重大损失 同时事先设定最小收益约束 下限，无疑为投资者提供又一重安全保障 参考文献： 1 BA BE IS N， HUANG M， SANTOS T P rospect theory and asset prices J The Q
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