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1、高考微点十五导数及其应用牢记概念公式，避免卡壳1.几个常用的基本初等函数的导数公式(1)(sin x)cos x，(cos x)sin x.(2)(ln x)(x0)，(logax)(x0，a0，且a1).(3)(ex)ex，(ax)axln a(a0，且a1).2.导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0).相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0).3.导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0附近“左正右负”f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f(x
2、0)0且f(x)在x0附近“左负右正”f(x)在x0处取极小值.(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”.4.积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质kf(x)dxkf(x)dx.f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.如果出现个别点使f(x)0，不会影响函数f(x)在该区间上的单调性.(2)如果恒有f(x)0，那么函数f(x)在这个区
3、间上是常数函数.2.关于极值、最值的三个结论(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)x3，x0就不是极值点，但f(0)0.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当xx0时，函数取得极值.(3)函数的最值是由极值与端点值比较大小确定的，但开区间上函数的唯一极值就是函数的最值.高效微点训练，完美升级1.(2019武汉调研)函数f(x)x2cos x在区间上取得最大值时，x的值为()A.0 B.C. D.解析令f(x)12sin x0，得x，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以当x时，f(x)取到最大值f.答案B2.已知e为自然对数的底数，曲线yaexx在点
4、(1，ae1)处的切线与直线2exy10平行，则实数a()A. B. C. D.解析yaex1，在点(1，ae1)处的切线的斜率为y|x1ae1，又切线与直线2exy10平行，ae12e，解得a.答案B3.设函数f(x)2(x2x)ln xx22x，则函数f(x)的单调递减区间为()A. B.C.(1，) D.(0，)解析由题意可得f(x)的定义域为(0，)，f(x)2(2x1)ln x2(x2x)2x2(4x2)ln x.由f(x)0，可得(4x2)ln x0，所以或得x，所以h(x)0，故函数yf(x)在区间上是减函数，A项正确.答案A6.(2019南昌调研)已知定义域为R的奇函数f(x)
5、，当x(，0)时，f(x)xf(x)cb B.cbaC.cab D.abc解析设函数F(x)xf(x)，则F(x)是偶函数，当x(，0)时，F(x)f(x)xf(x)F(2)F(1).即acb.答案A7.若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)0，所以x1是函数f(x)的极小值点，则f(x)极小值为f(1)1.答案A8.曲
6、线y(ax1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为2，则a_.解析y(ax1a)ex，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为2，得y|x0(ax1a)ex|x01a2，所以a3.答案39.已知函数f(x)x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是_.解析f(x)x4，由f(x)0，得x1或x3，若f(x)在区间t，t1上不单调，只需1(t，t1)或3(t，t1).因此或解之得0t1或2t3.答案(0，1)(2，3)10.已知函数f(x)x33ax(aR)，函数g(x)ln x，若在区间1，2上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，则实数a的取值范围是_.解析由题意知
7、，3ax2在1，2上恒成立，记h(x)x2，x1，2，则h(x)，又2x310，ln x0，h(x)0，h(x)在1，2上单调递增，h(x)minh(1)1，3a1，即a0，f(x)1.由函数f(x)在定义域上是增函数，得f(x)0，即a2xx2(x1)21(x0).因为(x1)211(当x1时，取等号)，所以a的取值范围是1，).(2)g(x)exex，由(1)得a2时，f(x)x2ln x1，且f(x)在定义域上是增函数，又f(1)0，所以，当x(0，1)时，f(x)0.所以，当x(0，1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值.当a
8、0时，令f(x)0，得exa，即xln a.当x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值.13.已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x
9、)2时，f(x)0.所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增.(2)证明当a时，f(x)ln x1(x0).设g(x)ln x1(x0)，则g(x)(x0).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点.故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.14.(2019郑州调研)已知函数f(x)axln x，其中a为常数.(1)当a1时，求f(x)的单调递增区间；(2)当00，当a1时，f(x)xln x(x0)，f(x)(x0)；当0x0；当x1时，f(x)0)，令f(x)0，解得x；由f(x)0，解得0x；由f(x)0，解得xe.从而f(x)的单调递增区间为，递减区间为，所以，f(x)maxf1ln3.解得ae2.(3)由(1)知当a1时，f(x)maxf(1)1，所以|f(x)|1.令g(x)，则g(x).当0x0；当xe时，g(x)0.从而g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减.所以g(x)maxg(e)g(x)，即|f(x)|，所以，方程|f(x)|没有实数根.