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1、第三章 概率 3.1 随机事件的概率3.1.1 随机事件的概率 在第二次世界大战中，美国曾经宣布：在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名一名优秀数学家的作用超过优秀数学家的作用超过1010个师的兵力个师的兵力你可知这你可知这句话的由来？句话的由来？英美的运输船英美的运输船德国的潜艇德国的潜艇英美的护航舰英美的护航舰数学家们运用数学家们运用概率论概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个遇是一个随机事件随机事件，从数学角度来看这一问题，它，从数学角度来看这一问题，它具有一定的具有一定的规律性规律性一定一定数量的船（为数量的船（为100100艘）编队艘）编队规模越小，编次就
2、越多（每次规模越小，编次就越多（每次2020艘，就要有艘，就要有5 5个编个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大，反之次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大，反之编队越少，与敌人相遇的概率就越小编队越少，与敌人相遇的概率就越小美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由口结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的原来的2525降为降为1 1，大大减少了损失，保证了物资，大大减少了损失，保证了物资的及时供应的
3、及时供应1.1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念. . ( (重点重点) )2.2.正确理解事件正确理解事件A A出现的频率的意义出现的频率的意义. .3.3.正确理解概率的概念，明确事件正确理解概率的概念，明确事件A A发生的频率发生的频率fn n( (A A) )与事件与事件A A发生的概率发生的概率P(P(A A) )的区别与联系的区别与联系. .( (难点难点) )（1 1）实心铁块丢入）实心铁块丢入水中水中, ,铁块浮起铁块浮起探究点探究点1 1： 随机事件随机事件观察下列现象：观察下列现象： 在条件在条件S S下下, ,一定不会发生的
4、事件一定不会发生的事件, ,叫做相对于条叫做相对于条件件S S的的不可能事件不可能事件. .（2 2）水中捞到月亮）水中捞到月亮水中捞月水中捞月不可能不可能发生发生（3 3）明天，地球）明天，地球还会转动还会转动 在条件在条件S S下，一定会发生的事件，叫做相下，一定会发生的事件，叫做相对于条件对于条件S S的的必然事件必然事件. . （4 4）人会死亡）人会死亡确定事件确定事件 必然事件与不可能事件统称为相对于条件必然事件与不可能事件统称为相对于条件S S的的确定事件确定事件. .（6 6）科比能投中三分吗？）科比能投中三分吗？ （5 5）今天购买的体育）今天购买的体育彩票能中奖吗？彩票能中
5、奖吗？不一定不一定发生发生随机事件随机事件 在条件在条件S S下可能发生也可能不发生的事件，叫下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件做相对于条件S S的的随机事件随机事件. . 确定事件和随机事件统称为事件确定事件和随机事件统称为事件. .一般用大写字母一般用大写字母A A，B B，CC表示表示. .随机事件的注意点：随机事件的注意点：要搞清楚什么是随机事件的条件和结果要搞清楚什么是随机事件的条件和结果. . 事件的结果是相对于事件的结果是相对于“一定条件一定条件”而言的而言的. .因此，要弄清某一随机事件，必须明确何为事因此，要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件
6、下产生的结果件发生的条件，何为在此条件下产生的结果. . 【概念提升概念提升】例例1 1 指出下列事件是必然事件，不可能事件，指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：还是随机事件：（1 1）“某电话机在一分钟之内，收到三次呼叫某电话机在一分钟之内，收到三次呼叫”; ;（2 2）“当当 x 是实数时，是实数时，x2 0 0”；（3 3）“没有水分，种子发芽没有水分，种子发芽”； （4 4）“打开中央电视台打开中央电视台, ,正在播放新闻正在播放新闻”. .随机事件随机事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件随机事件随机事件 明确了随机事件的概念，随机事件发生的可能明确了随机事件的概念，
7、随机事件发生的可能性又如何表示呢？性又如何表示呢？【变式练习变式练习】下列事件是随机事件的是下列事件是随机事件的是 . .买一张彩票买一张彩票, ,中奖中奖. . 同性电荷同性电荷, ,互相吸引互相吸引. .某人开车通过某人开车通过6 6个路口都遇到红灯个路口都遇到红灯. .若若a a为实数为实数, ,则则|a|0. |a|0. 探究点探究点2 2 ：随机事件的概率及频率：随机事件的概率及频率物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平的高低常用考试分数来衡量平的高低常用考试分数来衡量. .对于随机事件，它对于随机事件，它发生的可能性的大小，我们也希望能用
8、一个数量来发生的可能性的大小，我们也希望能用一个数量来反映反映. . 在数学中在数学中, ,用概率来度量随机事件发生的可能用概率来度量随机事件发生的可能性大小性大小. .姓名姓名试验次数试验次数正面朝上的次数正面朝上的次数正面朝上的比例正面朝上的比例试验试验第一步第一步: : 每人各取一枚同样的硬币，做每人各取一枚同样的硬币，做1010次掷硬币试验，次掷硬币试验，记录正面向上的次数和比例记录正面向上的次数和比例, ,填入下表中填入下表中: :思考思考1 1：如何才能获得随机事件发生的概率呢？如何才能获得随机事件发生的概率呢？ 思考思考2 2：试验结果与其他同学比较，你的结果：试验结果与其他同学
9、比较，你的结果 和他们一致吗？为什么和他们一致吗？为什么? ? 可能不同可能不同, ,因为试验结果是一个随机事件因为试验结果是一个随机事件, , 在在一次试验中可能发生也可能不发生一次试验中可能发生也可能不发生. .第二步第二步: : 由组长把本小组同学的试验结果统计一下，由组长把本小组同学的试验结果统计一下，填入下表填入下表: :组次组次试验总次数试验总次数正面朝上的总次数正面朝上的总次数正面朝上的比例正面朝上的比例 思考思考3 3： 与其他小组试验结果比较，正面朝上的比例与其他小组试验结果比较，正面朝上的比例 一定一致吗？为什么？一定一致吗？为什么？不一定不一定, ,因为试验结果是不确定的
10、因为试验结果是不确定的. .第三步第三步: : 把全班试验结果统计一下，填入下表：把全班试验结果统计一下，填入下表：班级班级试验总次数试验总次数正面朝上的总次数正面朝上的总次数正面朝上的比例正面朝上的比例第五步：第五步：请同学们找出掷硬币时请同学们找出掷硬币时“正面朝上正面朝上”这个事件发生的规律性这个事件发生的规律性.“掷一枚硬币，正面掷一枚硬币，正面朝朝上上”在一次试验中是否在一次试验中是否发生不能确定，但随着试验次数的增加，正面发生不能确定，但随着试验次数的增加，正面朝朝上的比例逐渐地接近于上的比例逐渐地接近于0.5.0.5.第四步：第四步：请把全班每个同学的试验中正面朝请把全班每个同学
11、的试验中正面朝上的次数收集起来，并用条形图表示上的次数收集起来，并用条形图表示. .思考思考4 4：如果同学们重复一次上面的试验，全班汇总结如果同学们重复一次上面的试验，全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？果与这一次汇总结果一致吗？为什么？可能不一致可能不一致. .因为试验结果是不确定的因为试验结果是不确定的. .1.1.频数与频率频数与频率 在相同的条件在相同的条件S S下重复下重复n n次试验，观察某一事件次试验，观察某一事件A A是是否出现否出现, , 称称n n次试验中事件次试验中事件A A出现的次数出现的次数n nA A为事件为事件A A出现出现的的频数频数, ,称事件称事件
12、A A出现的比例出现的比例 为事件为事件A A出现的出现的频率频率. .2.2.频率的取值范围是什么？频率的取值范围是什么？Annf (A)=nn0(A)1 f3. 3. 概率的定义概率的定义在大量重复进行同一试验时，事件在大量重复进行同一试验时，事件A A发生的频率发生的频率总是接近于某个总是接近于某个常数常数，这时就把这个常数叫做，这时就把这个常数叫做事件事件A A的概率的概率Ann抛掷次数（抛掷次数（n)n)2 0482 048 4 040 4 040 12 000 12 000 24 000 24 00030 00030 00072 08872 088正面朝上次数正面朝上次数(m)(m
13、)1 0611 061 2 048 2 048 6 019 6 019 12 012 12 01214 98414 98436 12436 124频率频率(m/n)(m/n)0.518 10.518 1 0.506 9 0.506 9 0.501 6 0.501 6 0.500 5 0.500 50.499 60.499 60.501 10.501 1 历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：果如下表所示：抛掷次数抛掷次数n n频率频率m/nm/n0.512048 40401200024000 3000072088 随着试验次数的增加，
14、正面向上的频率逐渐随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐地接近于地接近于0.50.5. . 用频率来估计用频率来估计“掷一枚硬币，正面向上掷一枚硬币，正面向上”的的概率是概率是0.50.5. .【总结提升总结提升】注意以下几点：注意以下几点：（1 1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的 重复试验；重复试验；（2 2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常 数才叫做事件数才叫做事件A A的概率；的概率；（3 3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似 值；值；（4 4）概率
15、反映了随机事件发生的可能性的大小；）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；（5 5）必然事件的概率为）必然事件的概率为1,1,不可能事件的概率为不可能事件的概率为0.0. 因此因此0P A1 例例2 2 近年来近年来, ,某市为了促进生活垃圾的分类处理某市为了促进生活垃圾的分类处理, ,将生活将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类, ,并分别并分别设置了相应的垃圾箱设置了相应的垃圾箱, ,为调查居民生活垃圾分类投放情为调查居民生活垃圾分类投放情况况, ,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 0001 000吨生活垃吨
16、生活垃圾圾, ,数据统计如下数据统计如下( (单位单位: :吨吨):):“厨余垃圾厨余垃圾”箱箱“可回收物可回收物”箱箱“其他垃圾其他垃圾”箱箱厨余垃圾厨余垃圾400400100100100100可回收物可回收物30302402403030其他垃圾其他垃圾202020206060(1)(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率试估计厨余垃圾投放正确的概率. .(2)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率试估计生活垃圾投放错误的概率. . 1 1 厨厨余余垃垃圾圾投投放放正正确确的的概概率率约约为为“厨厨余余垃垃圾圾”箱箱里里厨厨余余垃垃圾圾量量40024002=.=.厨厨余余垃垃圾圾总总量量400+100
17、+100400+100+100解解 3 3: : 2 2 设设生生活活垃垃圾圾投投放放错错误误为为事事件件A,A,则则事事件件A A表表示示生生活活垃垃圾圾投投放放正正确确. .事事件件 A A 的的概概率率约约为为“厨厨余余垃垃圾圾”箱箱里里厨厨余余垃垃圾圾量量、“可可回回收收物物”箱箱里里可可回回收收物物量量与与“其其他他垃垃圾圾”箱箱里里其其他他垃垃圾圾量量的的总总和和除除以以生生活活垃垃圾圾总总量量, ,400+240+60400+240+60即即P(A)P(A)约约为为= 0.7.= 0.7.1 0001 000所所以以P AP A 约约为为1-0.7 = 0.3.1-0.7 = 0
18、.3. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率事件的概率. .【总结提升总结提升】某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习, ,结果如结果如下表下表: :（1 1）计算表中进球的频率）计算表中进球的频率; ;（2 2）这位运动员投篮一次）这位运动员投篮
19、一次, ,进球的概率约是多少进球的概率约是多少? ? 0.80 0.800.780.780.750.750.800.800.800.80 0.85 0.85 0.830.830.800.80【变式练习变式练习】进球频率进球频率投篮次数投篮次数进球次数进球次数8 86 610108 81515121220201717303025254040323250503939(1)(1)联系联系: : 随着试验次数的增加随着试验次数的增加, , 频率会在概率的附近摆频率会在概率的附近摆 动动, ,并趋于稳定并趋于稳定. . 在实际问题中在实际问题中, ,若事件的概率未知若事件的概率未知, ,常用频率作常用频
20、率作 为它的估计值为它的估计值. .事件事件A A发生的频率发生的频率 是不是不变的？事是不是不变的？事件件A A发生的概率发生的概率 是不是不变的？它们是不是不变的？它们之间有什么区别和联系？之间有什么区别和联系？n(A)fP A频率是变化的，概率是不变的频率是变化的，概率是不变的. .(2)(2)区别区别: : 频率本身是随机的频率本身是随机的, ,在试验前不能确定在试验前不能确定, ,做同做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同都可能不同. .而概率是一个确定数而概率是一个确定数, ,是客观存在的是客观存在的, ,与每次试验与每次
21、试验无关无关. .1.1.下列事件中下列事件中, ,随机事件的个数为随机事件的个数为( )( )明天是阴天明天是阴天; ;方程方程x x2 2+2x+5=0+2x+5=0有两个不相等的实根有两个不相等的实根; ;明年长江武汉段的最高水位是明年长江武汉段的最高水位是29.829.8米米; ;一个三角形的大边对小角一个三角形的大边对小角, ,小边对大角小边对大角. .A.1 A.1 B.2B.2C.3 C.3 D.4 D.4B B2.2.一个容量为一个容量为100100的样本，其数据的分组与各组的频的样本，其数据的分组与各组的频数如表：数如表：则样本数据落在则样本数据落在(10(10，4040上的
22、频率为上的频率为( )( )A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64解：解：选选C.C.由题意可知样本数据落在由题意可知样本数据落在(10(10，4040上的频上的频数为：数为：13+24+15=52.13+24+15=52.由频率由频率= =频数频数总数，可得总数，可得520.52.100C C3.3.随机事件随机事件: :在在n n次试验中发生了次试验中发生了m m次，则（次，则（ ）A.0A.0m mn B.0n B.0n nm mC.0mn D.0nmC.0mn D.0nm4.4.下列说法正确的是下列说法正确的是 (
23、) ( ) A.A.任何事件的概率总等于频率任何事件的概率总等于频率 B.B.频率是客观存在的，与试验次数无关频率是客观存在的，与试验次数无关 C.C.随着试验次数的增加，频率一般会非常接近概率随着试验次数的增加，频率一般会非常接近概率D.D.概率是随机的，在试验前不能确定概率是随机的，在试验前不能确定C CC C5.5.某人在如图所示的直角边长为某人在如图所示的直角边长为4 4米的三角形地块的每米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物都种了一株相同品种的作物. .根据历年的种植经验，一根据历年的
24、种植经验，一株该种作物的年收货量株该种作物的年收货量Y Y( (单位：单位：kg)kg)与它的与它的“相近相近”作作物株数物株数X X之间的关系如表所示：之间的关系如表所示： X X 1 1 2 2 3 3 4 4 Y Y 5151 4848 4545 42 42 这里，两株作物这里，两株作物“相近相近”是指它们之间的直是指它们之间的直线距离不超过线距离不超过1 1米米. .（1 1）完成下表）完成下表, ,并求所种作物的平均并求所种作物的平均年收获量年收获量; ;Y Y5151484845454242频数频数4 4(2)(2)在所种作物中随机选取一株在所种作物中随机选取一株, ,求它的年收获
25、量至少求它的年收获量至少为为48kg48kg的概率的概率. . 【解题指南解题指南】本题关键是弄懂本题关键是弄懂“相近相近”即直线距离即直线距离不超过不超过1 1米的含义米的含义. .解解: :（1 1）由图可知所种作物总株数为）由图可知所种作物总株数为15.15.其中其中“相近相近”作物株数为作物株数为1 1的作物有的作物有2 2株，株，“相近相近”作物株数为作物株数为2 2的的作物有作物有4 4株，株，“相近相近”作物株数为作物株数为3 3的作物有的作物有6 6株，株，“相近相近”作物株数为作物株数为4 4的作物有的作物有3 3株，列表如下株，列表如下Y Y 515148484545424
26、2频数频数2 24 46 63 3所种作物的平均年收获量为所种作物的平均年收获量为(2)(2)由（由（1 1）知年收获量至少为）知年收获量至少为48kg48kg的有的有6 6株，故从株，故从1515株中随机选取一株，它的年收获量至少为株中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg48kg的概的概率为率为 . .461534264544825152156. .6. 6. 某射击手在同一条件下进行射击，结果如表所示：某射击手在同一条件下进行射击，结果如表所示：射击次数射击次数n n101020205050100100200200500500击中靶心次数击中靶心次数m m8 8191944449292
27、178178455455击中靶心的频率击中靶心的频率（1 1）填写表中击中靶心的频率）填写表中击中靶心的频率. .（2 2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？0.920.920.80 0.80 0.950.950.880.880.91 0.91 0.890.89解解: :( (1 1) )(2)(2)由于频率稳定在常数由于频率稳定在常数0.900.90，所以这个射手射击一次，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是击中靶心的概率约是0.90.0.90.小结：小结：概率实际上是频率的科学抽象，某事件的概率概率实际上是频率的科学抽象，某事件的概率可以通过该事件的频率来估计可以通过该事件的频率来估计. . 概 率 频 率随机事件确定的确定的试验试验随机的随机的随机的随机的估计估计大量的大量的重复重复稳定于稳定于某常数某常数 追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他.