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1、勾股定理温习教案(整理)基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。即：a2+b2c2要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：1已知直角三角形的两边求第三边在ABC?中，90C=?，则c=，b=，a2已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边3利用勾股定理能够证实线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理假如三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是断定一个三角形能否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形来确定三角形的可能形状，在运
2、用这一定理时应注意：1首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；2验证c2与a2+b2能否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形若c2a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若c2下一页大正方形面积为222()2Sabaabb=+=+所以222abc+=6：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc+=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见的勾股数能够提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8，15，17；9,40,41等经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在RtABC中，C=9
3、0(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的经过中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在ABC中，C=90，a=6，c=10,b=(2)在ABC中，C=90，a=40，b=9,c=(3)在ABC中，C=90，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，.求：BC的长.举一反三【变式1】如图，已知：，于P.求证：.【变式2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4
4、，CD=2。求：四边形ABCD的面积。类型三：勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。1求A、C两点之间的距离。2确定目的地C在营地A的什么方向。二举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?二用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄
5、联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线思路点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比拟，得出结论解析：设正方形的边长为1，则图1、图2中的总线路长分别为AB+BC+CD3，AB+BC+CD3图3中，在RtABC中同理图3中的道路长为图4中，延长EF交BC于H，则FHBC，BHCH由FBH及勾股定理得：EAEDFBFCEF12FH1此图中总线路的长为4EA+EF32.8282.732图4的连接线路最短，即图4的架设方案最省电线举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的
6、直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如下图1作直角边为1单位长的等腰直角ACB，使AB为斜边；2以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；3顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判定能否正确1原命题：猫有四只脚正确2原命题：对顶角相等正确3原命题：线段垂直平分线上的点，
7、到这条线段两端距离相等正确4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等正确思路点拨：把握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫不正确2.逆命题：相等的角是对顶角不正确3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上正确4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上正确总结升华：此题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、假如ABC的三边分别为a、b、c，且知足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判定ABC的形状。思路点拨：要判定ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只要条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只要从该条件入手，解决
8、问题。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。(a-3)20,(b-4)20,(c-5)20。a=3，b=4，c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证实中也常要用到。举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn
9、),判定ABC能否为直角三角形.分析:此题是利用勾股定理的的逆定理，只要证实:a2+b2=c2即可证实：所以ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。请问FE与DE能否垂直?请讲明。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，能够先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：3x2+4x2202化简得x216；直角三角形的面
10、积3x4x6x296总结升华：直角三角形边的有关计算中，经常要设未知数，然后用勾股定理列方程组求解。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。【变式4】下面列各组数为边长，能组成直角三角形的是A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40【变式5】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所
11、中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会遭到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校能否会遭到噪声影响？请讲明理由，假如受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：1要判定拖拉机的噪音能否影响学校A，本质上是看A到公路的距离能否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。2要求出学校受影响的时间，本质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因而必须找到拖拉机行至哪一点开场影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作ABMN，垂足为B。在RtABP中，ABP90，APB30，AP160
12、，ABAP80。在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半点A到直线MN的距离小于100m,这所中学会遭到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开场遭到影响，那么AC100(m)，由勾股定理得：BC21002-8023600,BC60。同理，拖拉机行驶到点D处学校开场脱离影响，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。拖拉机行驶的速度为:18km/h5m/st120m5m/s24s。答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会遭到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则能够通过作
13、辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径，在花园内走出了一条“路。他们仅仅少走了_步路假设2步为1m，却踩伤了花草。类型三：数学思想方法一转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，经常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决3、如下图，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。二方程的思想方法举一反三：【变式】如下图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。