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1、腾达中学 郭宗华数的开方数的开方练习：练习：填空：填空：1 1、( ( ) )2 2=9 =9 ；2 2、( ( ) )2 2=0.25=0.25；3 3、( ) ( ) ；4 4、( ( ) )2 2=4=4； 5 5、( ( ) )2 2=0.0081=0.0081最容易出现的错误是丢掉负数解最容易出现的错误是丢掉负数解 25162 平方根平方根(squareroot) 如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于a a，那么这个数就叫做那么这个数就叫做a a的的平方根平方根. . 用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根二、平方根的性质：二、平方根的性质： 1 1、一个正数有两个平
2、方根，它们、一个正数有两个平方根，它们互为相反数互为相反数2 2、0 0有一个平方根，它是有一个平方根，它是0 0本身本身3 3、负数没有平方根、负数没有平方根 三、开平方：三、开平方： 求一个数求一个数a a的平方根的运算，的平方根的运算，叫做开平方的运算叫做开平方的运算 +3+3与与-3-3的平方是的平方是9 9，9 9的平方根是的平方根是+3+3和和-3-3，可，可见平方运算与开平方运算互为逆运算见平方运算与开平方运算互为逆运算根据这种关系，我们可以通过平方运算来求根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根一个数的平方根 平方根的表示方法平方根的表示方法: : 2a被开方数被开
3、方数根指数根指数根号根号2a表示正数表示正数a a的正的平方根的正的平方根2a 表示正数表示正数a a的负的平方根的负的平方根2a 记作记作2读作读作“二次根号二次根号”；2a读作读作“二次根号二次根号a a”；提问：提问：777 、各表示什么意义？各表示什么意义？、可以省略可以省略例例1.1.填空题填空题(1)(1)a a是一个正数，是一个正数， 表示表示a a的的_，- - 表示表示a a的的_， 表示表示a a的的_aaa(2)(2)若若7 7是是x x的一个平方根，则的一个平方根，则x x的另一的另一个平方根是个平方根是_x=_.x=_.五、算术平方根定义：五、算术平方根定义： 正数正
4、数a a有两个平方根，其中有两个平方根，其中正数正数a a的正的平方根，也叫做的正的平方根，也叫做a a的算术平方根，记作：的算术平方根，记作：说明：说明：1 1、因为正数均有一正一负两个平方根，、因为正数均有一正一负两个平方根，所以正数均有算术平方根所以正数均有算术平方根 2 2、0 0的平方根也叫做的平方根也叫做0 0的算术平方根。的算术平方根。 2a做一做：做一做：例例2 2、说出下列式子的含义：、说出下列式子的含义：立方根立方根 概念概念: :如果一个数的立方等于如果一个数的立方等于a a，这个数就叫做这个数就叫做a a的立方根的立方根( (也称数也称数a a的三次方根的三次方根) .
5、) . 即若即若x x3 3=a=a，则则x x叫做叫做a a的立方根，的立方根，或称或称x x叫做叫做a a的三次方根的三次方根 2.2.表示方法：表示方法：3a被开方数被开方数根指数根指数根号根号3读作读作“三次根号三次根号”；3a读作读作“三次根号三次根号a a”；不能省略不能省略开立方概念：开立方概念： 求一个数的立方根的运算，求一个数的立方根的运算，叫做开立方叫做开立方. .开立方运算开立方运算 立方运算立方运算 互为逆运算互为逆运算立方根的性质：立方根的性质： (1) (1)正数有一个正的立方根；正数有一个正的立方根； (2) (2)负数有一个负的立方根；负数有一个负的立方根； (
6、3)0 (3)0的立方根是的立方根是0 0例例3 3、填空练习：、填空练习：(1)1(1)1的平方根是的平方根是_；立方根为；立方根为_；算术平方根为算术平方根为_ (2)(2)平方根是它本身的数是平方根是它本身的数是_ (3)(3)立方根是其本身的数是立方根是其本身的数是_ (4)(4)算术平方根是其本身的数是算术平方根是其本身的数是_ (5) (5) 的立方根为的立方根为 . .64 (6) (6) 的平方根为的平方根为 . . 32)8( (7) (7) 的立方根为的立方根为 . . 3512 (8)(8)一个自然数的算术平方根是一个自然数的算术平方根是a a，那么与这那么与这个自然数相
7、邻的下一个自然数的平方根是个自然数相邻的下一个自然数的平方根是_；立方根是；立方根是_ 例例4 4、(1) (1) 的平方根是的平方根是 。(2)(2)一个自然数的一个平方根是一个自然数的一个平方根是m m，那那么紧跟它后面的一个自然数的平方根么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（是（ ） ( (A)A) (B) (B) (C) (C) (D) (D)81m1m1m 1m213 3D例例5 5、填空：、填空：(1)0.000036(1)0.000036的平方根是的平方根是_，算，算术平方根是术平方根是_(2)(-41)(2)(-41)2 2的平方根是的平方根是_(3)(3)当当a a为为_时，时
8、，4 4a a2 2的算术平方的算术平方根是根是2 2a.a.（4 4） 的平方根是的平方根是_，算术平方，算术平方根是根是_. _. 2)6(练习、判断题：练习、判断题：1 11212是是144144的平方根的平方根( )( )2 2-12-12是是144144的平方根的平方根( )( )3 3144144的平方根是的平方根是-12-12( )( )4 4-1-1的平方根是的平方根是-1-1( )( )5 5-1-1是是1 1的平方根的平方根( )( )6 6(-1)(-1)2 2的平方根是的平方根是-1-1( )( )( (是是12)12)(-1(-1无平方根无平方根) )( (是是1)1
9、)无理数定义：无理数定义：无限不循环小数叫做无理数无限不循环小数叫做无理数断以下说法是否正确？断以下说法是否正确？(1)(1)无限小数都是无理数；无限小数都是无理数；(2)(2)无理数都是无限小数；无理数都是无限小数； (3)(3)带根号的数都是无理数。带根号的数都是无理数。实数的定义：实数的定义： 有理数和无理数统称为实有理数和无理数统称为实数数三、实数的分类：三、实数的分类： （1 1）按定义分类：）按定义分类： 无无限限不不循循环环小小数数负负无无理理数数正正无无理理数数无无理理数数环环小小数数有有限限循循环环小小数数或或无无限限循循负负有有理理数数正正有有理理数数有有理理数数实实数数0
10、（2 2）按大小分类）按大小分类 ： 负负实实数数正正实实数数实实数数0例例7 7、把下列各数写入相应的集合中：、把下列各数写入相应的集合中： 四、实数轴四、实数轴 我们知道数轴上的点表示的并不都是有我们知道数轴上的点表示的并不都是有理数，也有无理数如果我们把所有的有理理数，也有无理数如果我们把所有的有理数连起来，组成的是一条断断续续的数轴，数连起来，组成的是一条断断续续的数轴，这其中的空缺就是我们刚刚学习的无理数，这其中的空缺就是我们刚刚学习的无理数，可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整了，所以我们把这个数轴又称为实数轴了，所以我们把这个数轴又称为实数
11、轴 实数与数轴上的点是一一对应的这其实数与数轴上的点是一一对应的这其中包含着两层含义：第一，每一个实数都可中包含着两层含义：第一，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；第二，数轴上以用数轴上的一个点来表示；第二，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示的每一个点都可以用一个实数来表示 我们把实数表示在数轴上，最直观地表我们把实数表示在数轴上，最直观地表明了实数的大小，以原点为分界线，在原点明了实数的大小，以原点为分界线，在原点的右侧，表示正数，在原点的左侧为负数，的右侧，表示正数，在原点的左侧为负数，我们知道数轴上的实数从左到右是由小变大，我们知道数轴上的实数从左到右是由小变大，并且数轴上的右
12、侧的数总是比它左侧的数大，并且数轴上的右侧的数总是比它左侧的数大，这就引出了实数比较大小的问题显然同有这就引出了实数比较大小的问题显然同有理数之间的比较大小是类似的理数之间的比较大小是类似的 例例8 8、 比较大小：比较大小：说明：说明： 实数的比较，需要遵循的原则实数的比较，需要遵循的原则是必须化成同类数才可作比较，对是必须化成同类数才可作比较，对于一些无理数，若要化成小数，只于一些无理数，若要化成小数，只能取其近似值，所以需要熟记一些能取其近似值，所以需要熟记一些无理数的近似值。无理数的近似值。例例9 9、填空：、填空：(1)3-=_ 则则x=_；y=_小结：小结： 同学们，无理数的引进，
13、把我们所同学们，无理数的引进，把我们所研究问题的数的范围从有理数扩充到研究问题的数的范围从有理数扩充到了实数，这样一来，我们今后研究问了实数，这样一来，我们今后研究问题的数的范围更广泛了，我们所研究题的数的范围更广泛了，我们所研究的问题也就会更广、更深了从现在的问题也就会更广、更深了从现在起，在考虑某些数学问题时，一定要起，在考虑某些数学问题时，一定要在实数的范围内对于不同数的范围，在实数的范围内对于不同数的范围，可能结果是不相同的可能结果是不相同的 1 1）在）在 3.14 3.14， sin30sin30, , 各数中，无理数有各数中，无理数有（ ） A A、2 2个个 B B、3 3个个 C C、4 4个个 D D、5 5个个 2 2）下列命题中正确的个数有）下列命题中正确的个数有（ ） 无理数就是带根号的数无理数就是带根号的数 aa+a aa+a 21212 2的平方根是的平方根是2121 在实数范围内，非负数一定是正数在实数范围内，非负数一定是正数 两个无理数不一定仍是无理数两个无理数不一定仍是无理数 A A、1 1个个 B B、2 2个个 C C、3 3个个 D D、4 4个个 A AA A03 3）当）当ab0ab0时，时， 4 4）若）若 与与 互为相反数，互为相反数，则则 -2