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1、3.2.1 古典概型古典概型 我们首先引入的计算概率的数学模型，我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为对象，通常称为古典概型古典概型一、古典概型一、古典概型 假定某个试验有有限个可能的结果假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如例如ei，比任一其它结果，例如比任一其它结果，例如ej,更有优势，更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可则我们只好认为所有结果在试验中有同等
2、可能的出现机会，即能的出现机会，即1/N的出现机会的出现机会.e1, e2, ，eN ,常常把这样的试验结果称为常常把这样的试验结果称为“等可能的等可能的”.e1, e2, ，eN 试验结果试验结果你认为哪个你认为哪个结果出现的结果出现的可能性大？可能性大？2 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同个大小、形状完全相同的球的球. 将球编号为将球编号为110 .把球搅匀，蒙上眼睛，从把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球中任取一球. 因为抽取时这些球是因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理完全平等的，我们没有理由认为由认为10个球中的某一个个球中的某一
3、个会比另一个更容易取得会比另一个更容易取得 . 也就是说，也就是说，10个球中的任个球中的任一个被取出的机会是相等一个被取出的机会是相等的，均为的，均为1/10. 1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 3479108615 我们用我们用 i 表示取到表示取到 i号球，号球， i =1,2,10 . 称这样一类随机试验称这样一类随机试验为为古典概型古典概型.34791086152且每个基本事件且每个基本事件(或者或者说所有可能结果说所有可能结果)出现出现的可能性相同的可能性相同 .S=1,2,10 ,则该试验的所有可能结果则
4、该试验的所有可能结果如如i =2 称这种试验为称这种试验为有穷等可能随机试验有穷等可能随机试验 或或古典概型古典概型.定义定义1 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的所有可能结果只有有限多个基本事件；它的所有可能结果只有有限多个基本事件； (2) 每个基本事件出现的可能性相同每个基本事件出现的可能性相同.二、古典概型中事件概率的计算二、古典概型中事件概率的计算记记 A=摸到摸到2号球号球 P(A)=? P(A)=1/10记记 B=摸到红球摸到红球 P(B)=? P(B)=6/10 22 34791086151324 5 6这里实际上是从这里实际上是从“比例比例
5、” 转化为转化为“概率概率”记记 B=摸到红球摸到红球 P(B)=6/10静态动态 当我们要求当我们要求“摸到红摸到红球球”的概率时，只要找出的概率时，只要找出它在静态时相应的比例它在静态时相应的比例.2 3479108615这样就把求概率问题转化为这样就把求概率问题转化为计数问题计数问题 .定义定义2 设试验设试验E是是古典概型古典概型, 其所有可能其所有可能结果结果S由由n个基本事件组成个基本事件组成 , 事件事件A由由k个基个基本事件组成本事件组成 . 则定义事件则定义事件A的概率为：的概率为：称此概率为称此概率为古典概率古典概率. 这种确定概率的方法这种确定概率的方法称为称为古典方法古
6、典方法 . A包含的基本事件数包含的基本事件数 P(A)k/n S中的基本事件总数中的基本事件总数排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具 .提问：提问：1、怎样的一类随机试验称为、怎样的一类随机试验称为古典概型？古典概型？2、如何计算、如何计算古典概型中事件的概率？古典概型中事件的概率？ 为什么这样计算？为什么这样计算？三、古典概率计算举例三、古典概率计算举例例例1 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按现从盒中任意一张
7、一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：个英文单词：C ISN C EE问：在多大程度上认为这样的结果问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？拼成英文单词拼成英文单词SCIENCE 的情况数为的情况数为故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为： 这个概率很小，这里算出的概率有如这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在验，则我们所关心的事件在1260次试验中次试验中大约出现大约
8、出现1次次 .42200079. 012601! 74p解：七个字母的排列总数为解：七个字母的排列总数为7！ 这样小概率的事件在一次抽卡的试验这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术是魔术. 具体地说，可以具体地说，可以99.9%的把握怀疑这的把握怀疑这是魔术是魔术.解：解：=0.3024允许重复的排列允许重复的排列问：问：错在何处？错在何处？例例2 某城市的电话号码由某城市的电话号码由5个数字组成，每个个数字组成，每个数字可能是从数字可能是从0- -9这十个数字中的任一个，求电这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字
9、组成的概率话号码由五个不同数字组成的概率. .计算所有可能结果基本事件总数和所求事件计算所有可能结果基本事件总数和所求事件所含基本事件数计数方法不同所含基本事件数计数方法不同.从从10个不同数字中个不同数字中取取5个的排列个的排列510510Pp 510510Cp 例例3 设有设有N件产品件产品,其中有其中有M件次品件次品,现从这现从这N件中任取件中任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样.解：令解：令B=恰有恰有k件次品件次品P(B)=？nNknMNkMBP)(次品正品M件件次品次品N-M件件正品正品解：解：把把2n只鞋分成只鞋分成n堆
10、堆,每堆每堆2只只的分法总数为的分法总数为而出现事件而出现事件A的分法数为的分法数为n!,故故nnn2)!2(! 2! 2 ! 2)!2()!2(2 !2/)!2(!)(nnnnAPnn例例4 n双相异的鞋共双相异的鞋共2n只，随机地分成只，随机地分成n堆，每堆堆，每堆2只只 . 问问:“各堆都自成一双各堆都自成一双鞋鞋”(事件事件A)的概率是多少？的概率是多少？ “等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各所有可能结果或基本事件是等可以认为各所有可能结果或基本事件是等可能的能的.在实际应用中，
11、往往只能在实际应用中，往往只能“近似地近似地”出现等可能，出现等可能，“完全地完全地”等可能是很难见等可能是很难见到的到的1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能等可能性性”的条件的条件.需要需要注意注意的是：的是： 在许多场合，在许多场合，由对称性和均衡性，由对称性和均衡性，我我们就可以认为所有可能结果是等可能的并们就可以认为所有可能结果是等可能的并在此基础上计算事件的概率在此基础上计算事件的概率.例例1:掷两颗均匀骰子，求出现点数之和是掷两颗均匀骰子，求出现点数之和是8的概率的概率答案：答案：P=5/36 解解: 掷一颗骰子，有掷一颗骰子，有6个等可能的结果，个等可能
12、的结果，掷两颗骰子，有掷两颗骰子，有66=36个等可能结果，设个等可能结果，设X为第一颗骰子掷出的点数，为第一颗骰子掷出的点数，Y为第二颗为第二颗骰子掷出的点数骰子掷出的点数A=X+Y=8,只有（只有（2，6），（），（3，5），（），（4，4），（），（5，3），），（6，2）评分赌金问题评分赌金问题 有一天，德梅尔和赌友保罗赌钱，他们事先每人拿有一天，德梅尔和赌友保罗赌钱，他们事先每人拿出出6枚金币作为赌金，用扔硬币的方式进行赌博，一局中若枚金币作为赌金，用扔硬币的方式进行赌博，一局中若掷出正面，则德梅尔胜，否则保罗胜约定谁先胜三局谁掷出正面，则德梅尔胜，否则保罗胜约定谁先胜三局谁就得到所
13、有的就得到所有的12枚金币已知他们在每局中取胜的可能性枚金币已知他们在每局中取胜的可能性是相同的比赛开始后，保罗胜了一局，德梅尔胜了两是相同的比赛开始后，保罗胜了一局，德梅尔胜了两局这时一件意外的事情中断了他们的赌博，后来他们也局这时一件意外的事情中断了他们的赌博，后来他们也不想再赌了，于是一起商量如何分不想再赌了，于是一起商量如何分12枚金币枚金币你知道怎样分吗？你知道怎样分吗？至多再赛两局就可以比出两局就可比出结果至多再赛两局就可以比出两局就可比出结果2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏注意不要重复计数，也不要遗漏.例如
14、：例如：从从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋子中只鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多少？）的概率是多少？ 下面的算法错在哪里？下面的算法错在哪里？4102815)(AP错在同样的错在同样的“4只配只配成两双成两双”算了两次算了两次.97321456810从从5双中取双中取1双，从剩双，从剩下的下的 8只中取只中取2只只例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只只鞋子中鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多少？的概率是多少？ 正确的答案是：正确的答案是：41025281
15、5)(AP请思考：请思考：还有其它解法吗？还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏注意不要重复计数，也不要遗漏.“分球入箱分球入箱”问题问题 设有设有n个球，每个都以相同的概率个球，每个都以相同的概率1/N(N n)落入落入N个箱子中的每一个中根据以下条件，个箱子中的每一个中根据以下条件，分别求事件分别求事件A=某预先指定的某预先指定的n个箱子中各有一个箱子中各有一球球的概率的概率p.条件：条件：1.球编号，每个箱子容纳的球数不限球编号，每个箱子容纳的球数不限2.球编号，每个箱子只容纳一个球球编号，每个箱子只容纳
16、一个球3.球不编号，每个箱子只容纳一个球球不编号，每个箱子只容纳一个球4.球不编号，每个箱子容纳的球数不限球不编号，每个箱子容纳的球数不限以以n=3,N=4为例计算为例计算“分球入箱分球入箱”问题问题1.球编号，每个箱子容纳的球数不限球编号，每个箱子容纳的球数不限 因为每个箱子容纳的球数不限，所以这是因为每个箱子容纳的球数不限，所以这是一个可重复的排列问题一个可重复的排列问题34! 3p323“分球入箱分球入箱”问题问题2.球编号，每个箱子只容纳一个球球编号，每个箱子只容纳一个球这是一个选排列问题这是一个选排列问题34! 3Pp 41246“分球入箱分球入箱”问题问题3.球不编号，每个箱子只容
17、纳一个球球不编号，每个箱子只容纳一个球这是一个组合问题这是一个组合问题341Cp 41“分球入箱分球入箱”问题问题4.球不编号，每个箱子容纳的球数不限球不编号，每个箱子容纳的球数不限201p总情况数为：总情况数为： 按占位法作，共有位置按占位法作，共有位置4+1+3-2=6（两端（两端不算）个，三个球在不算）个，三个球在4个箱子中的一种分布就个箱子中的一种分布就对应于三个球在这对应于三个球在这6个位置上的一种占位法，个位置上的一种占位法，共有共有2036C3、许多表面上提法不同的问题实质上属、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：于同一类型： 有有n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人
18、都以相同的概率 1/N (Nn)被分在被分在 N 间房的每一间中，求指定的间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率间房中各有一人的概率.人人房房3、许多表面上提法不同的问题实质上属、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：于同一类型： 有有n个人，设每个人的生日是任一天的概个人，设每个人的生日是任一天的概率为率为1/365. 求这求这n (n 365)个人的生日互不相个人的生日互不相同的概率同的概率.人人任一天任一天3、许多表面上提法不同的问题实质上属、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：于同一类型： 有有n个旅客，乘火车途经个旅客，乘火车途经N个车个车站，设每站，设每个人在
19、每站下车的概率为个人在每站下车的概率为1/ N(N n) ，求指，求指定的定的n个站各有一人下车的概率个站各有一人下车的概率.旅客旅客车站车站3、许多表面上提法不同的问题实质上属、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：于同一类型： 某城市每周发生某城市每周发生7次车祸，假设每天发生次车祸，假设每天发生车祸的概率相同车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸求每天恰好发生一次车祸的概率的概率.车祸车祸天天你还可以举出其它例子，留作课下练习你还可以举出其它例子，留作课下练习. 我们介绍了古典概型我们介绍了古典概型. 古典概型虽古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用然比较简单，但它有多方面的应
20、用.是常见的几种模型是常见的几种模型 .箱中摸球箱中摸球分球入箱分球入箱随机取数随机取数分组分配分组分配 早在概率论发展初期，人们就认早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能基本事件识到，只考虑有限个等可能基本事件的古典方法是不够的的古典方法是不够的. 把等可能推广到无限个基本事件场把等可能推广到无限个基本事件场合合,人们引入了人们引入了几何概型几何概型. 由此形成了确由此形成了确定概率的另一方法定概率的另一方法几何方法几何方法.几何方法的要点是：几何方法的要点是：1、设所有可能结果、设所有可能结果S是平面上某个区域，是平面上某个区域，它的面积记为它的面积记为(S);2、向区域、向
21、区域S上随机投掷一点，这里上随机投掷一点，这里“随机随机投掷一点投掷一点”的含义是指该点落入的含义是指该点落入S 内任何内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关无关.3、设事件、设事件A是是S的某个区域，它的面积为的某个区域，它的面积为 (A)，则向区域则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域上随机投掷一点，该点落在区域A的概的概率为率为)()()(SAAP（*）4、假如所有可能结果、假如所有可能结果S可用一线段，或空间中某可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向个区域表示，并且向S上上随机投掷一点随机投掷一点的含义如的含义如前述，则事件前述，则事件A的概率仍可用（的概率仍可用（*）式确定，只不）式确定，只不过把过把 理解为长度或体积即可理解为长度或体积即可.)( 实际上，许多随机试验的结果并不都实际上，许多随机试验的结果并不都是有限个，而且，即使是有限个，也未必是有限个，而且，即使是有限个，也未必是等可能的是等可能的. 而几何方法的正确运用，有赖于而几何方法的正确运用，有赖于“等等可能性可能性”的正确规定的正确规定.