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1、导数温习讲义_高中数学温习讲义第十二章导数及其应用【知识图解】【方法点拨】导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证实不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时，导数是初等数学与高等数学严密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。1重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深入理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深入理解并灵敏运用。2深入理解导数概念。概念是根本，是所有性质的基础，有些问题能够直接用定义解决。在理解定义时，要注意“函数
2、()fx在点0x处的导数0()fx与“函数()fx在开区间(,)ab内的导数()fx之间的区别与联络。3强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。4重视“数形结合的浸透，强调“几何直观。在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，加强数形结合的思维意识。5加强“导数的实践应用。导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。6理科用理解和体会“定积分的实践应用。定积分也是解决实际问题主要是几何
3、和物理问题的有力工具，如能够用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。第1课导数的概念及运算【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.把握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.把握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.理科【基础练习】1设函数fx在x=x0处可导,则0limhhxfhxf)()(00-+与x0,h的关系是仅与x0有关而与h无关。2已知)1()(23fxxxf+=,则=)2(f
4、0。3已知),(,cos1sin-+=xxxy,则当2=y时,=x32。4已知axxaxf=)(,则=)1(f2lnaaa+。5已知两曲线axxy+=3和cbxxy+=2都经过点P1,2，且在点P处有公切线，试求a,b,c值。解：由于点P1,2在曲线axxy+=3上，1=a函数axxy+=3和cbxxy+=2的导数分别为axy+=23和bxy+=2，且在点P处有公切数ba+?=+?12132，得b=2又由c+?+=12122，得1-=c【范例导析】例1下列函数的导数：2(1)(231)yxxx=+-y=()(cossin)xfxexx=?+分析：利用导数的四则运算求导数。解：法一：132322
5、23-+-+=xxxxxy125223-+=xxx26102yxx=+法二：)132)(1()132()1(22-+-+=xxxxxxy=1322-+xx+)1(+x)34(+x26102xx=+231212332-+-=xxxxy252232123233-+-+=xxxxy()fx=excosx+sinx+exsinx+cosx=2excosx,点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考对导数考察的基本要求。例2假如曲线103-+=xxy的某一切线与直线34+=xy平行，求切点坐标与切线方程分析：此题重在理解导数的几何意义：曲线()yfx=在给定点00(
6、,()Pxfx处的切线的斜率0()kfx=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。解：切线与直线34+=xy平行，斜率为4又切线在点0x的斜率为0320(10)31xxxxyxxx=+-=+41320=+x10=x?-=8100yx或?-=-=12100yx切点为1，-8或-1，-12切线方程为)1(48-=+xy或)1(412+=+xy即124-=xy或84-=xy点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联络，利用导数能解决很多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。变题：求曲线32yxx=-的过点(1,1)A的切线方程。答案：20,5410xyxy+-=-=点评
7、：此题中“过点(1,1)A的切线与“在点(1,1)A的切线的含义是不同的，后者是以A为切点，只要一条切线，而前者不一定以A为切点，切线也不一定只要一条，所以要先设切点，然后求出切点坐标，再解决问题。【反应演练】1一物体做直线运动的方程为21stt=-+，s的单位是,mt的单位是s，该物体在3秒末的瞬时速度是5/ms。2设生产x个单位产品的总成本函数是2()88xCx=+，则生产8个单位产品时，边际成本是2。3已知函数fx在x=1处的导数为3,则fx的解析式可能为1。1fx=x12+3x12fx=2x13fx=2x124fx=x14若曲线4yx=的一条切线l与直线480xy+-=垂直，则l的方程
8、为430xy-=。5在函数xxy83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是3。6过点0，4与曲线yx3x2相切的直线方程是y4x47求下列函数的导数：(1)y=(2x2-1)(3x+1)(2)xxysin2=(3)1ln(2xxy+=(4)11-+=xxeey(5)xxxxysincos+=(6)xxxycossin2cos-=解：34182-+=xxy,(2)xxxxycossin22+=;(3)211xy+=,(4)2)1(2-=xxeey;(5)2)sin(1cossinsincosxxxxxxxxy+-+-=,(6)xxycossin-=.8已知直线1l为曲线
9、22-+=xxy在点(0,2)-处的切线，2l为该曲线的另一条切线，且21ll求直线2l的方程；求由直线1l，2l和x轴所围成的三角形的面积解：设直线1l的斜率为1k，直线2l的斜率为2k，21yx=+，由题意得10|1xky=,得直线1l的方程为2yx=-122111llkk=-=-211,1xx+=-=-令得,212,2xyxxy=-=+-=-将代入得2l与该曲线的切点坐标为(1,2),A-由直线方程的点斜式得直线2l的方程为：3yx=-由直线1l的方程为2yx=-,令0=2yx=得:由直线2l的方程为3yx=-，令0=3yx=-得:由23yxyx=-?=-?得：52y=-设由直线1l，2
10、l和x轴所围成的三角形的面积为S，则：15252(3)224s=?-?-=第2课导数的应用A【考点导读】1通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。2结合函数的图象，了解函数的极大小值、最大小值与导数的关系；会求简单多项式函数的极大小值，以及在指定区间上的最大小值。【基础练习】1若函数()fxmxn=+是R上的单调函数，则,mn应知足的条件是0,mnR。2函数5123223+-=xxxy在0，3上的最大值、最小值分别是5，15。3用导数确定函数()sin(0,2)fxxx=的单调减区间是3,22。4函数1()sin,(0,2
11、)2fxxxx=+的最大值是，最小值是0。5函数2()xfxxe=?的单调递增区间是(-,-2)与(0,+)。【范例导析】例132()32fxxx=-+在区间1,1-上的最大值是2。解：当1x0，当03xxky+=2)0(k4xxyln22-=解：1232-=xxy)1)(23(-+=xx)32,(-x),1(+时0y)1,32(-x0y，),0()0,(kkx-0y点评：熟练把握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。例3设函数f(x)=3223(1)1,1.xaxa-+其中求f(x)的单调区间；讨论f(x)的极值。解：由已知得()6(1)fxxxa=-，令()0fx=，
12、解得120,1xxa=-。当1a=时，2()6fxx=，()fx在(,)-+上单调递增；当1a时，()()61fxxxa=-?，(),()fxfx随x的变化情况如下表：从上表可知，函数()fx在(,0)-上单调递增；在(0,1)a-上单调递减；在(1,)a-+上单调递增。由知，当1a=时，函数()fx没有极值；当1a时，函数()fx在0x=处获得极大值，在1xa=-处获得极小值31(1)a-。点评：本小题主要考察利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。【反应演练】1关于函数762)(23+-=xxxf，下列讲法不正确的是4。1在区间-，0内，)(xf为增
13、函数2在区间0，2内，)(xf为减函数3在区间2，+内，)(xf为增函数4在区间-，0),2(+?内，)(xf为增函数2对任意x，有34)(xxf=，(1)1f=-，则此函数为2)(4-=xxf。3函数y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值与最小值分别是5,-15。4下列函数中，0x=是极值点的函数是2。13yx=-22cosyx=3tanyxx=-41yx=5下列讲法正确的是4。1函数的极大值就是函数的最大值2函数的极小值就是函数的最小值3函数的最值一定是极值4在闭区间上的连续函数一定存在最值6函数32()35fxxx=-+的单调减区间是0，2。7求知足条件的a的范围：1使axxy
14、+=sin为R上增函数；2使aaxxy+=3为R上的增函数；3使5)(23-+-=xxaxxf为R上的增函数。解：1axy+=cos由题意可知：0y对xR?都成立1a又当1=a时xxy+=sin也符合条件),1+a2同上),0+a3同上),31+a8已知函数cbxxaxxf-+=44ln)(x0)在x=1处获得极值c-3，其中,abc为常数。1试确定,ab的值；2讨论函数f(x)的单调区间。解：I由题意知(1)3fc=-，因而3bcc-=-，进而3b=-又对()fx求导得()34341ln4bxxaxxaxxf+?+=3(4ln4)xaxab=+由题意(1)0f=，因而40ab+=，解得12a
15、=II由I知3()48lnfxxx=0x，令()0fx=，解得1x=当01x时，()0fx，此时()fx为增函数因而()fx的单调递减区间为(01)，而()fx的单调递增区间为(1)+，第3课导数的应用B【考点导读】1深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。2利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。【基础练习】1若)(xf是在()ll,-内的可导的偶函数，且)(xf不恒为零，则关于)(xf下列讲法正确的是4。1必定是()ll,-内的偶函数2必定是()ll,-内的奇函数3必定是()
16、ll,-内的非奇非偶函数4可能是奇函数，可以能是偶函数2()fx是()fx的导函数，()fx的图象如右图所示，则()fx的图象只可能是4。12343若tR，曲线3yx=与直线3yxt=-在0,1x上的不同交点的个数有至多1个。4把长为60cm的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为15cm，宽为15cm。【范例导析】例1函数cbxaxxxf+=23)(，过曲线)(xfy=上的点)1(,1(fP的切线方程为13+=xy1若)(xfy=在2-=x时有极值，求f(x)的表达式；2在1的条件下，求)(xfy=在1,3-上最大值；3若函数)(xfy=在区间1,2-上单调递增，求b的取值范围解：113:
17、)1(,1()()1)(23()1()1)(1()1(:)1(,1()(23)(:)(223+=-+=+-=-=+=+=xyfPxfyxbacbayxffyfPxfybaxxxfcbxaxxxf的切线方程为上而过即的切线方程为上点过求导数得由?=+=+?=-+=+)2(3)1(0212323cbabacbaba即故542)(5,4,2)3)(2)(1()3(1240)2(,2)(23+-+=-=-=+-=-=xxxxfcbabafxxfy相联立解得由故时有极值在2)2)(23(44323)(22+-=-+=+=xxxxbaxxxf135)2(4)2(2)2()2()(=+-+-=-=fxf极大
18、4514121)1(3=+?-?+=f1,3)(-在xf上最大值为1331,2)(-=在区间xfy上单调递增又02)1(,23)(2=+=babaxxxf知由bbxxxf+-=23)(依题意1,203,0)(1,2)(2-+-在即上恒有在bbxxxfxf上恒成立.在603)1()(,16+-=bbbfxfbx小时在0212)2()(,26+=-=-=bbfxfbx小时?b在.6001212)(,1622-=-bbbxfb则时小综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b0。点评：此题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。例2请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的
19、正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥如右图所示。试问当帐篷的顶点O到底面中心1O的距离为多少时，帐篷的体积最大？分析：此题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设1OO的长度会比拟简便。解：设1()OOxm=,则由题设可得正六棱锥底面边长为此页面能否是列表页或首页？未找到适宜正文内容。4函数()ln(0)fxxxx=的单调递增区间是1,e?+?5已知函数32()fxxbxcxd=+的图象过点P0，2，且在点M1，f1处的切线方程为076=+-yx求函数y=f(x)的解析式；求函数y=f(x)的单调区间解：由f(x)的图象经过P0，2，知d=2，所以,2)(23+=cx
20、bxxxf.23)(2cbxxxf+=由在M(-1,f(-1)处的切线方程是076=+-yx，知.6)1(,1)1(,07)1(6=-=-=+-fff即326,23,121.0,3.bcbcbcbcbc-+=-=-+-+=-=-即解得故所求的解析式是.233)(23+-=xxxxf22()363.3630,fxxxxx=-=令2210.xx-=即解得.21,2121+=-=xx当;0)(,21,21+-令()0fx=，得12xr=由于当02rx；当2rxrR，求()fx的最小值()ht；若()2httmR，当xt=-时，()fx取最小值3()1fttt-=-+-，即3()1httt=-+-令3
21、()()(2)31gthttmttm=-+=-+-，由2()330gtt=-+=得1t=，1t=-不合题意，舍去当t变化时()gt，()gt的变化情况如下表： ()gt在(02)，内有最大值(1)1gm=-()2httm点评：此题主要考察函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考察运用数学知识分析问题解决问题的能力8设函数2()ln()fxxax=+,若当1x=-时，()fx获得极值，求a的值，并讨论()fx的单调性.解：1()2fxxxa=+，依题意有(1)0f-=，故32a=进而2231(21)(1)()3322xxxxfxxx+=+()fx的定义域为32?-+?，当312x-；当112x-时，()0fx进而，()fx分别在区间31122?-+?，单调增加，在区间112?-?，单调减少