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1、导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。f(x)=。例、 若，则等于（ ） A B C D以上都不是变式训练： 设函数在点处可导，试求下列各极限的值1；23若，则=？二、导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。切线方程为
2、yy=f/（x）（xx）。三、导数的运算1基本函数的导数公式: （C为常数）习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）（9） （10） （11） （12） （13） （14）2、导数的四则运算法则：练习：求下列函数的导数：（1） ； （2）； （3） ； （4）。（5） ； （6）。3、复合函数求导：如果函数在点x处可导，函数f (u)在点u=处可导，则复合函数y= f (u)=f 在点x处也可导，并且 (f )= 例、求下列函数的导数（1）y=cos x （2）y=ln (x+)练习：求下列函数的导数 （1）y= （2） y=sin
3、（3x+）常考题型：类型一、求导数相关问题例1、若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_例2、曲线yxex1在点(1，1)处切线的斜率等于()A2e Be C2 D1例3、2014新课标全国卷 设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1 C2 D3类型二、求切线方程（一）已知切点坐标，求切线方程例1.曲线在点处的切线方程（二）已知切点斜率，求切线方程例2.及直线的平行的抛物线的切线方程（三）已知曲线外一点，求切线方程例3.求过点且及曲线相切的直线方程（四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程例4.求过曲线上的点的切线方程变式训练：1、2
4、014广东卷 曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_2、2014江苏卷 在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线及直线7x2y30平行，则ab的值是_3、及直线0平行, 且及曲线y相切的直线方程 类型三、求单调区间和极值、最值考点一 求不含参数的函数的单调区间例1.求函数y=x2(1x)3的单调区间.变式训练：1.函数的单调递减区间是（ ）ABCD2.(05年广东高考题)函数是减函数的区间为( )（）（）（）（）考点二 求含参数的函数的单调区间考例1、已知函数 ，当 时，讨论函数 的单调性.例2、设函数f(x)= 求f(x)的单调区
5、间；例3、设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。变式训练： 1、2014山东卷 设函数f(x)aln x，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性2、【2014安徽卷】设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、2014新课标全国卷 若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)例2、2014全国新课标卷 已知函数f(x)ax33x21，若f(
6、x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)例3、2014辽宁卷 当x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B. C6，2 D4，3变式训练：（山东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题（数学文） 已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好及直线垂直. （）求实数的值；（）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数 .(2)求方程的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的
7、值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.注:可导函数在处取得极值是的充分不必要条件.例1、已知函数在处都取得极值（1） 求、的值；变式训练：设是函数的两个极值点.（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值.例2、（06安徽卷）设函数，已知是奇函数。（）求、的值。（）求的单调区间及极值。例3、已知函数的图象如图所示（I）求的值；（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；（III）在（II）的条件下，函数及的图象有三个不同的交点，求的取值范围例4、2014江西卷
8、 已知函数f(x)(x2bxb)(bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围变式训练：1、已知函数的图象及函数的图象相切,记.（）求实数的值和函数的极值；（）若关于的方程恰有三个不等的实数根，求实数的取值范围.2、（2011全国文20）已知函数()证明：曲线（）若,求的取值范围.考点五：结合单调性求最值问题求函数在上最值的步骤：（1）求出在上的极值. （2）求出端点函数值. （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.例1、(2010年重庆卷)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达
9、式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值及最小值例2、设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线及直线x6y70垂直，导函数f(x)的最小值为12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值例3、已知函数（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；（II）若，设，求证：当时，不等式成立例4、2014安徽卷 设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0，1时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值
10、四、 导数及不等式恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、 思路2、例1. 设函数在和时取得极值求a、b的值；若对于任意的，都有成立，求c的取值范围例2、已知函数，其中为实数。已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围例3、设函数，其中。若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。例4、若实数且，函数。（1）证明函数在处取极值，并求出函数的单调区间。（2）若在区间上至少存在一点，使得，求实数的取值范围。变式训练：1、（2010辽宁文）已知函数.（）讨论函数的单调性；（）设，证明：对任意，.2、已知函数f(x)x33|xa|(a0)若f(x)在1，1上的最小值记为g(a)(1)求g(a)；(2)证明：当x1，1时，恒有f(x)g(a)4.3、设函数.()若为函数的极值点，求实数；（）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有4成立.4、设函数. （）求函数的单调区间和极值； （）若对任意的不等式成立，求a的取值范围。存在性问题：能成立；例1、已知两函数，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 例2、已知两函数，。（1）对任意，都有)成立，求实数的取值范围；（2）存在，使成立，求实数的取值范围；（3）对任意，都有，求实数的取值范围；（4）存在，都有，求实数的取值范围；第 6 页