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1、(完好版)导数讲义(学生新版)_ (完好版)导数讲义(学生新版)(完好版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x),假如自变量x在x0处有增量x?，那么函数y相应地有增量y?=fx0+x?fx0，比值xy?叫做函数y=fx在x0到x0+x?之间的平均变化率，即xy?=xxfxxf?-?+)()(00。假如当0?x时，xy?有极限，我们就讲函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做fx在点x0处的导数，记作fx0或y|0xx=。f(x0)=0lim?xxy?=0lim?xxxfxxf?-?+)()(00。例、若kxxfxxfx=?-?+?)()(lim000，则xxfxxfx
2、?-?+?)()2(lim000等于Ak2BkCk21D以上都不是变式训练：设函数)(xf在点0x处可导，试求下列各极限的值1xxfxxfx?-?-?)()(lim000；2.2)()(lim000hhxfhxfh-+3若2)(0=xf，则kxfkxfk2)()(lim000-=？二、导数的几何意义函数y=fx在点x0处的导数的几何意义是曲线y=fx在点px0，fx0处的切线的斜率。也就是讲，曲线y=fx在点px0，fx0处的切线的斜率是fx0。切线方程为yy0=f/x0xx0。三、导数的运算1基本函数的导数公式:0;C=C为常数(完好版)导数讲义(学生新版)(完好版)导数讲义(学生新版)()
3、1;nnxnx-=(sin)cosxx=;(cos)sinxx=-;();xxee=()lnxxaaa=;()1lnxx=;()1lglogaaoxex=.习题：求下列函数的导数：8分钟独立完成1()fx=24()fxx=3()fx4()sinfxx=5()cosfxx=-6()3xfx=7()xfxe=82()logfxx=9()lnfxx=101()fxx=1131cos44yx=+121xyx=+13lgxyxe=-143cosyxx=2、导数的四则运算法则：)()()()()()()()(xgxfxgxfxgxfxgxf-=-+=+)()()()()()()()()()()()()(2
4、xgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf-=?+=练习：求下列函数的导数：1xxy22+=；2xxyln-=；3xxysin=；4xxyln=。5xxysin=；6xxyln2=。3、复合函数求导：假如函数)(x?在点x处可导，函数f(u)在点u=)(x?处可导，则复合函(完好版)导数讲义(学生新版)(完好版)导数讲义(学生新版)数y=f(u)=f)(x?在点x处可以导，并且(f)(x?)=)(xf?)(x?例、求下列函数的导数1y=x21-cosx2y=ln(x+21x+)练习：求下列函数的导数1y=2)13(1-x2y=sin3x+4常考题型：类型一、求导数相关问题例1、若曲线
5、yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_例2、曲线yxex1在点(1，1)处切线的斜率等于()A2eBeC2D1例3、2021新课标全国卷设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a()A0B1C2D3类型二、求切线方程一已知切点坐标，求切线方程例1.曲线3231yxx=-+在点(11)-，处的切线方程二已知切点斜率，求切线方程例2.与直线240xy-+=的平行的抛物线2yx=的切线方程三已知曲线外一点，求切线方程例3.求过点(20)，且与曲线1yx=相切的直线方程四已知曲线上一点，求过该点的切线方程例4.求过曲线32yxx=-上的点(11)-，的切线方程
6、变式训练：1、2021广东卷曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_2、2021江苏卷在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2bx(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab(完好版)导数讲义(学生新版)(完好版)导数讲义(学生新版)的值是_3、与直线1+-yx0平行,且与曲线y132-x相切的直线方程类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的单调区间例1.求函数y=x2(1x)3的单调区间.变式训练：1.函数xxyln=的单调递减区间是A),(1+-eB),(1-eC),0(1-eD),(+e2.(05年广东高考题)函数32()31f
7、xxx=-+是减函数的区间为()(2,)+(,2)-(,0)-(0,2)考点二求含参数的函数的单调区间考例1、已知函数21()ln(1)2fxxmxmx=-+-，mR当0m时，讨论函数()fx的单调性.例2、设函数f(x)=3223(1)1,1.xaxa-+其中求f(x)的单调区间；例3、设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。变式训练：1、2021山东卷设函数f(x)alnxx1x1，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性2、【2021安徽卷】设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0
8、.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、2021新课标全国卷若函数f(x)kxlnx在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，)D1，)例2、2021全国新课标卷已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在(完好版)导数讲义(学生新版)(完好版)导数讲义(学生新版)唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，)B(1，)C(，2)D(，1)例3、2021辽宁卷当x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3B.?6，98C6，2D4，3变式训练：山东省烟台市2020届高三上学期期末
9、考试试题数学文已知函数32()fxaxbx=+的图像经过点(1,4)M，曲线在点M处的切线恰好与直线90xy+=垂直.务实数,ab的值；若函数()fx在区间,1mm+上单调递增，求m的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数()fx.(2)求方程()0fx=的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查()fx在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么)(xf在这个根处获得极大值；假如左负右正，那么)(xf在这个根处获得极小值；假如左右不改变符号，那么)(xf在这个根处无极值.注:可导函数()yfx=在0x
10、x=处获得极值是0()0fx=的充分不必要条件.例1、已知函数xxbaxxfln42)(+-=在311=xx与处都获得极值1求a、b的值；变式训练：设1,2xx=是()lnfxaxbxx=+函数的两个极值点.1试确定常数a和b的值；2试判定1,2xx=是函数()fx的极大值点还是极小值点，并求相应极值.例2、06安徽卷设函数()32()fxxbxcxxR=+，已知()()()gxfxfx=-是(完好版)导数讲义(学生新版)(完好版)导数讲义(学生新版)奇函数。求b、c的值。求()gx的单调区间与极值。例3、已知函数dxbacbxaxxf+-+=)23()(23的图象如下图I求dc,的值；II若
11、函数)(xf在2=x处的切线方程为0113=-+yx，求函数)(xf的解析式；III在II的条件下，函数)(xfy=与mxxfy+=5)(31的图象有三个不同的交点，求m的取值范围例4、2021江西卷已知函数f(x)(x2bxb)12x(bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间?0，13上单调递增，求b的取值范围变式训练：1、已知函数()fxxb=+的图象与函数23)(2+=xxxg的图象相切,记()()()Fxfxgx=.务实数b的值及函数()Fx的极值；若关于x的方程kxF=)(恰有三个不等的实数根，务实数k的取值范围.2、2020全国文20已知函数32()3(36)
12、124()fxxaxaxaaR=+-+-()证实：曲线()0yfxx=在(2,2)的切线过点；若00()(1,3)fxxxx=在处获得极小值，,求a的取值范围.考点五：结合单调性求最值问题求函数在,ab上最值的步骤：1求出()fx在(,)ab上的极值.2求出端点函数值(),()fafb.3比拟极值和端点值，确定最大值或最小值.例1、(2020年重庆卷)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值例2、设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，
13、f(1)处的切线与直线x6y70垂直，导函数f(x)的最小值为12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值例3、已知函数21()ln,()(1),12fxxaxgxaxa=+=+-I若函数(),()fxgx在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性一样，(完好版)导数讲义(学生新版)(完好版)导数讲义(学生新版)务实数a的取值范围；II若(1,(2.71828)aee=L，设()()()Fxfxgx=-，求证：当12,1,xxa时，不等式12|()()|1FxFx-axxxf对任意()+,0a都成立，务实数x的取值范围例3、设函数(
14、)(,2234Rxbxaxxxf+=，其中Rba,。若对于任意的2,2-a，不等式()1xf在1,1-上恒成立，求b的取值范围。例4、若实数0a且2a，函数()()122213123+-=xxaaxxf。1证实函数()xf在1=x处取极值，并求出函数()xf的单调区间。2若在区间()+,0上至少存在一点0x，使得()10(完好版)导数讲义(学生新版)(完好版)导数讲义(学生新版) ()若1x=为函数()yfx=的极值点，务实数a；务实数a的取值范围，使得对任意的x(,2-，恒有()fx4成立.4、设函数3221()23(01,)3fxxaxaxbabR=-+-+能成立?()minafx；()()maxafxafx?能成立例1、已知两函数2)(xxf=，mxgx-?=21)(，对任意2,01x，存在2,12x，使得()21)(xgxf，则实数m的取值范围为例2、已知两函数()2728fxxxc=-，()322440gxxxx=+-。1对任意3,3x-，都有()()fxgx)成立，务实数c的取值范围；2存在3,3x-，使()()fxgx成立，务实数c的取值范围；3对任意12,3,3xx-，都有()()12fxgx，务实数c的取值范围；4存在12,3,3xx-，都有()()12fxgx，务实数c的取值范围；