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1、 学习数学，领悟数学，秒杀数学。 第五章 导数秒杀秘籍：关于抽象函数构造之与定理1：；证明：；，则函数单调递增；，则单调递减定理2：当时，；证明：；，则函数单调递增；，则单调递减专题1 抽象函数的导函数构造【例1】（2015新课标II）设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（）A BCD【例2】（2018东莞市期末）已知奇函数的导函数为，且，当时恒成立，则使得成立的的取值范围为（ ）A BCD【例3】（2018福建期末）设函数，的导函数为，且满足，则（ ）A BCD不能确定与的大小【例4】（2018辽宁期末）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（
2、）A BCD秒杀秘籍：关于定理3：；证明：， ，则；反之；,则；反之定理4：由于；证明：；，则，反之；若，则，反之【例5】（2018咸阳期末）已知是可导函数，且对于恒成立，则（ ）A B，C，D，【例6】（2018长沙期末）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，则下列判断一定正确的是（ ）A BCD【例7】（2018南昌期末）已知函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（ ）A BCD【例8】定义在上的函数满足：且，其中是的导函数，则不等式的解集为（）A BCD秒杀秘籍：关于或定理5：正弦同号，余弦反号定理；当记忆方法：看，遇正切时化切为弦，请自己证明相关结论【例9】（2018玉林期末）
3、已知为函数的导函数，当是斜率为的直线的倾斜角时，若不等式恒成立，则（ ）A BCD【例10】（2016河南模拟）已知函数对任意的，满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A BCD【例11】（2018武汉月考）定义在上的函数的导函数为，且对都有，则（ ）A BCD秒杀秘籍：xlnx也来吆喝定理6：记忆方法：将式子全部转化为形式，首先满足导数构造中加乘减除符号不变性，若括号内无则是；若括号内是，则是；若括号内是，则是证明过程略，请读者自己证明即可，此类型题目均为客观题【例12】（2019九江一模）定义在上的函数的导函数为，且对都有，则（ ）A BCD秒杀秘籍：非对称的构造定理7：平
4、移模型：倍数模型：奇偶模型：为奇函数；为偶函数（为奇函数）【例13】（2018广州期末）定义在上的可导函数，当时，恒成立，则，的大小关系为（）A BCD【例14】（2018广东模拟）若定义在上的函数满足，则不等式的解集为 【例15】（2018成都期末）已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当，时，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ）A BCD【例16】（2018太原期末）已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ）A BCD秒杀秘籍：积分来凑定理8： （参考定理4） 【例17】（2018哈尔滨月考）设函数在上的导函数为，且，则下面的不
5、等式在上恒成立的是（ ）A BCD【例18】（2018咸阳模拟）已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），则（ ）A BCD【例19】（2018重庆期中）已知定义在上的函数的导函数为，（1），且对任意，恒成立，若，则实数的取值范围是（ ）A BCD专题2 构造比大小比秒杀秘籍：由引出的大小比较问题 如右图， 图像性质，有以下结论：（1）在区间上单调递增，在区间单调递减；当时，取得最大值；（2）极大值左偏，（3）关于与，当时，当时，；口诀：大指小底。（大于看指数大，小于看底数大）证明：（1）函数的定义域为，时，故在，；（2） ，注意：只能比较，或者，之类属于的左边或者右边，涉及
6、左右互换比较与，即比较与的大小，同除以得到与，根据函数的单调性，即可判断【例1】（2017新课标）设、为正数，且，则（ ）A BCD【例2】设，则，的大小关系是（ ）A BCD【例3】设，则，的大小关系是（ ）A BCD【例4】（2011全国联赛河南赛区）若，则，的大小（按从小到大）顺序为 【例5】（2017唐山一模）已知，有如下四个结论：；存在，满足；，则正确结论的序号是（ ）A BCD【例6】（2018衡水金卷）下列四个命题：；其中真命题的个数是（ ）A BCD【例7】（2014湖北）已知为圆周率，为自然对数的底数（1）求函数的单调区间；（2）求，这6个数中的最大数与最小数；（3）将，这6
7、个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论专题3 对数单身狗，指数找基友秒杀秘籍：对数单身狗，指数找基友原理设为可导函数，则有，若为非常数函数，求导式子中含有，这类问题需要多次求导处理这类函数的秒杀技巧是将前面部分提出，就留下这个单身狗，然后研究剩余部分，这类方法技巧叫对数单身狗 设为可导函数，则有，若为非常数函数，求导式子中还是含有，针对此类型，可以采用做商的方法，构造，从而达到简化证明和求最值的目的，总在找属于它的基友，此类方法技巧俗称指数找基友【例1】已知，若在上恒成立，求的最小值【例2】判断零点个数【例3】求证：（1）（2018新课标II卷）（）；（2）；（3）（）【例4】（2016新课
8、标卷）当时，求证：【例5】（2011全国II卷）若不等式在时且时恒成立，求的取值范围【例6】（2016新课标I卷）已知函数有两个零点，求的取值范围【例7】（2018新课标卷）已知函数（1）若，证明：当时，；当时，【例8】（2017新课标卷）已知函数，且（1）求的值；（2）证明：存在唯一的极大值点，且【例9】（2017新课标卷）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【例10】（2014辽宁卷）已知函数（1）证明：存在唯一，使得；（2）证明：存在唯一使，且对（1）中有专题4 破解洛必达法则之隐零点护航法 秒杀秘籍：洛必达(LHopital)法则 洛必达法则在一定情况下通过分子
9、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，对于处理一类含参数不等式恒成立的导数问题有一定的作用洛必达法则1：设，存在，且，存在，则洛必达法则2：设，存在，且，存在，则洛必达法则的应用：若，令，此时，故，故当时恒成立若恒成立，令，此时，故，故当时恒成立。注意：求导直到分母为非零数；分母不为零后，不能再求导；出现繁分式一定要化简【例1】（2010新课标卷）设函数对恒成立，求实数a的取值范围【例2】（2016新课标卷）已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若当时，求的取值范围【例3】（2015山东）设函数，其中（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，成立，求的取值范围 秒杀秘籍：
10、泰勒麦克劳林冥级数展开式与放缩法的麦克劳林（Maclaurin）展开式：当时，有，即将式中用替换，可得综上可推出三个加强型不等式：； 中等号当仅当时成立 【例4】（2010全国卷）设函数（1）证明：当时，；（2）设当时，求的取值范围 【例5】（2015北京卷）已知函数（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）求证，当时，；（3）设实数使得对恒成立，求的最大值【例6】（2017新课标）设函数（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围【例7】（2018新课标）已知函数（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求【例8】（2019合肥一模）已知函数（，是自然对数的底数）（1）设（其中是的导
11、数），求的极小值；（2）若对，都有成立，求实数的取值范围专题5 利用零点比大小秒杀参数取值范围秒杀秘籍：零点比大小问题秒杀双参数取值范围恒成立，求的最值和取值范围；恒成立，求的最值和取值范围如下图1所示，通常的方法是构造函数，则时，从而达到解决此类型的目的，这种解答方法适合解答题，但此类型题目出现在选择题第12题的几率更大，常规思路由于计算量大，对一道客观题来说没必要，故需要采纳一些高观点低运算的方法，此类型可以利用数形结合的思想，如图2所示，通常是一个凹函数（），意味着与相切时即恒成立，是直线和轴的交点，记为，故此类型题可以将的唯一零点求出，满足即可 图1 图2 图3 图4同理，在比较时，也
12、是一类型转化，此时为凸函数（），也将图3的方案转化为图4，构造；四个图中的虚线直线是不可能满足题目要求的，此类方法叫做零点比大小【例1】（2018宁波期末）已知直线的图象恒在曲线的图象上方，则的取值范围是（ ）A BCD【例2】（2018长沙二模）已知函数，若不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）A BCD【例3】已知对恒成立，则的最小值为 【例4】已知恒成立，则的最大值为 ；当取最大值时，的值为 【例5】（2017深圳一模）在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当时，实数的最小值是 【例6】（2015泰兴期末）若直线是函数图象的切线，则的最小值为 【例7】（2018苏州期末）已知是函数的切线
13、，则的最小值为 【例8】（2018苏州期末）已知，函数，若存在一条直线与曲线和均相切，则使不等式恒成立的最小整数的值是 秒杀秘籍：构造零点比大小问题秒杀指对跨阶型单参数问题在一些定义域为人为设计无零点，比如指数函数，需要通过构造并凑出零点，方法通常是指对互换（反函数代换法），换元法，将转换成，构造出定义域端点为零点后，再利用数形结合，解出参数的取值范围，通常以形式出现1若（已知），则构造，利用2，两函数一定关于对称，如图5则考虑极限情况，公切线一定是，当时，恒成立，且切点为；当在区间恒成立，且，则边界就是取得最小值的点，如图6找点法则通常是不考虑区间找出临界值，再考虑区间来分析端点值 图5 图
14、6 【例9】（2018长郡月考）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 【例10】对于任意的，不等式（，且）恒成立，则的取值范围是 【例11】（2018武邑期中）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 【例12】设，若，不等式恒成立，则的最小值为 专题6 指对跨阶系列一之改头换面分而治之秒杀秘籍：改头换面，常见放缩，将和同时放缩成直线，这种方法叫做改头换面。如图所示，此时取等条件都相同，原因是他们在处的切线平行；恒成立，则整数的最大值为2，无法取等（图3）；当，无法恒成立 图1 图2 图3 图4【例1】（2013新课标）已知函数（1）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（2）当时，证明
15、【例2】若（其中且，证明：秒杀秘籍：与改头换面；（利用）；这一系列放缩的取等条件就是，或者；（利用）；这一系列放缩的取等条件就是，或者；（利用），这一系列放缩的取等条件就是，或者【例3】（2018江苏期末）函数的最小值为 【例4】（2018长沙模拟）已知对于任意的恒成立，则的取值范围是 【例5】（2019深圳月考）已知对于任意的恒成立，则的最大值为（ ）A BCD【例6】（2019湖北襄阳模拟）已知有两个零点，则的取值范围是 秒杀秘籍：指对跨阶之分而治之要证明恒成立，通常方法是构造，求出的最小值，证明其大于零，但很多题往往最小值很难求出，属于隐零点问题，但，虽然他们取等条件不一致，但也足够证明
16、，故此类方法叫做分而治之。 图5 图6 图7 例：以图5和图6为例，可命题恒成立（图7）【例7】（2018南昌二模）已知函数，（1）对一切，恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：对一切都有成立【例8】（2014全国卷I）设函数，曲线在点处的切线方程为.（1） 求，的值；（2）证明：【例9】（2016山东卷）已知，（1）讨论的单调性；（2）当时，证明对于任意的成立专题7 指对跨阶系列二之同构式构造秒杀秘籍：同构式问题构造xex与xlnx 我们发现，在，而在，在，在考查同构式的类型中，构造来求取值范围，构造来判断零点个数及分布；同构式模型：，；【例1】对于任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是 【
17、例2】（2018长郡月考）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 【例3】对，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）A BCD【例4】（2018武邑期中）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 【例5】（2019衡水金卷）易知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值是（ ） A BCD【例6】（2019武汉调研）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A BCD【例7】已知方程有3个实根，则实数的取值范围是 秒杀秘籍：放对再放指，常数是关键关于指对跨阶，由于属于递增过快，若不是存在或者之类的可以直接消除对数的，一般考虑对递增较慢的进行放缩，但在区间内重点考虑切线放缩，
18、通常放缩有：；（取等条件）；（取等条件）；（取等条件）； （取等条件）；（取等条件以及，和根据找基友证明）【例8】（2019榆林一模）已知不等式，对于任意的恒成立，则的最大值 【例9】（2019重庆巴蜀月考）已知（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若，求证：.【例10】（2018甘肃会宁）已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）证明：专题8 对数平均不等式的应用两个正数和的对数平均定义：，对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为 对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立只证：当时，可设，（I）先证：不等式构造函数，则.因为时，所以函数在上单调递减，故，从而不等式成立；（II）
19、再证： 不等式构造函数，则.因为时，所以函数在上单调递增，故，从而不等式成立；综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立秒杀秘籍 利用定积分秒杀对数平均不等式证明（理）如右图1所示，在反比例函数上任取两点，点为在双曲线上的中点，轴交其于，轴交其于，过作双曲线切线交和于两点，根据，即如右图2所示，在上任取两点，轴交其于，轴交其于，根据 ，即题型一 指数换对数的证明极值偏移问题【例1】（2010天津卷）已知函数，如果且，证明：【例2】已知，是函数的两个零点，且，其极值点为（1）求a的取值范围；（2）求证：；（3）求证：；（4）求证：. 题型二 符号反向用加法原理若出现或
20、者时，属于正常的作差代换，构造出，由模型一即可秒杀，遇到或者时，属于对数平均不等式反向，这就需要将两式相减先构造对数平均不等式，再相加实现和积互换，从而达到证明反向不等式【例3】已知函数，如果且，求证：【例4】已知，（）有两个根，求证：题型三 中点导数问题点差法题目给到，涉及证明或者时，利用分析法执果索因，将式子证明最后转交给对数平均不等式，方法类似圆锥曲线点差法（作差，同除，取中点）；当出现、之类题型时，要转化为，也属于对数点差法系列【例5】（2011辽宁卷）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若函数的图像与轴交于，两点，线段的中点的横坐标为，证明：【例6】（2018全国卷I）已知函数.（1）
21、讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：题型四 作差求和取对数三板斧非一次函数的形式，由与二次函数混合的函数，先作差得出，再两边取对数，构造对数平均不等式，在证明或者，往往用反证法减少运算；对于这类不好分离的式子，又要和差齐下。必要时要考虑换元法解决之类的问题【例7】（2016新课标I卷）已知函数有两个零点.（1）求的取值范围； （2）证明：.【例8】已知函数与直线交于，两点.（1） 求证：；（2）证明：【例9】已知，若有两个不等实根，求证：专题9 数形结合秒杀公切线秒杀秘籍：公切线的几何探秘与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点凹凸性相同的两曲线，在两个曲线，
22、时，两个函数均为凹函数，且，时均在递增区间，如图1，若与无交点，可以类比圆的外公切线，当小圆内含于大圆时，无公切线若与有唯一交点时，如图2所示，可以类比于当小圆与大圆内切时，有唯一的外公切线若与有两个交点时，如图3所示，可以类比于当小圆与大圆相交时，有两条外公切线 图1无公切线 图2有一条公切线 图3两条公切线题型一 切线与一曲线的切点已知，且与另一曲线相切，求另一曲线方程【例1】（2017许昌二模）已知函数在点处的切线，若直线与二次函数的图象也相切，则实数的取值为（）A BCD【例2】已知函数 ，且的图象在处的切线与曲相切，符合情况的切线有（ ）A BCD秒杀秘籍：公切线的几何探秘 图4无公
23、切线 图5有一条公切线 图6有两条公切线 同理，凹凸性不同的两条曲线，在两个曲线为凹函数，为凸函数时，且，均在递增区间，如图4，若与有两焦点，可以类比圆的内公切线，当两圆相交时，无内公切线；若与有唯一交点时，如图5所示，可以类比于当两圆外切时，有唯一的内公切线若与无交点时，如图6所示，可以类比于当两圆相离时，有两条内公切线公切线定理代数表达：当与具有公切线时，设直线与切于点与切于点当与切于同一点，设切点为，则有当与为平行曲线，即，则有公切线方程的等量关系，求参数取范围或者切点的取值范围题型2 平行曲线公切线问题两平行曲线由于曲率相同，通常单调性单一的两曲线仅有一个交点，故只有一条公切线，类比于
24、两圆的单边外公切线模型 图7凸函数 图8凹函数【例3】（2018邹城期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的值是（ ）A BCD【例4】（2018青山月考）若直线与曲线和曲线同时相切，则（ ）A BCD题型三 两曲线公共点公切线问题当与切于同一点，设切点为，则有，从而确定参数的取值范围【例5】（2018攀枝花期末）若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线， 则实数的值为（ ）A BCD【例6】（2017太原一模）设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为（ ）A BCD【例7】（2014盐城期末）设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最
25、大值为（ ）A BCD题型四 两曲线公切线存在性判断和参数取值范围问题【例8】（2018高安期末）若曲线与曲线（其中无理数存在公切线，则整数的最值情况为（ ）A最大值为2，没有最小值 B最小值为2，没有最大值C既没有最大值也没有最小值D最小值为1，最大值为2【例9】（2018北京模拟）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是 题型五 不切于同一点的两曲线，已知公切线切一曲线的范围，求切于另一条曲线的范围公切线方程的等量关系：【例10】已知曲线yx2+1在点P处的切线为l，若l也与函数的图象相切，则x0满足（ ）（其中）A BCD【例11】（2017鄂尔多斯期中）已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（ ）A， BC，D【例12】（2018葫芦岛一模）若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数的取值范围为（ ）A BCD42