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1、& 1. 泰勒泰勒(ti l)展开定理展开定理& 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性& 3. 简单初等函数的泰勒简单初等函数的泰勒(ti l)展开式展开式4.3 泰勒(ti l)(Taylor)级数第1页/共47页第一页，共48页。1. 泰勒泰勒(Taylor)展开展开(zhn ki)定理定理现在研究与此相反的问题(wnt)：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函数在解析点能否用幂级数表示？）由4.24.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理(dngl)给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。第2页/共47
2、页第二页，共48页。定理（泰勒(ti l)展开定理）级数的处在Taylorzzf0)(Dk 0z分析(fnx)：代入(1)得第3页/共47页第三页，共48页。Dk 0zz第4页/共47页第四页，共48页。-(*)得证！第5页/共47页第五页，共48页。证明(zhngmng)(不讲)第6页/共47页第六页，共48页。(不讲)第7页/共47页第七页，共48页。证明(zhngmng)(不讲)第8页/共47页第八页，共48页。A 000,)()()(zRzfzRTalorzzfzf即即之间的距离,之间的距离,的最近的一个奇点的最近的一个奇点到到等于从等于从展开式的收敛半径展开式的收敛半径的的在解析点在
3、解析点那么那么有奇点,有奇点,若若(1)(1)第9页/共47页第九页，共48页。2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是(jish)它的Taylor级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否(sh fu)唯一？事实上，设f (z)用另外(ln wi)的方法展开为幂级数:第10页/共47页第十页，共48页。由此可见，任何解析函数(hnsh)展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。-直接(zhji)法-间接(jin ji)法代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：第1
4、1页/共47页第十一页，共48页。3. 简单简单(jindn)初等函数的泰勒展开式初等函数的泰勒展开式.0cos,sin,)(展展开开式式的的在在求求Talorzzzezfz 例1 解第12页/共47页第十二页，共48页。第13页/共47页第十三页，共48页。A 上述上述(shngsh)求求sinz, cosz展开式的方法即为间接法展开式的方法即为间接法.例2 把下列函数(hnsh)展开成 z 的幂级数:解1111)1(2 zzzzzn第14页/共47页第十四页，共48页。(2)由幂级数逐项求导性质(xngzh)得：第15页/共47页第十五页，共48页。A(1)另一方面，因另一方面，因ln(1
5、+z)在从在从z=-1向左沿负向左沿负A实轴剪开的平面实轴剪开的平面(pngmin)内解析，内解析， ln(1+z)离原点最近的一离原点最近的一A个奇点是个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为它的展开式的收敛范围为z1.第16页/共47页第十六页，共48页。定理(dngl)第17页/共47页第十七页，共48页。第18页/共47页第十八页，共48页。& 1. 预备预备(ybi)知识知识& 2. 双边幂级数双边幂级数& 3. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数& 4. 展开式的唯一性展开式的唯一性4.4 罗朗(Laurent)级数(j sh)第19页/共47页第十九页，共48页。 由4.3 知
6、, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 z - z0R 内展开(zhn ki)成 z - z0 的幂级数。若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开(zhn ki)成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1z - z0R2 内解析，那么，f (z)能否用级数表示呢？例如(lr)， nzzzzz2111第20页/共47页第二十页，共48页。由此推想，若f (z) 在R 1 z - z0 R2 内解析, , f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz第
7、21页/共47页第二十一页，共48页。 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算(j sun)留数的基础。第22页/共47页第二十二页，共48页。1. 预备预备(ybi)知识知识Cauchy 积分(jfn)公式的推广到复连通域-见第三章第18题Dz0R1R2rRk1k2D1z dzfidzfizfkk 12)(21)(21)(第23页/共47页第二十三页，共48页。2. 双边双边(shungbin)幂级数幂级数-含有(hn yu)正负幂项的级数定义(dngy) 形如-双边幂级数正幂项(包括常数项)部分：负幂项
8、部分：第24页/共47页第二十四页，共48页。级数(2)是一幂级数，设收敛半径(bnjng)为R2 ， 则级数在z - z0=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在z - z0=R 2外发散。 第25页/共47页第二十五页，共48页。z0R1R2z0R2R1。且和且和收敛收敛称称，此时，此时，区域即圆环域：区域即圆环域：有公共收敛有公共收敛及及时，级数时，级数当且仅当当且仅当 )()()(,)()3()2(020121zszszszzcRzzRRRnnn第26页/共47页第二十六页，共48页。A (2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界(binji)(binji)z - z0z - z0=R1,
9、 =R1, z - z0z - z0=R2=R2上上, ,第27页/共47页第二十七页，共48页。3. 函数函数(hnsh)展开成双边幂级数展开成双边幂级数定理(dngl)级级数数内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 展展开开式式内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 第28页/共47页第二十八页，共48页。证明(zhngmng) 由复连通域上的Cauchy 积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z记为I1记为I2第29页/共47页第二十九页，共48页。第30页/共47页第三十页，共48页。式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1
10、上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理(dngl)可将cn写成统一式子：证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。第31页/共47页第三十一页，共48页。A (2) (2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)f (z)在奇点在奇点 z0 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f (z)f (z)展成级数展成级数(j (j sh)sh)，那么，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（ Laurent Laurent ）级数）级数(j sh)(j sh)来展开。来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分
11、和主要部分。第32页/共47页第三十二页，共48页。4. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论(jiln) 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数。事实上，Dz0R1R2c第33页/共47页第三十三页，共48页。Dz0R1R2c第34页/共47页第三十四页，共48页。A 由唯一性，将函数展开由唯一性，将函数展开(zhn ki)成成Laurent级数，可级数，可A用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方A法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开展开(zhn ki)式，只有式
12、，只有A在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系A数的方法。数的方法。例1解第35页/共47页第三十五页，共48页。例2解例3解第36页/共47页第三十六页，共48页。例4xyo12xyo12 ziii 2)(xyo12第37页/共47页第三十七页，共48页。解:没有奇点第38页/共47页第三十八页，共48页。第39页/共47页第三十九页，共48页。注意(zh y)首项第40页/共47页第四十页，共48页。(2)(2)对于有理对于有理(yul)(yul)函数的洛朗展开式，首先把函数的洛朗展开式，首先把有理有理(yul)(yul) 函数分解成多项式与若
13、干个最简分式之和，然后函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。小结：把小结：把f (z)f (z)展成洛朗展成洛朗( Laurent )( Laurent )级数级数(j (j sh)sh)的方法：的方法：第41页/共47页第四十一页，共48页。解 (1) 在(最大的)去心邻域(ln y)例5yxo12第42页/共47页第四十二页，共48页。 (2) 在(最大的)去心邻域(ln y)xo12内内展展开开成成幂幂级级数数。在在区区域域将将 10)2(, 1)1(11)(zzezzfz练习：第43页/共47页第四
14、十三页，共48页。A (2)(2)根据根据(gnj)(gnj)区域判别级数方式：区域判别级数方式：在圆域内需要把在圆域内需要把 f (z) f (z) 展成泰勒展成泰勒(Taylor)(Taylor)级级数，数，在环域内需要把在环域内需要把f (z)f (z)展成洛朗展成洛朗( Laurent )( Laurent )级级数。数。第44页/共47页第四十四页，共48页。A (3) Laurent级数与级数与Taylor 级数的不同点：级数的不同点： Taylor级数先展开求级数先展开求R, 找出收敛找出收敛(shulin)域。域。 Laurent级数先求级数先求 f(z) 的奇点，然后以的奇点
15、，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远到无穷远 点的所有使点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成解析的环，在环域上展成 级数。级数。第45页/共47页第四十五页，共48页。作业(zuy) P143 12(1)(3),16(2)(3)第46页/共47页第四十六页，共48页。感谢您的观看(gunkn)！第47页/共47页第四十七页，共48页。NoImage内容(nirng)总结1. 泰勒展开定理。第1页/共47页。定理（泰勒展开定理）。第3页/共47页。由展开式的唯一性，运用级数的代数(dish)运算、分。实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一。正幂项(包括常数项)部分：。式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为。洛朗级数的解析部分和主要部分。z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么。第46页/共47页。感谢您的观看第四十八页，共48页。