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1、 在在3.63.6我们证明了在我们证明了在D D内的解析函数内的解析函数, ,其导数其导数仍为解析函数仍为解析函数, ,所以所以(suy)(suy)解析函数有任意阶导数。本节解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。的关系。内内 容容 简简 介介3.7 解析(ji x)函数与调和函数的关系第1页/共47页第一页，共48页。.),()00:),(2222内内的的调调和和函函数数为为则则称称即即（方方程程续续偏偏导导数数且且满满足足内内具具有有二二阶阶连连在在若若二二元元实实变变函函数数DyxyxLaplaceDyx 定义
2、定义内的调和函数。内的调和函数。是是，内解析内解析在区域在区域若若DyxvvyxuuDyxivyxuzf),(),(),(),()( 定理定理第2页/共47页第二页，共48页。证明：设证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域(qy)D内解析，则内解析，则第3页/共47页第三页，共48页。即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:.),(),(D,),(的的共共轭轭调调和和函函数数为为函函数数内内构构成成解解析析函函数数的的调调和和在在称称使使得得内内的的调调和和函函数数为为设设yxuyxvivuDyxu 定义定义第4页/共47页第四页，共
3、48页。上面定理上面定理(dngl)说明：说明：.部部的的共共轭轭调调和和函函数数内内解解析析函函数数的的虚虚部部是是实实D由解析由解析(ji x)的概念得：的概念得：.,:的的共共轭轭调调和和函函数数必必为为调调和和函函数数的的两两个个方方程程内内满满足足在在uvvuvuvuRCDxyyx ., 一一定定解解析析内内就就不不在在则则内内的的两两个个调调和和函函数数区区域域是是任任意意选选取取的的在在若若DivuDvu 现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：第5页/共47页第五页，共48页。.的的共共轭轭调调和和函函数数不不是是yxuyxv 如如),(yxv虚部虚部),(yxu实部实部第
4、6页/共47页第六页，共48页。第7页/共47页第七页，共48页。.)(),()(,),( 内解析内解析在在使得使得式所确定的式所确定的则则内调和函数内调和函数在单连通在单连通设设DivuzfyxvDyxu 定理定理第8页/共47页第八页，共48页。A 公式不用强记(qin j)！可如下推出：类似类似(li s)地，地，然后然后(rnhu)两端积分得，两端积分得，第9页/共47页第九页，共48页。A 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际A问题中都有重要应用(yngyng)。本节介绍了调和函数与解A析函数的关系。第10页/共47页第十页，共48页。例例1解解曲线曲线(qxin)积分法积分法第11
5、页/共47页第十一页，共48页。故故2)21()(211)21(1)(22izizfciiciiiif 代代入入上上式式得得，A )(21),(21zziyzzx 第12页/共47页第十二页，共48页。又解又解凑凑全全微微分分(wi fn)法法第13页/共47页第十三页，共48页。又解又解偏偏积积分分(jfn)法法第14页/共47页第十四页，共48页。又解又解不不定定(bdng)积积分分法法第15页/共47页第十五页，共48页。& 1. 复数复数(fsh)列的极列的极限限& 2. 级数的概念级数的概念第第 四四 章章 级级 数数CH44.1 复数(fsh)项级数第16页/共47页第十六页，共4
6、8页。 1. 复数复数(fsh)列列的极限的极限定义定义(dngy)，iba 又设复常数：时时的的极极限限，当当称称为为复复数数列列那那么么，恒恒有有若若 nNnNnn, 0, 0 定理1.lim,limlimbbaannnnnn 证明证明 nnnNnN恒恒有有即即，”已已知知“, 0, 0lim第17页/共47页第十七页，共48页。第18页/共47页第十八页，共48页。2. 级数级数(j sh)的概念的概念级数级数(j sh)的前面的前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和称为级数的和称为级数的和ssnn lim称称为为收收敛敛级级数数 1nn 不收敛不收敛(shulin)称称为为发发散
7、散级级数数 1nn -无穷级数无穷级数定义定义), 2 , 1( nibannn 设复数列：设复数列： 收收敛敛若若部部分分和和数数列列ns第19页/共47页第十九页，共48页。例1解解定理(dngl)2证明(zhngmng)第20页/共47页第二十页，共48页。A 由定理由定理2，复数，复数(fsh)项级数的收敛问题可归之为项级数的收敛问题可归之为A 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。收收敛敛的的必必要要条条件件级级数数 1nn 性质性质定理3.1111 nnnnnnnn 收收敛敛，且且收收敛敛若若证明(zhngmng)第21页/共47页第二十一页，共48页。A ?定义(d
8、ngy)由定理由定理3的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式:22有有nnnnbaba 定理4都都收收敛敛。和和收收敛敛级级数数 111nnnnnnba 第22页/共47页第二十二页，共48页。解解.)1(111)1(1121发发散散收收敛敛，发发散散， nnnninnn例2第23页/共47页第二十三页，共48页。例3解练习(linx)：第24页/共47页第二十四页，共48页。& 1. 幂级数的概念幂级数的概念(ginin)& 2. 收敛定理收敛定理& 3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径& 4. 收敛半径的求法收敛半径的求法& 5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 幂级数第2
9、5页/共47页第二十五页，共48页。1. 幂级数的概念幂级数的概念(ginin)定义定义(dngy)设复变函数设复变函数(hnsh)列：列：-称为复变函数项级数称为复变函数项级数级数的最前面级数的最前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和,)1()(lim),(,)1(),()(lim000000发发散散不不存存在在，称称级级数数其其和和为为收收敛敛在在称称级级数数若若zszszzszsDznnnn 第26页/共47页第二十六页，共48页。若级数若级数(j sh)(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数-级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(
10、1)中中得得nnnzzczf)()(0 称为幂级数称为幂级数第27页/共47页第二十七页，共48页。2. 收敛收敛(shulin)定理定理同实变函数同实变函数(hnsh)一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理(dngl)1 (阿贝尔(Able)定理(dngl)）.,)0(000级级数数必必绝绝对对收收敛敛的的则则对对满满足足收收敛敛在在若若级级数数zzzzzzcnnn .,00级级数数必必发发散散的的则则对对满满足足发发散散若若级级数数在在zzzzz 第28页/共47页第二十八页，共48页。证明(zhngmng)第29页/共47页第二十九页，共48页。(2
11、)用反证法，用反证法，3. 收敛收敛(shulin)圆与收敛圆与收敛(shulin)半径半径由由Able定理定理(dngl)，幂级数的收敛范围不外乎下述，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有若对所有(suyu)正实数都收敛，级数正实数都收敛，级数(3)在复平面在复平面上处处收敛。上处处收敛。(ii )除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。第30页/共47页第三十页，共48页。显然显然(xinrn)， 否则，级数(j sh)(3)将在处发散。将收敛部分染成红色
12、，发散将收敛部分染成红色，发散(fsn)(fsn)部分染成蓝色，部分染成蓝色，逐渐变大，逐渐变大，在在c c内部都是红色内部都是红色, ,逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都是蓝色，外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。红、蓝色不会交错。故故 播放第31页/共47页第三十一页，共48页。RRc第32页/共47页第三十二页，共48页。A (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外A部发散部发散(fsn)，在圆周上可能收敛可能发散，在圆周上可能收敛可能发散(fsn)，具体问题，具体问题A要具体分析。要具体分析。定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cR叫做
13、幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为中心为中心(zhngxn)，半径为，半径为R的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范围是以z0为中心为中心(zhngxn),半径半径为为R的圆域的圆域.第33页/共47页第三十三页，共48页。4. 收敛收敛(shulin)半径的求法半径的求法 定理2(比值法) 000/1lim1Rccnnn，则，则若若zzcczczcinnnnnnnn 111limlim, 0)(证明第34页/共47页第三十四页，共48页。第35页
14、/共47页第三十五页，共48页。 定理3(根值法) 000/1limRcnnn，则，则若若第36页/共47页第三十六页，共48页。 定理3(根值法) 000/1limRcnnn，则，则若若 定理2(比值法) 000/1lim1Rccnnn，则，则若若第37页/共47页第三十七页，共48页。例1解解 综上综上第38页/共47页第三十八页，共48页。例2 求下列(xili)幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1),1时时当当 z,1时时当当 z,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2该级数在收敛该级数在收敛(shulin
15、)圆上是处处收敛圆上是处处收敛(shulin)的。的。第39页/共47页第三十九页，共48页。 综上综上该级数(j sh)发散。该级数(j sh)收敛，第40页/共47页第四十页，共48页。.)ln()3(1nninz 故该级数故该级数(j sh)在复平面上是处处收敛在复平面上是处处收敛的的.第41页/共47页第四十一页，共48页。5. 幂级数的运算幂级数的运算(yn sun)和性质和性质q代数代数(dish)运算运算-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算(yn sun)-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算第42页/共47页第四十二页，共48页。-幂级数的代换幂级数的代换(di hun)(复合复
16、合)运算运算A 幂级幂级A数的代换数的代换(di hun)运运A算在函数展算在函数展A成幂级数中成幂级数中A很有用很有用.例3解代换代换第43页/共47页第四十三页，共48页。解代换代换展开展开还原还原第44页/共47页第四十四页，共48页。q分析分析(fnx)运算运算定理(dngl)4-幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算(yn sun)-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算第45页/共47页第四十五页，共48页。 作业(zuy) P103 30(1)(2),31 P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)第46页/共47页第四十六页，共48页。感谢您的观看(gunkn)！第47页/共47页第四十七页，共48页。NoImage内容(nirng)总结在3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数。在3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数。仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。第1页/共47页。第2页/共47页。第3页/共47页。第4页/共47页。级数的前面n项的和。3. 收敛圆与收敛半径。级数的最前面n项的和。部分染成蓝色，逐渐变大，。小，在c外部都是蓝色，。部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体(jt)问题。定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的。感谢您的观看第四十八页，共48页。