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1、& 1. 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念(ginin)& 2. 积分计算公式积分计算公式3.4 原函数与不定积分(b dn j fn)第1页/共30页第一页，共31页。 1. 原函数与不定积分原函数与不定积分(b dn j fn)的概念的概念 由2基本定理的推论知：设f (z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C, 积分c fdz与路径无关，只与起点和终点(zhngdin)有关。 当起点(qdin)固定在z0, 终点z在B内变动,c f (z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理 设f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且)()( zfzF 第2页
2、/共30页第二页，共31页。定义 若函数 (z) 在区域B内的导数等于f (z) ，即 ,称 (z)为f (z)在B内的原函数. )()( zfz zzdfzF0)()( 上面定理表明 是f (z)的一个原函数。设H (z)与G(z)是f (z)的任何(rnh)两个原函数，这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数。( (见第二章见第二章2 2例例3)3)第3页/共30页第三页，共31页。2. 积分积分(jfn)计算公式计算公式定义 设F(z)是f (z)的一个(y )原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f (z)的不定积分，记作定理 设f (z)在单连通区域(qy)B内解析， F(z
3、)是f (z)的一个原函数，则),()()()(100110BzzzFzFdzzfzz A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.A 但是要求函数是但是要求函数是解析解析的的,比以前的比以前的连续连续条件要强条件要强第4页/共30页第四页，共31页。例1 计算下列(xili)积分：解1) 32|1211,00Re1331222izdzzzzziiC 故故上解析上解析，在在第5页/共30页第五页，共31页。解2)第6页/共30页第六页，共31页。例3 计算(j sun)下列积分：第7页/共30页第七页，共31页。小结小结(xioji) (xioji)
4、求积分的方法求积分的方法第8页/共30页第八页，共31页。 利用Cauchy-Goursat基本(jbn)定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.内内 容容 简简 介介3.5 Cauchy积分(jfn)公式第9页/共30页第九页，共31页。分析(fnx)DCz0C1第10页/共30页第十页，共31页。)0(01可可充充分分小小 zzzCDCz0C1猜想(cixing)积分第11页/共30页第十一页，共31页。定理(dngl)(Cau
5、chy 积分公式)证明(zhngmng)第12页/共30页第十二页，共31页。第13页/共30页第十三页，共31页。A 第14页/共30页第十四页，共31页。A 一个解析一个解析(ji x)(ji x)函数在圆心处的值等于它在函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值圆周上的平均值. .第15页/共30页第十五页，共31页。例1解第16页/共30页第十六页，共31页。例2解CC1C21xyo第17页/共30页第十七页，共31页。例3解 第18页/共30页第十八页，共31页。内内 容容 简简 介介 本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各
6、阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过(tnggu)积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。6 解析函数(hnsh)的高阶导数第19页/共30页第十九页，共31页。形式(xngsh)上，以下将对这些公式的正确性加以(jiy)证明。第20页/共30页第二十页，共31页。定理(dngl)证明(zhngmng) 用数学归纳法和导数定义。第21页/共30页第二十一页，共31页。令为I第22页/共30页第二十二页，共31页。第23页/共30页第二十三页，共31页。依次(yc)类推，用数学归纳法可得第24页/共30页第二十四页，共31页。一个解析(ji x)函数的导数仍为解析(ji x)函数。第25页/
7、共30页第二十五页，共31页。例1iizidzzzzzC12)(! 42)(cos!152)1(coscos)1541)4(5 ）（在全平面处处解析在全平面处处解析解第26页/共30页第二十六页，共31页。第27页/共30页第二十七页，共31页。第28页/共30页第二十八页，共31页。作业(zuy) P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2) 9(3)(5)第29页/共30页第二十九页，共31页。感谢您的观看(gunkn)！第30页/共30页第三十页，共31页。NoImage内容(nirng)总结1. 原函数与不定积分的概念(ginin)。第3页/共30页。任意常数)为f (z)的不定积分，记作。此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.。但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强。例1 计算下列积分：。例3 计算下列积分：。小结 求积分的方法。的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解。析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析。第9页/共30页。一个解析函数在圆心处的值等于它在。第29页/共30页。感谢您的观看第三十一页，共31页。