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1、1一、重点(zhngdin)与难点重点重点(zhngdin)：难点难点(ndin)：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数第1页/共29页第一页，共30页。2复数复数(fsh)项级数项级数函数函数(hnsh)项级数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级数幂级数收敛收敛(shulin)(shulin)半径半径R R复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质解解析析在在0)(zzf为复常数为复常数 收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数列复数列收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数泰勒级数洛朗级数洛朗级数)(zfann为函数为函数第2页/共29页第二页，共30页。31.1.
2、复数(fsh)(fsh)列 , 0 数数相相应应地地都都能能找找到到一一个个正正如如果果任任意意给给定定 , ),(时成立时成立在在使使NnNn 记作记作NoImage , 为为一一确确定定的的复复数数又又设设iba设an(n=1,2,.)an(n=1,2,.)为一复数(fsh)(fsh)列, ,则a称为(chn wi)复数列an当n时的极限,此时也称复数列 n收敛于 .nnlim第3页/共29页第三页，共30页。4 nnn 211表达式表达式称为复数称为复数(fsh)项无穷级数项无穷级数.其最前面 项的和NoImagenns 21称为级数(j sh)的部分和.部分部分(b fen)和和2.2
3、.复数项级数1) 定义定义an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列,第4页/共29页第四页，共30页。52) 复级数的收敛(shulin)与发散0lim1 nnnn 收敛收敛都收敛都收敛与与收敛收敛 111nnnnnnba 充要条件充要条件必要条件必要条件 ,1收敛收敛那末级数那末级数 nn 如果(rgu)部分和数列sn收敛,.,.lim,11发散称为则级数不收敛如果数列为级数的和称并且极限收敛称为则级数nnnnnnnsss第5页/共29页第五页，共30页。6非绝对(judu)收敛的收敛级数称为条件收敛级数.3)复级数的绝对复级数的绝对(judu)收敛与条件收敛收敛与条件收敛如果如果 收
4、敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn .111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba 绝对绝对(judu)收敛收敛 条件收敛条件收敛第6页/共29页第六页，共30页。7例1 下列数列是否收敛? 如果(rgu)收敛, 求出其极限.11)1;2)cosinnneninn第7页/共29页第七页，共30页。8解 1) 因1111cossin111cos,1sin.lim1,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnaben数列收敛,且有第8页/共29页第八页，共30页。92) 由于 an=n cos in=n ch n,因
5、此, 当n时, an. 所以(suy)an发散. 第9页/共29页第九页，共30页。10例2 下列级数(j sh)是否收敛? 是否绝对收敛?10111)1;(8 )2);!( 1)13)2nnnnnninninin第10页/共29页第十页，共30页。11解 1) 因 发散收敛(shulin)故原级数发散.111nnnan2111nnnbn第11页/共29页第十一页，共30页。122) 因 , 由正项级数的比值审敛法知 收敛(shulin),故原级数收敛(shulin), 且为绝对收敛(shulin).(8 )8!nninn18!nnn第12页/共29页第十二页，共30页。133) 因 收敛;
6、也收敛,故原级数(j sh)收敛. 但因为 条件收敛, 所以原级数(j sh)非绝对收敛.1( 1)nnn112nn1( 1)nnn第13页/共29页第十三页，共30页。14)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数称为这级数(j sh)(j sh)的部分和的部分和. . 级数最前面级数最前面项的和项的和n3.复变函数(hnsh)项级数 , ), 2 , 1()( 为一复变函数序列为一复变函数序列设设 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域(qy) D(qy) D内有定义内有定义. .表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数, 记作
7、记作 . )(1 nnzf第14页/共29页第十四页，共30页。154. 幂级数 1) 在复变函数(hnsh)项级数中, 形如.zczczcczcnnnnn 22101的级数(j sh)称为幂级数(j sh).,0时时当当 a 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(第15页/共29页第十五页，共30页。16-阿贝尔阿贝尔Abel定理定理如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收敛收敛, z那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛, 如果如果在在级数发散级数发散, 那末对满足那末对满足的级数必发散级数必发散.满足满足2)收敛定理
8、第16页/共29页第十六页，共30页。17(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收敛的正实数.此时, 级数在复平面(pngmin)内除原点外处处发散.3)3)收敛收敛(shulin)(shulin)圆与收敛圆与收敛(shulin)(shulin)半径半径对于一个幂级数, 其收敛半径(bnjng)的情况有三种:对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处即级数在复平面内处处收敛处收敛.(2) 对所有的正实数除0 z外都发散.第17页/共29页第十七页，共30页。18在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.注意注意xyo. .R收敛圆
9、收敛半径第18页/共29页第十八页，共30页。19例1 求幂级数nnnzzzz201)1( ,1112zzzzzzsnnn的收敛范围(fnwi)与和函数.解 级数实际上是等比级数, 部分和为第19页/共29页第十九页，共30页。20nnnnnnnnnnnzzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111, 1|.,1|,11,1|,11lim, 0lim,1|) 1( ,111并有在此范围内绝对收敛收敛范围为级数发散不趋于零时由于时当和函数为收敛时级数即从而有由于时当第20页/共29页第二十页，共30页。21方法方法(fngf)1: (fngf)1: 比值法比值法方法(fngf)2: 根
10、值法4)4)收敛(shulin)(shulin)半径的求法NoImage那末收敛半径NoImage ., 0; 0,;0,1 R即即, 0lim nnnc如果如果那末收敛半径.1 R第21页/共29页第二十一页，共30页。22例2 求下列幂级数的收敛(shulin)半径1) 31nnzn(并讨论在收敛圆周上的情形); 2) 1(1)nnzn(并讨论 z=0,2 时的情形); 3) 0(cos)nnin z 第22页/共29页第二十二页，共30页。23解 1) 因为31limlim12nnnncncn, 或 3311lim |limlim1nnnnnnncnn 所以收敛半径 R=1, 也就是原级
11、数在圆|z|=1内收敛, 在圆周外发散. 在圆周|z|=1 上, 级数33111nnnznn是收敛的, 因为这是一个 p级数, p=31, 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的. 第23页/共29页第二十三页，共30页。242) 1limlim11nnnncncn, 即 R=1. 在收敛圆|z1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为11( 1)nnn, 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成为11nn, 发散. 这个例子表明, 在收敛圆周上即有级数的收敛点,也有级数的发散点. 第24页/共29页第二十四页，共30页。253) 因为1cosch()2nnncinnee, 所以 111limlim
12、nnnnnnnnceeecee 故收敛半径1Re 第25页/共29页第二十五页，共30页。26.,)(,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 设设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR 5)5)幂级数的运算(yn sun)(yn sun)与性质第26页/共29页第二十六页，共30页。27如果当rz 时,)(0 nnnzazf又设在Rz 内)(zg解析且满足,)(rzg 那末当Rz 时, 0.)()(nnnzgazgf(2)(2)幂
13、级数的代换(di hun)(di hun)(复合) )运算复变幂级数在收敛复变幂级数在收敛(shulin)(shulin)圆内的解析性圆内的解析性 00)(nnnzzc（定理（定理(dngl)四）设幂四）设幂级数级数的收敛半径的收敛半径为为,R那末那末是收敛圆是收敛圆Raz 内的解析函数内的解析函数 .它的和函数它的和函数 00)()(nnnzzczf, )(zf即即(1)第27页/共29页第二十七页，共30页。28(2)(zf在收敛圆在收敛圆Raz 内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, 即即.)()(110 nnnzznczf(3)(zf在收敛圆内可以在收敛圆内
14、可以(ky)逐项积分逐项积分, 即即 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf或或NoImage第28页/共29页第二十八页，共30页。29感谢您的观看(gunkn)！第29页/共29页第二十九页，共30页。NoImage内容(nirng)总结1。复 变 函 数。设an(n=1,2,.)为一复数列,。其最前面 项的和。an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列,。非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.。绝对收敛 条件收敛。解 1) 因。2) 由于 an=n cos in=n ch n,因此(ync), 当n时, an. 所以an发散.。3) 因 收敛。感谢您的观看第三十页，共30页。