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1、& 1. 解析函数解析函数(hnsh)的充的充要条件要条件& 2. 举例举例2.2 解析(ji x)函数的充要条件第1页/共47页第一页，共48页。 如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处(chch)可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 本节从函数(hnsh) u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求函数(hnsh)w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数(hnsh)解析的一个充分必要条件，并给出解析函数(hnsh)的求导方法。问题(wnt) 如何判断函数的解析性呢？第2页/共47页第二页，共48页。一一.
2、解析解析(ji x)函数的充要条件函数的充要条件第3页/共47页第三页，共48页。第4页/共47页第四页，共48页。第5页/共47页第五页，共48页。A 记忆记忆(jy)定义 方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).yuxvyvxu 第6页/共47页第六页，共48页。定理(dngl)1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程上述(shngsh)条件满足时,有第7页/共47页第七
3、页，共48页。证明（由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。 函数(hnsh) w =f (z)点 z可导，即则 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+ (z)z (1), 且第8页/共47页第八页，共48页。u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy)=(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+ay+ 2x+ 1y)令：f (z+z) f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)= 1+i 2 故（1）式可写为因此(ync) u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x+1y
4、第9页/共47页第九页，共48页。所以(suy)u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微. （由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足 C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：第10页/共47页第十页，共48页。第11页/共47页第十一页，共48页。定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件(tiojin)是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程A 由此可以(ky)看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅
5、由其实部或虚部就可以(ky)求出导数来.A 利用该定理(dngl)可以判断那些函数是不可导的.第12页/共47页第十二页，共48页。使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证(ynzhng)C-R条件.iii) 求导数：yvyuixvixuzf 1)( A 前面我们(w men)常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.第13页/共47页第十三页，共48页。二二. 举例举例(j l)例1 判定下列(xili)函数在何处可导，在何处解析：解 (1) 设z=x+iy w=x-iy
6、 u=x, v= -y 则第14页/共47页第十四页，共48页。解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny第15页/共47页第十五页，共48页。仅在点z = 0处满足(mnz)C-R条件，故解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则第16页/共47页第十六页，共48页。例2 求证(qizhng)函数证明 由于在z0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数(hnsh)，且满足C-R条件：,)(22222yxxyyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函数(hnsh)w=f (z)在z0处解析，其导数为第1
7、7页/共47页第十七页，共48页。例3 复复常常数数）()(001)( 2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 证明第18页/共47页第十八页，共48页。例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数， 且f (z)0，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里(zhl)C1 、 C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时，由隐函数(hnsh)求导法则知曲线族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为 01)( yvyuizf0不不全全为为与与yvyu 解利用(lyng)C
8、-R方程 ux=vy, uy=-vx 有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交.第19页/共47页第十九页，共48页。ii) uy，vy中有一为零时(ln sh)，不妨设uy=0，则k1=， k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线(qixin)一条是水平的，另一条是铅直的, 它们仍互相正交。练习(linx): a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2第20页/共47页第二十页，共48页。& 1. 指数函数指数函数& 2. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数& 3. 对数函数对数函数(du sh hn sh)& 4. 乘幂与幂函数乘幂与幂函数
9、& 5. 反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数2.3 初等(chdng)函数第21页/共47页第二十一页，共48页。 本节将实变函数的一些常用(chn yn)的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。内内 容容 简简 介介第22页/共47页第二十二页，共48页。一一. 指数函数指数函数(zh sh hn sh)它与实变指数函数有类似(li s)的性质：定义(dngy)第23页/共47页第二十三页，共48页。第24页/共47页第二十四页，共48页。A 这个这个(zh ge)性质是实变指数函数所没有的。性质是实变指数函数所没有的。第25页/共47页第二十五页，
10、共48页。A )Im(zie求求例1 ie 141求求例21 ze解解方方程程例3第26页/共47页第二十六页，共48页。二二. 三角函数三角函数(snjihnsh)和双曲函数和双曲函数推广(tugung)到复变数情形的正弦与余弦函数的正弦与余弦函数称为称为zeezieezzizizizi )3(2cos2sin定义第27页/共47页第二十七页，共48页。q正弦与余弦(yxin)函数的性质第28页/共47页第二十八页，共48页。思考题思考题. 1cos, 1sin:,cos,sin zzzz有类似的结果有类似的结果是否与实变函数是否与实变函数作为复变函数作为复变函数第29页/共47页第二十九页
11、，共48页。第30页/共47页第三十页，共48页。由正弦和余弦函数(hnsh)的定义得其它三角函数(snjihnsh)的定义(详见P51)第31页/共47页第三十一页，共48页。第32页/共47页第三十二页，共48页。22zzzzeechzeeshz 定义称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦(yxin)函数的性质第33页/共47页第三十三页，共48页。第34页/共47页第三十四页，共48页。三三. 对数函数对数函数(du sh hn sh)定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，Lnzwzfwzzew 记作记作称为对数函数称为对数函数的函数的函数把满足把满足,)()0(1) 对数(d
12、u sh)的定义第35页/共47页第三十五页，共48页。的的无无穷穷多多值值函函数数是是即即zLnzw ,)(,)2(lnargln,0主主值值支支的的主主值值称称为为的的一一单单值值函函数数为为时时当当记记作作LnzLnzzzizLnzk )(2lnZkkizLnz 故第36页/共47页第三十六页，共48页。特别(tbi)A 第37页/共47页第三十七页，共48页。(2) 对数函数(du sh hn sh)的性质见1-6例1第38页/共47页第三十八页，共48页。.,2ziez求求设设 例4第39页/共47页第三十九页，共48页。四四. 乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 babzq 乘幂(chn
13、m)ab, 0, aba且且为为复复数数设设定义.bLnabea 定定义义乘乘幂幂., 0,为实数为实数实变数情形实变数情形ba A 多值一般(ybn)为多值第40页/共47页第四十页，共48页。)2(argsin)2(argcosln kaqpikaqpeaqp q支具有具有一般而论一般而论ba,.无无穷穷多多支支第41页/共47页第四十一页，共48页。 (2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 n次根意义(yy)一致。A (1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂A 意义(yy)一致。第42页/共47页第四十二页，共48页。解.1322的的值值和和、求求iii例5第43页
14、/共47页第四十三页，共48页。q 幂函数zb称称为为幂幂函函数数。得得为为复复变变数数中中，取取在在乘乘幂幂,bbzwza 定义当b = n (正整数)w=z n 在整个复平面(pngmin)上是单值解析函数)12 , 1 , 0( nk第44页/共47页第四十四页，共48页。bzw ,一般而论一般而论 除去b为正整数外，多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值。 5. 反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数详见P52A 重点：指数函数、对数函数指数函数、对数函数、乘幂第45页/共47页第四十五页，共48页。作 业P67 2, 8, 15, 18第46页/共47页第四十六页，共48页。感谢您的观看(gunkn)！第47页/共47页第四十七页，共48页。NoImage内容(nirng)总结1. 解析函数的充要条件。称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).。仅在点z = 0处满足C-R条件，故。故函数w=f (z)在z0处解析，其导数为。由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1，。5. 反三角函数与反双曲函数。称为双曲正弦和双曲余弦函数。双曲正弦和双曲余弦函数的性质。见1-6例1。重点：指数函数、对数函数、乘幂(chn m)。感谢您的观看第四十八页，共48页。