《函数零点问题思维模式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数零点问题思维模式.doc（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流函数零点问题思维模式.精品文档.函数零点问题思维模式210008 江苏省南京外国语学校 李 平 龙方程的实根称为函数的零点，也即函数的图象与x轴交点的横坐标这一新课标新增内容的概念，不仅要求学生具有方程与函数间转换的意识，而且展现了数形结合的思想方法，目前已成为高考命题的一个新亮点本文按函数类型综述于后，试图探索出求解函数零点问题的一般思维模式1 二次函数的零点二次函数零点的存在性及其符号问题，可转化为相应的二次方程问题，进而用判别式与韦达定理处之；若要求二次函数的零点都在某区间内、两零点都大（小）于某数、一个零点小于某数另一个零点大于该数、
2、在某区间内恰有一个零点，则可借助于二次函数的图象探索出相应的充要条件；当二次函数的零点问题用二次方程与二次函数探求繁难时，可尝试对方程进行代数变形（如参数分离、换元等），构造出新的不含参数的函数，进而利用该函数的单调性或值域等知识常使问题获得简解问题1 2007年普通高考广东文科数学试卷压轴题已知是实数，函数f（x）2ax22x3a，如果函数yf（x）在区间1，1上有零点，求a的取值范围解析 利用二次函数与二次方程相关知识解该题时（可参见标准答案），均需进行繁杂的讨论；而参数分离后构作新的函数则不然事实上，由f（x）0得，（2x21）a32x，因为x不是方程的解，所以原方程同解于a构造函数g（
3、x）（1x1，x），下求该函数的值域令32xt，则1t5，t3，且x，故yg（x），2t8，y1或y，即函数g（x）的值域为（，1，），从而a的取值范围是（，1，）评注 由函数的概念知，方程f（x）a有解的充要条件是参数a在函数f（x）的值域内取值本题还可用导数方法求值域2 三次函数的零点借助于三次函数的性质可知，当三次函数不存在极值或极大值小于零或极小值大于零时，三次函数有唯一零点；当三次函数的极大值等于零或极小值等于零时，三次函数有二个零点；当三次函数的极大值大于零且极小值小于零时，三次函数有三个零点问题2 2007年普通高考(全国卷)理科数学压轴题已知a0，且过点A（a，b）可作曲线C：
4、y f（x） x3 x的三条切线，求证：a b f（a）解析 三条切线即有三个切点，故问题可转化为关于切点横坐标的方程有三个解为此，设切点为B（t，f（t），则切线斜率kf （t）3t21，又kkAB，故3t21，即2t33at2ab0构造函数g（t）2t33at2ab，下求其极值便可g(t)6t26at6t（ta），由g(t)0，得t0或ta，当ta时，g(t)0，g（t）是增函数；当0ta时, g(t)0且g（a）f（a）b0，即a b f（a）数学家笛卡尔曾想把世间所有问题化归为数学问题，进而转化为方程问题，他的努力虽然“失败”了，但却创立了解析几何这一历史案例表明，大量的数学问题可转化
5、为方程或函数零点问题，是无可非议下面的问题便如此，读者不妨试之：（1）已知函数f（x）ex（x3a）有三个极值点，试求a的取值范围（答：所求取值范围是（4，0）；（2）函数f（x）ex（x22ax）在区间（2，）上不是单调函数（或存在连线斜率为0的两点），求实数a的取值范围（答：a0）3 一般函数的零点一方面，可考虑转化为二、三次函数的零点问题；另一方面，可考虑利用研究二、三次函数零点问题展现出的数学思想方法，即在函数与方程的相互转换中寻找捷径问题3 2007年普通高考江苏数学试卷压轴题改编已知c0，函数f（x）cx2cx，g（x）x3cx2cx，如果函数yf（x）与函数yg（f（x）有相同的
6、零点，试求实数c的取值范围解析 易见yf（x）的零点为x10，x21；由g（f（x）0得，f（x）0或f 2（x）c f（x）c0（*）因x10，x21均不是（*）方程的解，故“函数yf（x）与函数yg（f（x）有相同的零点”的充要条件是“（*）方程无实根”若将（*）方程左边展开并分离参数，得x42x32x2x0，则需用导数方法求函数h（x）x42x32x2x的值域事实上，h（x）4x36x24x1（2x1）（2x22x1），由h（x）0，得x，当x时，h（x）时，h（x）0，h（x）为增函数；故h（x）min h（），即h（x）的值域为，），从而由0，），得c的取值范围是（0，）若令tx2x
7、，），则（*）方程可化为t2t0 （*）这时，从方程角度思考，需（*）方程无实根或两根均小于，求解过程从略；而从函数角度思考，只需求出函数r（x） t2t在，）上的值域，），便知0,从而所求的范围是（0，）可见，在函数零点的探讨中，不仅要动用多种知识与工具，还对思维的灵活性与创新性提出了较高的要求问题4 2008年苏、锡、常、镇高考数学模卷拟压轴题改编试就a的值讨论函数f（x）x22alnx图象与函数g（x）2ax图象公共点的个数解析 因题中方程难以求解，故首先应将方程问题化归为函数零点问题，由方程f（x） g（x）实施参数分离，得（a0）其次，构造函数h（x），并研究其性质：h（x），由函数y1x与函数y2lnx的图象知（图略），当0x0；当x1时，h（x）0；当x1时，h（x）0，故h（x）maxh（1）1最后，尚需研究函数h（x）的取值情况：h（x）0，h（x），当0x1时，h（x）0；当1x时，0h（x）1由此结合单调性知，当1或0即a或a0时，有1个公共点；0时，有2个公共点；当1即0a时，无公共点又易知，a0时，只有1个公共点综上所述，零点问题的探索是对人们“扎实的基础、熟练的技法、灵活的思维与良好的身心”的综合鉴定该文刊于理科考试研究2008年第8期