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1、第 1 页 共 3 页函数零点问题思维模式210008 江苏省南京外国语学校李 平 龙方程的实根称为函数的零点，也即函数的图象与x 轴交点的横坐标 这一新课标新增内容的概念，不仅要求学生具有方程与函数间转换的意识，而且展现了数形结合的思想方法，目前已成为高考命题的一个新亮点本文按函数类型综述于后，试图探索出求解函数零点问题的一般思维模式1 二次函数的零点二次函数零点的存在性及其符号问题，可转化为相应的二次方程问题，进而用判别式与韦达定理处之；若要求二次函数的零点都在某区间内、两零点都大（小）于某数、一个零点小于某数另一个零点大于该数、在某区间内恰有一个零点，则可借助于二次函数的图象探索出相应的
2、充要条件；当二次函数的零点问题用二次方程与二次函数探求繁难时，可尝试对方程进行代数变形（如参数分离、换元等），构造出新的不含参数的函数，进而利用该函数的单调性或值域等知识常使问题获得简解问题 1 2007 年普通高考广东文科数学试卷压轴题已知a是实数，函数f（x） 2ax22x3a，如果函数yf（x）在区间 1，1上有零点，求a 的取值范围解析利用二次函数与二次方程相关知识解该题时（可参见标准答案），均需进行繁杂的讨论；而参数分离后构作新的函数则不然事实上，由f（x） 0 得， （2x2 1）a32x，因为 x22不是方程的解，所以原方程同解于a32x2x21构造函数g（ x）32x2x21（
3、 1x1，x22） ，下求该函数的值域令 32xt， 则 1 t5， t32， 且 x3 t2， 故 yg （x） t2(3t2)212tt26t72t7t6，27 t7t8， y1 或 y372，即函数g（x）的值域为（，3721，），从而 a 的取值范围是（，3721，）评注由函数的概念知，方程 f（x）a 有解的充要条件是参数a 在函数 f （x）的值域内取值 本题还可用导数方法求值域2 三次函数的零点借助于三次函数的性质可知，当三次函数不存在极值或极大值小于零或极小值大于零时，三次函数有唯一零点；当三次函数的极大值等于零或极小值等于零时，三次函数有二个零点；当三次函数的极大值大于零且极
4、小值小于零时，三次函数有三个零点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 3 页问题 2 2007 年普通高考 (全国卷 )理科数学压轴题已知 a0，且过点A（a，b）可作曲线C：y f（ x）x3x 的三条切线，求证：a b f（a） 解析三条切线即有三个切点，故问题可转化为关于切点横坐标的方程有三个解为此， 设切点为 B（t，f（t） ） ，则切线斜率kf （t）3t21，又 kkABf（t） btat
5、3t bta，故 3t21t3 tbta，即 2t33at2ab0构造函数g（ t） 2t33at2ab，下求其极值便可g (t)6t26at6t（ta） ，由 g(t)0，得 t0 或 ta，当 ta 时， g(t)0， g（t）是增函数；当0ta 时 , g(t)0 且 g（a） f（a） b0，即 a b f（a） 数学家笛卡尔曾想把世间所有问题化归为数学问题，进而转化为方程问题，他的努力虽然 “失败”了，但却创立了解析几何这一历史案例表明，大量的数学问题可转化为方程或函数零点问题，是无可非议下面的问题便如此，读者不妨试之：（1）已知函数f（x） ex（x3a）有三个极值点，试求 a 的
6、取值范围 （答：所求取值范围是 （ 4，0） ） ； （2）函数 f（ x）ex（x22ax）在区间（ 2，12）上不是单调函数（或存在连线斜率为0 的两点），求实数a 的取值范围（答：a0） 3 一般函数的零点一方面，可考虑转化为二、三次函数的零点问题；另一方面，可考虑利用研究二、三次函数零点问题展现出的数学思想方法，即在函数与方程的相互转换中寻找捷径问题 3 2007 年普通高考江苏数学试卷压轴题改编已知 c0，函数f（x） cx2cx，g（x） x3 cx2cx，如果函数yf（x）与函数yg（f（x） ）有相同的零点，试求实数c 的取值范围解析易见 yf（x）的零点为x10，x2 1；由
7、 g（f（x） ）0 得， f（ x） 0 或 f2（x）c f（x）c0（*） 因 x10，x21 均不是（ *）方程的解，故“函数y f（x）与函数 yg（f（x） ）有相同的零点”的充要条件是“（ *）方程无实根” 若将（ * ）方程左边展开并分离参数，得x42x32x2 x1c0，则需用导数方法求函数h（x）x42x32x2x1c的值域 事实上， h（x）4x36x24x 1（2x1） （ 2x22x1） ，由 h（x）0，得 x12，当 x12时， h（x） 12时， h（x）0，h（x）为增名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
8、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 3 页函数；故 h（x）min h（12）3161c，即 h（ x）的值域为 3161c，），从而由 0?3161c，），得 c 的取值范围是（0，163） 若令 tx2x14，），则（ * ）方程可化为t2t1c0 （* ） 这时，从方程角度思考，需（* ）方程无实根或两根均小于14，求解过程从略；而从函数角度思考，只需求出函数r（x）t2t1c在14，）上的值域3161c，），便知3161c0,从而所求的范围是（0，163） 可见，在函数零点的探讨中，
9、不仅要动用多种知识与工具，还对思维的灵活性与创新性提出了较高的要求问题 4 2008 年苏、锡、常、镇高考数学模卷拟压轴题改编试就 a 的值讨论函数f（x） x22alnx 图象与函数g（x） 2ax 图象公共点的个数解析因题中方程难以求解，故首先应将方程问题化归为函数零点问题，由方程f（x）g（x）实施参数分离，得xlnxx212a（a 0） 其次，构造函数h（x）xlnxx2，并研究其性质：h（x）1 x2lnxx3，由函数y1 x 与函数 y2lnx 的图象知（图略） ，当 0 x0；当 x1 时， h（x） 0；当 x1 时， h（x）0，故 h（x）maxh（1） 1最后，尚需研究函
10、数h（ x）的取值情况：limxh（x） 0， limx0h（x），当0 x1时， h（x）0；当 1x时， 0h（x）1由此结合单调性知，当12a1 或12a0 即 a12或a0 时，有 1 个公共点； 012a12时，有 2 个公共点；当12a1 即 0a12时，无公共点又易知，a0 时，只有 1 个公共点综上所述，零点问题的探索是对人们“扎实的基础、熟练的技法、灵活的思维与良好的身心”的综合鉴定该文刊于理科考试研究2008年第 8 期名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -