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1、2.3.2抛物线的简单几何性质,教学目标,知识与技能目标使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力过程与方法目标复习与引入过程1抛物线的定义是什么？请一同学回答应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”2抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0)下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p0)出发来研究它的几何性质板书抛物线
2、的几何性质,y,复习,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点,类比探索,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.,抛物线和它的轴的交点.,(4)离心率(5)焦半径(6)通径,始终为常数1,通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,特点,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对
3、称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,y2 = 2px（p0）,y2 = -2px（p0）,x2 = 2py（p0）,x2 = -2py（p0）,x0yR,x0yR,y0xR,y 0xR,(0,0),x轴,y轴,1,变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程.,典型例题：,例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它的标准方程.,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m
4、0)(x2=2my (m0),可避免讨论,解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1,解法二:由题意可知,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切,证明：如图,所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切,设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，,则AFAD，BFBC,ABAFBFADBC =2EH,练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-1
5、2=0上，那么抛物线通径长是_.2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为_3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.,y2 = 8x,X=3,例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.,x,O,y,F,A,B,D,例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。,x,y,O,F,A,B,D,小结:,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2
6、.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;,关于x 轴对称，无对称中心,关于x 轴对称，无对称中心,关于y 轴对称，无对称中心,关于y 轴对称，无对称中心,e=1,e=1,e=1,e=1,分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；另一种是直线与抛物线相切,判断直线与抛物线位置关系的操作程序,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,分析:直线与抛物线有两个公共点时0,分析:直线与抛物线没有公共点时0,注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨
7、论作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情形,变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多少?,分析:本题与例1类型相似,方法一样,通过联立方程组求得.(1)b=1 (2)b1,当直线与抛物线有公共点时,b的最大值当直线与抛物线相切时取得.其值为1,变式二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数 的最值,变式三:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值.,本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题.,本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题.,无最大值,x,y,解：因为直线AB过定点F且不与x轴平行,设直线AB的方程为,x,y,x,y,再见,