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1、2.3.2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质（1）07.01.05 前面我们已学过椭圆与双曲线前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质的几何性质,它们都是通过标准方它们都是通过标准方程的形式研究的程的形式研究的,现在请大家想想现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么及准线是什么?课题导入目标引领1、椭圆的简单几何性质2.利用椭圆的简单几何性质解决相关问题独立自学1、椭圆的几何性质2、几种曲线的几何性质的对比图图 形形方方 程程焦焦 点点准准 线线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2
2、py（p0）一次项的变量如果为x（或y）则轴x（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向。例如抛物线x2=-3y，则y为对称轴，开口方向和y轴的正方向相反。练习练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）轴上）方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向开口向开口向右右开口向开口向左左开口向开口向上上开口向开口向下下P(x,y)引导探究抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。延伸。1、范围、范围由抛物线由抛物线y2=2px（p0）而而所以抛物线
3、的范围为所以抛物线的范围为关于关于x轴轴对称对称 由于点由于点 也满也满足足 ，故抛物线，故抛物线(p0)关于关于x轴轴对称对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。线的轴。y2=2pxy2=2px2、对称性、对称性P(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的的顶点顶点。P(x,y)由y2=2px（p0）当当y=0时时,x=0,因此抛物线的顶点顶点就是坐标原点（0，0）。注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有双曲线有两个顶点不同。两个顶点不同。、顶点、顶点4、离心率、离心率P(x,y)抛物线上的点与焦抛物线上的
4、点与焦点的点的距离距离和它到准线的和它到准线的距离距离 之比，叫做抛物线之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的的离心率，由抛物线的定义，可知定义，可知e=1。5、开口方向、开口方向P(x,y)抛物线抛物线y2=2px（p0）的开）的开口方向向右。口方向向右。+X，x轴正半轴，向右轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下轴负半轴，向下补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=
5、x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔（2）焦半径：）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它但它没有渐近线没有渐近线;2.抛物线只有抛物线只有一条一条对称轴对称轴,没有对称中
6、心没有对称中心;3.抛物线只有抛物线只有一个一个顶点、顶点、一个一个焦点、焦点、一条一条准线准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P越大越大,开口越开阔开口越开阔-本质是成比例地放大！本质是成比例地放大！（二）归纳：抛物线的几何性质（二）归纳：抛物线的几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0
7、,0)x轴轴y轴轴1例例3 3：已知抛物线关于已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点坐标原点，并且经过点M M（，），求它的（，），求它的标准方程，并用描点法画出图形。标准方程，并用描点法画出图形。因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点标原点，并且经过点M M（，），（，），解：解：所以设方程为：所以设方程为：又因为点又因为点M M在抛物线上：在抛物线上：所以：所以：因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：作图：作图：(1)列表列表（在第一象限内列表）（在
8、第一象限内列表）x01234y(2)描点：描点：(3)连线：连线：11xyO思考思考：已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点标原点，并且经过点M M（，），求它的标准方程。（，），求它的标准方程。这时，直线这时，直线 与抛物线只有一个公共点与抛物线只有一个公共点.于是，当于是，当 且且 时，方程（时，方程（）有）有2个解，从而，方程组（个解，从而，方程组（）有两个解，这时，直线）有两个解，这时，直线 与抛物线有与抛物线有2个公共点个公共点.由由 即即解得由由 即即解得 于是，当 时，方程没有实数解，从而方程组（）没有解，这时，直线 与抛物
9、线没有公共点.综上可得：当 时，直线 与抛物线只有一个公共点;当 时，直线 与抛物线有两个公共点;当 时，直线 与抛物线没有公共点.你能通过作图你能通过作图验证这些结论验证这些结论吗？吗？判断直线与抛物线位置关系的操作程序：判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离总结：总结：目标升华目标升华1.掌握抛物线的掌握抛物线的几何性质几何性质:范围、对称性、
10、顶点、范围、对称性、顶点、离心率、通径离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题焦点坐标及解决其它问题;1 1、若直线若直线l l 经过抛物线经过抛物线y y2 2=4x=4x的焦点的焦点,与抛物线相交于与抛物线相交于A A，B B两点两点,且线段且线段ABAB的的中点的横坐标为中点的横坐标为2 2,求线段求线段ABAB的长的长.当堂诊学当堂诊学2 2、已知直线已知直线y=kx+2y=kx+2与抛物线与抛物线y y2 2=8x=8x恰恰有一个公共点有一个公共点,则实数则实数k k的值为的值为 3、过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为 的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为 ;4、设设 是坐标原点，是坐标原点，是抛物线是抛物线 的焦点，的焦点，是抛物线上的一点，是抛物线上的一点，与与 轴正向的夹角为轴正向的夹角为 则则 为为 ;5、抛物线抛物线 上的点到直线上的点到直线的距离的最小值是（的距离的最小值是（）16强化补清完成40分钟