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1、回顾 思考等腰三角形顶角平分线有哪些性质？等腰三角形顶角平分线有哪些性质？垂直底边，并且平分底边垂直底边，并且平分底边AD所在的直线即线段所在的直线即线段AB的的垂直平分线垂直平分线垂直且平分一条线垂直且平分一条线段的直线是这条线段的直线是这条线段的垂直平分线段的垂直平分线. .回顾 思考线段的垂直平分线具有怎样的性质？线段的垂直平分线具有怎样的性质？线段垂直平分线上的点到这条线段两个线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等端点距离相等.验证验证已知：如图，直线已知：如图，直线MNAB，垂足是，垂足是C，且，且AC= =BC，P是是MN上的点上的点求证：求证：PA= =PB线段垂直平分线
2、上的点到这条线段两个端点距离线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等相等. .证明：证明：MNAB，PCA=PCB=90=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PCA和和PCB中，中， AC= =BC， （已知）（已知） PC= =PC, , （公共边）（公共边） PCA=PCB（已证）（已证）PCAPCB(SAS) ) PA= =PB( (全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )性质定性质定理理: :线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点 到这条线段到这条线段 的两端点的距离相等的两端点的距离相等ABPPBPAABP的垂直平分线上在线段温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段
3、相等的根据之一. 如图：直线如图：直线MN是线段是线段AB的垂直平分线，点的垂直平分线，点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什么？为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什么？你能写出上面这个定理的逆命题吗？你能写出上面这个定理的逆命题吗？如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上即这条线段的垂直平分线上即到线段两个端点的距离相等到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。的点在这条线段的垂直平分线上。 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假如果真，则当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假如果真，则需证明
4、它；如果假，则需用反例说明。需证明它；如果假，则需用反例说明。性质定理性质定理: :线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等。距离相等。验证验证已知：线段已知：线段AB，点，点P P是平面内一点且是平面内一点且PA= =PB。求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上。的垂直平分线上。证明：过点证明：过点P作已知线段作已知线段AB的垂线的垂线PC, , PA= =PB，PC= =PC，RtRtPACRtRtPBC(HL(HL) )。AC= =BC，即即P点在点在AB的垂直平分线上。的垂直平分线上。B BP PA AC C性质定理的逆命题：到线段两个
5、端点的距离相等的点在这性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上已知：线段已知：线段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA= =PB求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上证法二：证法二：取取AB的中点的中点C，过点，过点P, ,C作直线作直线PC AP= =BP，PC= =PC. .AC= =CB， APCBPC（SSS） PCA=PCB( (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等) ) 又又PCA+PCB=180， PCA=PCB=90=90，即，即PCAB P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上BPAC已知：
6、线段已知：线段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA= =PB求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上证法三：证法三：过过P点作点作APB的角平分线交的角平分线交AB于点于点CAP= =BP，APC=BPC，PC= =PC，APCBPC(SAS)(SAS)AC= =BC，PCA=PCB又又PCA+PCB=180 =180 PCA=PCB=90=90P点在线段点在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上B BP PA AC“证法四证法四”证明：过证明：过P作线段作线段AB的垂直平分线的垂直平分线PCAC=CB，PCA=PCB=90P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上温馨提示温
7、馨提示: :在证明的过程中所添加的辅助线只能在证明的过程中所添加的辅助线只能直接满足一个条件直接满足一个条件 ，否则证明不成立。，否则证明不成立。 ( )A AC CB BP PMN NPA= =PB( (已知已知),),点点P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上( (到一条线段两个到一条线段两个端点距离相等的点端点距离相等的点, ,在这条线段的垂直平分线在这条线段的垂直平分线上上).).温馨提示温馨提示: :这个结论是经常用来证明这个结论是经常用来证明点在直线点在直线上上( (或或直线经过直线经过某一某一点点) )的根据之一的根据之一. .判定定理判定定理 ：到一条线段两个端点距离相等：到一
8、条线段两个端点距离相等的点的点, ,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上. .：例例1 1已知：如图已知：如图 1-181-18，在，在 ABC 中，中，AB = = AC，O 是是 ABC 内一点，且内一点，且 OB = = OC. .求证：直线求证：直线 AO 垂直平分线段垂直平分线段BC。证法一：证法一：证明：设证明：设AOAO交交BCBC于点于点D D，在在ABOABO和和ACOACO中，中， ABAB = = ACAC，OBOB = = OCOC，AOAO = = AOAO，ABOABOACOACO(SSS)(SSS) BAOBAO=CAOCAO( (全等三角形的对应角相
9、等全等三角形的对应角相等) ) 在在ABDABD和和ACDACD中，中， ABAB = = ACAC，BAOBAO=CAOCAO，ADAD = = ADAD，ABDABDACDACD(SAS)(SAS) BDBD= =CDCD( (全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )BDABDA=CDACDA( (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等) ) 又又BDABDA+CDACDA=180=180BDABDA=CDACDA=90=90直线直线 AOAO 是线段是线段 BCBC 的垂直平分线（垂直平分线的定的垂直平分线（垂直平分线的定义）义）证法二证法二证明：证明： ABAB = =
10、 ACAC， 点点 A A 在线段在线段 BCBC 的垂直平分线的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线的点，在这条线段的垂直平分线上）上）. .同理，点同理，点 O O 在线段在线段 BCBC 的垂直平分的垂直平分线上线上. . 直线直线 AOAO 是线段是线段 BCBC 的垂直平分的垂直平分线（两点确定一条直线）线（两点确定一条直线）. .1、线段垂直平分线的判定定理有、线段垂直平分线的判定定理有 何作用？何作用？2、线段的垂直平分线可以看成是、线段的垂直平分线可以看成是 到线段两个端点距离相等的到线段两个端点距离相等的 所有点的
11、集合。所有点的集合。3、线段是、线段是 ，对称轴，对称轴是是 。 轴对称图形轴对称图形线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、判断题一、判断题1.如图如图(1)，OC=OD直线直线AB是线段是线段CD的垂直平分线的垂直平分线2.如图如图(1)，射成，射成OE为线段为线段CD的垂直平分线的垂直平分线3.如图如图(2)，直线，直线AB的垂直平分线是直线的垂直平分线是直线CD4.如图如图(3)，PA=PB，PA=PB，则直线，则直线PP是线段是线段AB的垂直平分线的垂直平分线 （1） （2） （3）( )( )( )( )二、填空题。二、填空题。5.5.如图如图, ,已知已知AB是线段是线段CD的垂直平
12、分线的垂直平分线, ,E是是AB上的一上的一点点, ,如果如果EC=7cm,=7cm,那么那么ED= = cm;cm;如果如果ECD=60=600 0, ,那那么么EDC= = 0 0. .EDABC7 76060三、操作题三、操作题6.6.如图，如图，A, ,B表示两个仓库，要在表示两个仓库，要在A, ,B一侧的河岸边建一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？在什么位置？尺规作图动画尺规作图动画说明：如果利用超级链接打不开说明：如果利用超级链接打不开“尺规作图动画尺规作图动画”可关闭放映，课件文件夹播放动可关闭
13、放映，课件文件夹播放动画。画。四、解答题。四、解答题。7.7.已知：如图已知：如图AB= =AC，BD= =CD，P是是AD上一点上一点 求证：求证：PB= =PC我掌握的定理有我掌握的定理有_ ；我学会了我学会了_ ；我还知道了我还知道了_. .必做题：课本必做题：课本2424页问题解决页问题解决3 3选做题：如右图，选做题：如右图，P P是是AOBAOB的平分线的平分线OMOM上任意一上任意一点，点，PEPECACA于于E E，PFPFOBOB于于F F，连结，连结EFEF. .求证：求证：OPOP垂垂直平分直平分EFEF. . 严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.