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1、应用数学和力学，第 24 卷第 4 期 (2003 年 4 月） Applied Mathematics and Mechanics 应用数学和力学编委会编 重庆出版社出版 文章編号 :1(XXW)887(2003)OW)331-11 分 数 积 分 的 一 种 数 值 计 算 方 法 及 其 应 用 朱正佑 U2， 李根国 4, 程昌钩 U3 (1上海大学，上海市应用数学和力学研 究所，上海 200072; 2. 上海大学数学系，上海 200072; 3. 上海大学力学系，上海 200072; 4上海超级计算中心，上海 201203) (我刊编委程昌钧来稿） 摘要：提出了一种只需要存储部分历
2、史数据的分数积分的数值计算方法，并给出了误差估计 . 这种方法可对包含分数积分和分数导数的积分 -微分方程进行较长时间的数值计算 ,克服了存储全 部历史数据的困难，并能对计算误差进行控制 .作为应用，给出了具有分数导数型本构关系的粘 弹性 Timoshenko 梁的动力学行为研究的控制方程，利用分离变量法讨论梁 在简谐激励作用下的动 力响应，然后用新提出的数值方法对控制方程进行数值计算，数值计算结果和理论结果进行了比 较，它们比较吻合 . 关键词：分数微积分；数值计算方法；分数导数型本构关系；弱奇异性 Volterra 积分 -微 分方程 中图分类号： 0165.6; 0345 文 标识码 ：
3、 A 引 言 分数微积分学已有悠久的历史和大量的研究 13，在许多学科，特别在化学、电磁学、材料 科学和力学中有广泛的应用，例如 Gement4在 1930 年代首先采用分数导数描述粘弹性材料的 本构关系，目前受到广泛的重视 5-7.这种本构关系仅用少量的参数构成粘弹性材料的数学 模型，并能在较大的频率范围内描述材料的力学性能，已证实有大量的粘弹性材料的本构关系 可利用分数导数描述79利用分数导数本构关系研究粘弹性材料的工作也很多 .尽管对微 分型和积分型粘弹性材料的结构的力学行为已有不少研究工作 W-14，但是对分数导数描述 的粘弹性材料构成的结构的研究很少 5，主要问题在于分数微积分数值计
4、算 .当我们需要对 这种粘弹性结构的长时间力学行为进行数值模拟时，将涉及分数微积分数值计算的一系列问 题 :其一是需存储整个历史数据，随着时间的增加，信息量不断增加，计算工作量急剧增长 ;其 二是当时间不断增大时，离散误差很难进行控制，从而可能导致计算数据的失真因此用常规 * *收稿日期： 2001-瓜 30;修订日期： 2003-01-06 基金项目：国家自然科学基金资助项目 (60273048);上海市科学技术发展基金资助项目(98JC14032); 上海市教委发展基金资助项目 (99A01) 作者简介：朱正佑 (1937 )，男，浙江海盐人，教授，博士生导师 (E-mail: zyzhu
5、mail, shu. edu. cn); 李根国 (1969 ),男，甘肃古浪人，博士，现从事并行计算方法研究 cn). 的离散方法，实质上并不适用于作由分数导数描述的粘弹性材料和结构长时间力学性态的数 值模拟的有效离散方法 . 本文在第 1 节中提出一种只需要存储部分历史数据的分数积分的数值计算方法 ,并给出 了误差估计 .这种方法可对包含分数积分和分数导数的积分 -微分方程进行较长时间的数值 计算，克服了存储全部历史数据的困难，并能对计算误差进行控制 .作为应用，在第 2 节中建 立具有分数导数 型本构关系的粘弹性 Timoshenko梁的动力学行为研究的控制方程，利用分离 变量法讨论梁在
6、简谐激励作用下的动力响应 .最后用本文提出的数值方法对控制方程进行计 算，对数值计算结果和理论结果进行比较 . 分数积分的数值计算方法 设 C(R +)表示定义在 R + = $ 6 R， *為 上所有绝对连续实函数 /U) G C(B +)构 成的集合 ,且满足 /(0+)=&/(*) G R.以 (11+)表示定义在 R+， 并在 R+的任意一个有界 子区间上 Lebesgue可积的实函 构成的 集合 . 设 / G C(R)， /:R+ R， 0 爪 + ;时，采用本文上述的方法计算 +1，即将积分分成形如 (6)的两部分，第一部分用递推公式 (9)进行计算，第二部分用公式 (11)和
7、（ 13)计算 .在计算过程中只需要存储 m + Z + 1 个历史数据 . 1.2 误差估计 在计算 h+1时，利用了离散公式 (9)、（ 11)和（ 13),； +1的计算误差即为上述 3 个公式误差 的和 . 17) 18) 19) 20) ： 21) ： 22) 2 应 用 作为应用，本节将讨论具有分数导数本构关系粘弹性 Timoshenko梁的动力学行为 . 2.1 控制方程 设梁是等截面的，截面面积为 1高为 A， 长为 / UE(* 0 = EI( sin n(、列 U) 和 i; E1(t) 示于图 2.在 A/L 很小的情况下，梁的剪切效应对挠度的影响很小，可 忽略不计 .
8、图 2 A ： = 0.5 m 时 ,挠度和转角的稳态值 图 3 = 4 m 时 ,挠度和转角的稳态值 在其它参数不变的情况下，改变截面积 4 = 4 m2,高 A = 4 m， 载荷： = KsinCTnc/Osinf N/m.再分别由 (37)、 (38)、 (40)求得 v ( x , t ) = v i ( t ) s i n , va M V. A)jcations of factional calculus to dynamic problans of linear and nonlinearhereditaiy mechanics of 1997， 50(1): 1567. 8
9、Ekielund M, Mahler LKunesson K, aZ. Formulation and integration of the standard linear viscoelastic solid with fractional order rate J. IrU J Solids Struts 1999,36(18) ： 2A172442. 9 Enelund M, Olsson P. Damping described by fading manoiy 一 analysis and 印 plicaticKi to fractional derivative modelsJ.
10、Int J Solids Strut, 1999,36(5) ： 939970. 10 Axgyris J, Chaotic vibrations of a nonlinear viscoelastic beamJ. Cfeios So/i&ms /Vnctote，1996,7 (1)： 151163. 11 程昌钧，张能辉 .横向周期载荷作用的粘弹性矩形板的混沌和超混沌运动 J.力学学报， 1998,30 (6)：690699. 12 Akoz Y， Kadio 适 u F. The mixed finite element method for the quasi-static and d
11、ynamic analysis of vis- coelastic Timoshesnko beaivsJ. Irit JNierner Mech Enffng ,199944(5) ： 19Q91932. 13 Suire G, Cedexbaum G. Periodic and chaotic behavior of viscoelastic nonlinear (elastica) bars under haimcMiic exdtations J. Int J Mech Sci, 1995,37(2) ： 753772. 14 陈立群，程昌钧 .非线性粘弹性梁的动力学行为 J.应用数学
12、和力学， 2000,21(9):897902. 15 Atkinson K E. An Ivtrodvetion to NmrvervxA AnalysisM. London： John Wiley & SCMIS, 1978,120 128. 16 Timoshenko S,Gere J材料力学 M.胡大礼译 .北京 :科学出版社 ,1978,230 236. 17 Makris N. Tliree-diinaisicaial ccaistitutive viscoelastic law with ftactLcmal order time derivatives J. J meoiogy,
13、 1997,41(5) ： 1007 1020. 18 刘延柱，陈文良，陈 立群 .振动力学 M.北京 :髙等教育出版社 ,1998,143147. 19 杨挺青粘弹性力学 M武汉 :华中理工大学出版社 ,1990,55 102. A Numerical Method for Fractional Integral With Applications ( 1 . Shanghai Institute qf Applied Mathematics and Mechanics， Shaniai UaiverittSia7iiai 200072,Oiina； 2. Department of Mfi
14、thematics University, 200072tP. R. Ctdna; 3. Department of Mechanics, Suwiai University, Shanghai 200072, P. R. China； A.SuxngkaiSupemmputer Center， Shagkai2QY203， P,R， China) Abstract； I seaited,andi A new numerical method for the &adi(Hial integral that only stores part histoiy data is pte- is est
15、imated. The method can be used to solve the intro-differen- tial eqgadcm including fractional integral or firacti(ial derivative in a lcig histoiy. Ihe difficulty of stor- ing all history data is overccxne and the enor can be ccHitrolled. As application， motion eqqati s gov- eming the ctynamical beh
16、avior of a viscoelastic Timoshaiko beam with fractitnial denvative coistitutive relation are given. The dynamical respoaise of the beam subjected to a periodic exdtati(Hi is studied by using the &esia&oa variables method. Then the new numeiical method is used to solve a class of ： applied to describe the dynamical be- havior of viscoelastic beams with frBc&cml derivative ccaistitutive relations. Tlie analytical and unmeri- cal remits are conpared. It is found that they are veiy dose. Key words： finacticaial calculus； numeiical method； fractional derivative constitidive relaticHi； weakly