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1、农业系统科学与综合研究 2000,16(2) :119 123,127 System Sciences and Comprehensive Studies in Agriculture 微分方程数值解法在 GM(1， 1)建模中的应用 # 何满喜 (内蒙古师范大学呼和浩特 010022) 摘要提出了建立 GM(1， 1)模型的析方法，认为应用微分方程數值解法估计 GM(1， 1)预測模型 中的待辨参數 a， b， 建立灰微分方程的时间响应表达式，可以达到与 1同样的拟合精度。对部分数 列拟合精度有所改善，其滚动模型的拟合精度改善明显。表 1,参 L 关键词 GM(1， 1) 预测糢型灰微分方程
2、数值解法滾动模型 Appliction of Numerical Solution of Differential Equations for setting Up GM(1,1) Model/He Afon贫 O/I G iVorma/ t/rtfuersy/SSCSA，2000， 16(2) :119 123， 127 Abstract In this paper we put forward a method of setting up GM(1,1) models that is applying the numerical solution of differential equat
3、ions to estimate the parameter a and b of GM(1,1) models*set up the corresponding expression for times of grey differential equation. We thought it has same fitting precision with first methods. It could improve the fitting precision for some series, and the fitting precision had distinct improvemen
4、t of the rolling models. Key words GMCl,l) forecasting modelGrey differential equation,Numerical solutionRolling models 邓聚龙教授创立的灰色系统理论是通过 对一般微分方程的分析，定义了灰数，灰微分 方程m。从而对实际问题中的离散数据序列 建立其近似的灰微分方程模型，建立其对应 的预测模型，对系统进行分析、评价、预测、控 制，为决策提供必要的依据。 GM(1， 1)预测 模型是应用较多的一个模型，所以在有关文 献中给出了不同的建模方法，并进行了分析 讨论 2: 3 4。文章用微
5、分方程数值解法，提 出了估计 GM(1， 1)模型中待辨参数 a， b的 新方法，建立 GM(1， 1)模型和对应的滚动模 型，并给出了有关性质。还讨论了这些模型的 拟合精度，认为我们提出的方法，可以达到与 1同样的拟合精度，对部分数列拟合精度有 所改善，其滚动模型的改善明显。 *内蒙古自治区自然科学基金资助项目 （ 99142)的部分内容 收稿日期： 1999 一 08 27 1灰微分方程 设 & ( (2) + xll) B = 2 - - 1) + x(n(n) x(2), 1 x ( , ,(3) ,Y= _ x (n) 1 (4) 这就是用 1的方法估计待辨参数心 6。这种 建模方法
6、记为方法 I。 2用微分方程数值解法估计心6 把系统特征因素工关于时间变量 A的灰 微分方程 (1)写成 似 “ ， 即 时 间 变 量 为 取 /(i， x(1)( = 6 口工 （ r)则 ） (5) 因为 :T （ 1) = ?)(1)，取 = 1，则有 j = / 产 ) ， lx， (l) (6) (6)是一阶常微分方程初值问题，因此 （ 6)的 解 的近似解（即数值解 ） in)( 可以 用数值解法来求出。为此设时间变量 6= 走 (走 =1，2, ， n)，根据如 =1， =ft+i t* = 1，步长为 A = A = 1。 2. 1二阶尺 _尺方法 二阶尺 _尺方法是求解初值
7、问题 （ 6)的 近似解的 Runge Kutta数值方法。文中用 该方法来估计 GM(1， 1)模型中的待辨参数 a， 6。 对应于初值问题 （ 6)的迭代公式为 5: | 工 以 + 1) = 丁 fe) + +(、 +是 2)， k2 = hf(tk h,xm (k) + i) (7) 根据假设， （ 7)变成工 (1)Q + 1)=， xa)dk) + -baxKk+baxk) + hib - axckm = x(i) = xay k + 1) xin k) xiak + 1)0 (16) 因此满足的最小二乘估计为 （ 6， a)= CS5)-，其中 -i -Xa,(l) n -xco
8、)(2)n B i 一 ？ n(2) ,Y = ： rw)(3) .i -x1)(n - 1)_ Y0)(rt)_ 求出后代入到模型 （ 2)中，就可建立 GM (1，1)模型。这种建模方法记为方法 W。 2.4滚动模型及性质 对于方法 I，由迭代公式 (8)得 xk + 1) = (1 + - a)xak) + (6 - y) (17) 用方法 1求出 (k) + 6(18) 当求出 6后，直接应用（ 18)，应用 xu)(k) 的拟合值i(1)(k)可以给出 xn(k + l)的拟合 值 i(1)(k + l)， 这种模型称为 Euler方法的滚 动模型，记为方法 W。 性质 1 设 =
9、1 , 2 , ， ) 为 非 负 序列，则对方法 I得到的有： 2 y - a 1 (19) 证因由 （ 8)式已得 (17)式，所以有递推公式 xa) = (l + j a) (xclk) -xa(k - 1) (20) 因 x( ） 0 因此由 （ 20)式得必有 （ 1 +警 _ a) 0,即 (19)式成立。 性质 2因 ?( _ = 1， 2, ， n)为非负 准光滑序列，则由滚动模型 （ 17)给出的 具有准指数规律。 证由（ 9)，（ 17)式有 r ( + 1) = 1 +专一 ( + 1) = ，、 xuk + 1) 而 + 1) = = 1 + + 1 + 厶 1 + Q
10、i = 工 (1)( )_ xiQk + 1) -b.xik) X (k) 1 + 1 + x w a +1) xcnCk) = i -t*. p(k) (21) 122 农业系统科学与综合研究 第 16卷 因为 = 1， 2, ， n)是非负准光滑 序 列 ， 所 以(克 + 1)、 )( 是 + 1)=工 - - 1 所以由 （ 21)式得 1 (_r) 。列于表 1的结果是其中的具有代 表性的振动数列所得结果，有内蒙古自治区 的粮食总产量 A，粮食单产 A，科右中旗的 粮食单产 x3，粮食播种面积 ，农牧业机械 总动力 A和奈曼旗的粮食播种面积 x6。表 1 中给出了各类检验指标的值，目
11、的是用各类 检验指标综合评价各方法所建模型的拟合精 度。 综合评价大量数据模拟结果和表 1结 果，认为我们提出的方法有 3个特点 : 对单 调性好，具有指数规律的数据，例如对人口、 农业人口、农用化肥、农业总产值等数据能达 到与方法I的拟合精度同级的检验，没有明 显改善 ; 对单调性差，指数规律弱，具有明 显振动性的数据，例如对 A， 工 2， A， ，用 这里的方法建立 GM(1，1)预测模型都有满 意的拟合度，且比方法 I的结果有所改善或 有明显改善。滚动模型 (1?)， （ 1S)的拟合精度 的改善较明显 ; 对于单调性较差，没有指数 规律，用方法 I建立 GM(， 1)模型时拟合精 度
12、不高的一些数据，例如对心， A由文中方 法得到的结果比方法 I有所改善或保持同级 的拟合精度检验。 第 2期 何满甚 :微分方程数值解法在 GM(1,1)建横中的应用 123 表 1不同方法的参数 a， 6及拟合精度检验指标 特征因素 方法 a b P 检验 Erx) -0. 06887 331.99 0. 95 0. 3169 及格 i 558E 2 -0. 06866 334. 21 0- 95 0- 317 及咯 1. 557E-2 a -0. 06866 334. 21 0. 95 0- 3171 及格 .553E-2 9 0. 06645 337. 91 0. 95 0- 3214
13、及格 1 492E-2 IV -0. 07102 345. 69 0* 95 0* 3313 及格 2 098E-2 IV, -0. 07102 345. 69 0. 95 0. 317 及珞 1- 553E-2 -0. 06028 971.25 1 0. 2809 好 9- 633E-3 I -0. 06016 974. 93 1 0. 2809 好 9- 598E-3 1 , -0. 06016 974. 93 1 0. 2809 好 9- 566E-3 -0* 05907 979. 55 1 0. 2821 好 9. 372E-3 IV -0. 06197 1004. 2 0.95 0.
14、 2929 0- 01372 IV, -0. 6197 1004. 2 1 0. 2809 好 9. 566E 3 0.000384 153. 08 0. 7 0. 8524 不及格 0. 1412 1 0. 0091 157 0. 7 0. 8534 不及格 0. 139 r 0.0091 157 0.7 0. 8534 不及格 0. 139 -T3 n 0. 00401 158, 3 0. 7 0. 854 不及格 0. 1711 IV 0- 00906 156. 29 0, 7 0. 8534 不及格 0-137 Nr 0. 00906 156-29 0- 7 0- 8534 不及格 0
15、- 139 0. 02562 67- 95 0. 95 0. 376 及唂 3- 162E-3 I -0. 02556 68. 02 0. 95 0- 376 及格 3- 159E-3 3 , -0. 02556 68- 02 0. 95 0, 376 及塔 3- 158E-3 工 4 1 -0. 02334 69- 62 0. 95 0- 3841 及格 3- 093E-3 JV 0- 02588 68-89 0.9 0. 3777 及格 3. 596E-3 IV, -0. 02588 68. 89 0* 95 0, 376 及格 3, 158E 3 0. 08259 2- 209 0* 9
16、5 0* 2732 及嗒 0-02562 0. 0824 2- 329 0- 95 0, 2733 及格 0- 02549 I -0. 0824 2* 329 0. 95 0* 2735 及格 0. 02547 I -0. 08365 2- 236 0- 95 0, 2722 0-02653 IV 0. 08579 2.425 I 0. 2936 0 03211 IV J 0. 08579 2* 425 0. 95 0. 2735 0. 02547 T -0. 00181 8. 071 0. 733 0. 9264 不及格 2- 8E-3 3 -0. 00173 8- 076 0. 733 0
17、. 9262 不及格 2. 798E-3 1 , -0. 00173 8. 076 0. 733 0. 9263 不及格 2. 798E-3 I 0. 00096 8- 108 0.733 0.9283 不及格 2. 779E-3 W -0. 00173 8. 083 0. 733 0. 9263 不及格 2. 808E-3 IV, -0. 00173 8. 083 0- 733 0,9263 不及格 2- 798E-3 实际问题中的时间数据序列，由于各种 原因，并不都具有很好的指数规律或单调性， 汄而直接应用 1的方法建立 GM(1， 1)预测 模型，并不都有较高的拟合精度。所以要讨论 多种
18、建模方法，改进现有方法的基础上，探讨 多种数值处理方法，从中选择与现实问题拟 提出了用微分方程数值解法估计 GM(l.l) 预测模型中的参数心 6的方法，建立灰微分 方程的时间响应表达式 GM(1， 1)预测模型， 可以达到同样程度的拟合精度。对有些数列 . 拟合精度有所改善，而且其滚动模型的拟合 精度改善较明显。综合评价数据模拟结果，我 合较好的 模型是很有必要的，这也是应用数 们认为文中提出的方法是在 GM(1， 1)建模 学基础理论研究的重要内容之一。因此文章 （ 下转第 127页 第 2期 王建国等 :黑龙江农田养分平衡和养分水平的动态变化 127 地区的定位研究证实了这一点。这种变化
19、趋 势今后有继续下去可能，我们应该从两个方 面评价此种趋向。一方面，扩大贫磷土壤的有 效磷库和保护丰磷土壤的有效磷稳定在一定 的水平上，保证土壤在供磷能力方面不仅具 有更高的稳定性和持续性，而且当农田环境 处于某种逆境状态时，作物也具有较强的抗 逆能力，从而保持较稳定的产量；另一方面， 当土壤有效磷含量提高到某一水平时，施用 磷肥不再增产，继续提高到某种程度将会对 水坏境构成危害。因此，如何建立在目前这种 趋向下的施磷制度，这是摆在我们面前的重 大课题之一。 4.4农田钾素平衡一直是大比例亏缺的，近 几年来亏缺程度有所缓解。与氮磷两种元素 比较 ,黑土农田土壤全钾含量丰富，钾素平衡 允许有 1
20、00%的赤字。但是，近年来随着作物 单产的提高，钾肥对某些作物某些年份亦表 I 4 4*a 1 1 4 r %* | I * $ 4 1 4 1 4 1 * I I * 4 1 * |i I * I * V ,.* ,.* .* .* .* *. ,.* *.* ,.* * *.* *. (.上接第 123页） 方法中可以考虑的一类新方法。对于有些数 列的GM(1， 1)建模，考虑累加生成 6和这里 提出的建模方法尤其重要。应该指出，不同建 模方法所得的预测模型，其拟合精度的好坏， 在很大程度上与其时间数据序列的结构有 关，在应用中应重视数据的整理、筛选和处理 的方法。 参 考文献 现出增产作
21、用，其原因是土壤中缓效性钾朝 速效性钾方向转化的速度和数量不能满足作 物对钾的需求。但是，从经济效益角度讲，除 特殊作物（例如烟草），黑土农田一般不需要 施用化学钾肥。我们提倡一方面提高黑土农 业生态系统钾素的再循环率；另一方面通过 耕作等措施，促进土壤中缓效性钾向速效性 钾的转化速度和数量。 参考文献 1王建国等 松燉平原典型黑土农田养分循环平衡特征 及其调控对策 .地理科学进展 .1998,Vol. 17.增刊 122 124页 2鲁如坤等 江西、浙江红壤区养分平衡现状和养分水平 动态变化 地理科学进展， 1998, Vol. 1. 17.增刊 118 页 117页。 3鲁如坤等 我国典盤
22、地区农业生态系统养分循环和平 衡研究 .土壤通报， Vdl, 27. No. 5,193页 (责任编辑：吕翠柳 ） 1985,18 91 2 王义闹 .GM(1,1)的直接建祺方法及性 .系统工程 理论与实践， 1988， 1 3 何满喜 . 对 振 动 数 列 建 立 预 测 模 型 的 方 法 - 内蒙师大学报， 1995,4， 19 24 4陈俊珍 .关于灰色系统理论中的累加生成 .系统工程 理论 与实践， 1989. 5， 10 15 5易大义，蒋叔豪，李有法 .数值方法 .浙江科技出版社 1984 6刘思峰，郭天榜 .灰色系统理沦及其应用 .河南大学出 版社，1991,2 邓 聚龙 .灰 色系统 C社会、经济 ） .国防工业出版社， (责任编辑：吕翠柳 ）