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1、小学数学解题研究小学数学解题研究 高等师范院校数学教材教学资源包高等师范院校数学教材教学资源包小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究容斥问题容斥问题课题解析核心提示典型例题教学策略小学数学解题研究小学数学解题研究 【课题解析】 容斥原理定义 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。在并集的讨论中，已经知道，求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： |AB|=|A|+|B|-|AB|我们称这一公式为包含与排除原理，简
2、称容斥原理。小学数学解题研究小学数学解题研究 【课题解析】 容斥原理计算步骤 第一步 分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步 从上面的和中减去交集的元素个数，即减去|AB|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 两量重叠问题（例1、例2） 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABAB(其中符号“”
3、读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 两量重叠问题（例1、例2） 图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，即阴影面积 1先包含AB 重叠部分AB计算了2次，多加了1次；2再排除ABAB 把多加了1次的重叠部分AB减去小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 两量重叠问题（例1、例2） 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算两个集合的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思
4、是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是 “排除”了重复计算的元素个数) 小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 三量重叠问题（例3） A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 三量重叠问题（例3） 图中小圆表示的元素的个数，中圆表示的元素的个数，大圆表示的元素的个数1先包含：ABC
5、重叠部分AB、BC、AC重叠了2次，多加了1次2再排除：ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABCABBCAC 计算时都被减掉了3.再包含：ABCABBCACABC小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例1：六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车 又会游泳的4人,问两样都不会的有（ ）人.会游泳会奇车全班解析：所求人数=全班人数-(会骑车人数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人数) =46-(17+14-4)=19(人)小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研
6、究【举一反三】1.实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组 的有29人，有12人两个小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴 趣小组？解析：所求人数=语文兴趣小组人数+数学小组人数-两个小组都参加的人数 =28+29-12=45（人）解：28+29-12=45（人）答：这个班有45人参加了语文或数学兴趣小组。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画， 问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？解析：只学钢琴的人数=学钢琴的人数-既学钢琴又学画画的人数=58-37=21（人） 只学画画的人数=学画画的
7、人数-既学钢琴又学画画的人数=43-37=6（人）解：58-37=21（人） 43-37=6（人）答：只学钢琴的21人，只学画画的6人。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完 数学作业的有20人，语文数学都没写完的有人 问语文数学都写完的有多少人？解析：（1）语文数学都写完的人数=写完语文作业的人数+写完 数学作业的人数-全班人数=30+20-48=2（人）解：（1）30+20-48=2（人）答：语文数学都写完的有2人.小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作
8、业的有30人，写完 数学作业的有20人，语文数学都没写完的有人 只写完语文作业和数学作业的各有多少人？解析：（2）只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数 -语文数学都写完的人数=30-2=28（人） 只写完数学作业的人数=写完数学作业的人数 -语文数学都写完的人数=20-2=18（人）解：（2）30-2=28（人） 20-2=18（人）答：只写完语文作业的有28人，只写完数学作业的有18人.小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例2：求不超过20的正整数中是2的数倍或3的倍数的数共有多少个。解析：设I=1，2，3，19，20，A=I中2的倍数，B=I中3的倍数。显然，题目要求计算并集|
9、AB|的元素个数，即求|AB|。解：A=2，4，6，18，20，共有10个元素，即|A|=10，B=3，6，9，12，15，18，共有6个元素，即|B|=6。AB=I中既是2的倍数又是3的倍数 =6，12，18共有3个元素， 即|AB|=3，所以|AB|=|A|+|B|-|AB| =10+6-3=13答：所求的数共有13个。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有（ ）个.解析：110000中完全平方数有100个(因为100 =10000),完全立方数有21个(因为21 1000022 ）,完全六次方数有4个(因为4 100
10、00 5 ).23366解：1至10000中是完全平方数或完全立方数的数共有 100+21-4=117(个);从而既不是完全平方数,又不是完全立方数的数有 10000-117=9883(个).小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人； 两科中至少有一科在90以上有38人。问两科都在90分以上的有多少人？解：设A=数学成绩90分以上的学生），B=语文成绩90分以上的学生。 那么，集合AB表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知|A|=25，|B|=21，AB=38。 现在要求两科都在90分以上的学生人数，即求|
11、AB|。由容斥原理得|AB|=|A|+|B|-|AB|=25+21-38=8答：两科都在90分以上的学生有8人。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好 音乐,又爱好体育的人最少有 人,最多有 人. 音乐 爱好者 体育 爱好者解析：如图,当100人都是或者音乐爱好者,或者体育爱好者时,这两者都爱好的人数为最小值即56+75-100=31(个).当所有的音乐爱好者都是音乐爱好者时,这两者都爱好的人数最大可为56人.小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例3：某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。
12、参加围棋比赛的共有42人，参加中国象棋比赛的共有51人，参加国际象棋比赛的共有30人。同时参加围棋和中国象棋比赛的共有13人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的7人，同时参加中国象棋和国际象棋比赛的11人，其中三种棋赛都参加的3人。问参加棋类比赛的共有多少人？解法1：设A=参加围棋比赛的人，B=参加中国象棋比赛的人，C=参加国际象棋比赛的人，那么参加棋类比赛的人的集合为ABC。由题意知：|A|=42，|B|=，|C|=30，|AB|=13，|AC|=7，|BC|=11，|ABC|=3。由容斥原理得|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|=42+51+30-13-
13、7-11+3 =95（人）小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例3：某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。参加围棋比赛的共有42人，参加中国象棋比赛的共有51人，参加国际象棋比赛的共有30人。同时参加围棋和中国象棋比赛的共有13人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的7人，同时参加中国象棋和国际象棋比赛的11人，其中三种棋赛都参加的3人。问参加棋类比赛的共有多少人？ABCX方法2：设A、B、C分别表示参加围棋、中国象棋和国际象棋比赛的人的集合。如图分割成七个互不相交的区域。区域X（即ABC）表示三种棋赛都参加的数的集合。由题意应填数字3。仅参加围棋和中国象棋两项比赛的人的
14、集合的人数为13-3=10（人）。仅参加围棋和国际象棋两项比赛的人的集合的人数为7-3=4（人）。只参加围棋一项比赛的人的集合的人数为42-10-4-3=25（人）。参加棋类比赛的总人数为25+30+15+15+10+8+4=3=95总结：解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.某班学生手中分别拿有红、黄、蓝三种颜色的球。已知手中有红球的共有34人，手中有黄球的共有26人，手中有蓝球的共有18人。其中手中有红、黄、蓝三种球的有6人。而手中只有红、黄两种球的有9人，手中
15、只有黄、蓝两种球的有4人，手中只有红、蓝两球的有3人，那么这个班共有多少人？ABCX解析：设A、B、C分别表示手中有红球、黄球、蓝球的人的集合。由题意可逐一填出各区域元素的个数（如图）。解：16+7+5+9+4+3+6=50（人）答：这个班共有50人。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少？解：设A=1到200中间能被2整除的数，B=1到200中间能被3整除的数， C=1到200中间能被5整除的数。 那么，AB=1到200中间能被23整除的数， AC=1到200中间能被25整除的数， BC=1到200中间能被35整除的数
16、， ABC=1到200中间能被235整除的数。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少？解：设x表示小于等于x的最大整数，那么A=200/2=100，B=200/3=66，C=200/5=40，AB=200/6=33，AC=200/10=20，BC=200/15=13，ABC=200/30=6。 根据容斥原理，1到200的自然数中至少能被2，3，5中一个数整除的数共有 |ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB| =|AC|-|BC|+|ABC| =100+66+40-33-20-13+6=146（个）所以1到200的自然
17、数中不能被2，3，5中任何一个数整除的数共有200-146=54（个）小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学目标（1）了解容斥原理二两重叠和三两重叠的内容.（2）掌握容斥原理在组合计数中的应用.小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学策略 在讲述容斥原理时可以强调学生要从公式入手，学会并理解公式的由来，引导学生解决问题时从画图入手，培养直观理解，利用数形结合，构造数学模型，从模型中发现问题、找到问题、解决问题，从而培养学生的解题思路。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议（1）明确本节课的教养和教育方面. 教养方面：首先是了解“容斥原理”问题，感受数
18、学问题的趣味性。然后是尝试用不同的方法解决“容斥原理”问题，体会数学中最基本的思想。之后能准确地解决与“容斥原理”有关的实际问题，体会生活中有数学。最后感受成功的喜悦。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议（1）明确本节课的教养和教育方面. 教育方面：首先培养学生积极探索解决问题的良好习惯。然后让学生通过生活中容易理解的题材初步体会集合这种思想；激发学生对数学知识的努力探究。之后通过探索“容斥原理”问题，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。最后培养学生的逻辑推理能力、分析问题能力、解决问题能力。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教
19、学建议（2）教材分析 从教学内容、学情、教学目标、教学重难点等方面进行全面分析。 小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议（3）设计教学方案 在设计教学时，要深入钻研教材，发掘有助于、有利于学生学习而且贴近学生生活实际的教学资源，引导学生主动去学、主动去参与学习活动的全过程；学会与他人协作，学会发现问题、提出问题，探索解决问题的策略。传统的教学模式还是比较侧重怎样组织去教，在组织学生去学习而下的工夫还比较少，缺乏了从学生角度去看问题、分析问题。只有组织好学生主动去学，去探究新问题。教师参与其中的诱导，才能真正体现主导和主体的位置。学生在直接的情景教学当中，有所参与、有所发现，就会有问题的发现，激活学生思维的发展。