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1、小学数学解题研究小学数学解题研究 高等师范院校数学教材教学资源包高等师范院校数学教材教学资源包小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究方阵问题方阵问题课题解析核心提示典型例题教学策略小学数学解题研究小学数学解题研究 【课题解析】 方阵的定义方阵的定义 同学们要参加运动会入场式同学们要参加运动会入场式, ,要进行队列操练要进行队列操练, ,解放军排着整齐的方队解放军排着整齐的方队接受检阅等接受检阅等, ,无论是训练或接受检阅无论是训练或接受检阅, ,都要按一定的规则排成一定的队形都要按一定的规则排成一定的队形, ,于是就产生了这一类的数学问题。于是就产生了这一类的数学问题
2、。在实际生活中，例如：学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。在实际生活中，例如：学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。做方阵（亦叫乘方问题）。小学数学解题研究小学数学解题研究 【课题解析】 方阵问题分类方阵问题分类 方阵问题从不同的角度可分为实心方阵图方阵问题从不同的角度可分为实心方阵图1 1（例（例1 1）、空心方阵图）、空心方阵图2 2（例（例2 2）、正方形方阵图）、正方形方阵图1 1、2 2（例（例3)3)、三角
3、形方阵图、三角形方阵图3 3（例（例4 4）等。）等。 图1图2图3小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 核心公式核心公式1 1方阵总人数方阵总人数= =最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2 2方阵最外层每边人数方阵最外层每边人数= =（方阵最外层总人数（方阵最外层总人数4 4）1 13 3方阵外一层总人数比内一层总人数多方阵外一层总人数比内一层总人数多2 24 4去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数2 21 15.5.空心方阵的总人空心方阵的总人( (或物或物) )数数= =（最外层每边人（最外层每边人(
4、 (或物或物) )数空心方阵的层数）数空心方阵的层数）空心方阵的层数空心方阵的层数4 4小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例例1 1：学校学生排成一个方阵，最外层的人数是学校学生排成一个方阵，最外层的人数是6060人，人， 问这个方阵共有学生多少人问这个方阵共有学生多少人? ?解析：解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数每边人数= =四周人数四周人数4+14+1，可以求出方阵最外层每边人数，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。那么整个方阵队列
5、的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数：604+1=16（人）整个方阵共有学生人数：1616=256（人）。答：这个方阵共有学生 256 人。小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.1.某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为6060人人. .问方阵外层问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？解析：解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人根据四周人数和每边人数的关系可以知：每
6、边人数数= =四周人数四周人数4+14+1，可以求出方阵最外层每边人数，那，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。么整个方阵队列的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数：解：方阵最外层每边人数：60604 41=161=16（人）（人）整个方阵共有学生人数：整个方阵共有学生人数：161616=25616=256（人）（人）答：方阵最外层每边有答：方阵最外层每边有1616人，此方阵中共有人，此方阵中共有256256人。人。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.2.三年级一班参加运动会入场式三年级一班参加运动会入场式, ,排成一个方阵排成一个方阵, ,最外层一
7、周的人数为最外层一周的人数为2020人人, ,问方阵最外层每边的人数是多少问方阵最外层每边的人数是多少? ?这个方阵共有多少人这个方阵共有多少人? ?解析：解析：根据四周人数与每边人数的关系可知根据四周人数与每边人数的关系可知: :每边人数每边人数= =四周人数四周人数4+1,4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数可以求出这个方阵最外层每边的人数, ,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。那么这个方阵队列的总人数就可以求了。解解:(1):(1)方阵最外层每边的人数方阵最外层每边的人数:20:204+1=5+1=6(4+1=5+1=6(人人) ) (2)(2)整个方阵共有学生人数整个方阵共有学生
8、人数:6:66=36(6=36(人人) )答答: :方阵最外层每边的人数是方阵最外层每边的人数是6 6人人, ,这个方阵共有这个方阵共有3636人。人。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.3.小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100100枚，最外边的一层枚，最外边的一层共多少枚棋子？共多少枚棋子？解析：解析：五这要用到方阵的公式逆运算，五这要用到方阵的公式逆运算，100100必然是一个数的平方数必然是一个数的平方数因为因为101010=10010=100（人），并且是实心的方阵，所以最外层有（人），并且是实心的方阵，所以最外层有1010人。
9、人。解：100=10（人）答：最外边的一层共10枚棋子。小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例例2 2：解放军战士排成一个每边解放军战士排成一个每边1212人的中空方阵，共四层，求总人数？人的中空方阵，共四层，求总人数？解法一：解法一：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。（1 1）中实方阵总人数：）中实方阵总人数：121212=14412=144（人）（人）（2 2）第四层每边人数：）第四层每边人数：12-212-2（4-14-1）=6=6（人）（人）（3 3）空心方阵人数：（）空心方阵人数：（6-26-2）（
10、）（6-26-2）=16=16（人）（人）（4 4）中空方阵人数：）中空方阵人数：144-16=128144-16=128（人）（人）答：总人数是答：总人数是128128人。人。小结：中空方阵总人数小结：中空方阵总人数= =外边人数外边人数外边人数外边人数- -（内边人数（内边人数-2-2）（内边人数（内边人数-2-2）小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例例2 2：解放军战士排成一个每边解放军战士排成一个每边1212人的中空方阵，共四层，求总人数？人的中空方阵，共四层，求总人数？解法二：解法二：把中空方阵分成四个相等的长方形。把中空方阵分成四个相等的长方形。（1 1）每个长方形的长）
11、每个长方形的长= =外边人数外边人数- -层数层数12-4=812-4=8（人）（人）（2 2）每个长方形的宽是层数：）每个长方形的宽是层数：4 4人人（3 3）总人数：）总人数：8 84 44=1284=128（人）（人）答：总人数是答：总人数是128128人。人。小结：中空方阵总人数小结：中空方阵总人数= =（每边人数（每边人数- -层数）层数）层数层数4 4小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.1.晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子1414个，个，晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？晶晶摆这个方阵共用围棋子多
12、少个？解析：解析：数方阵每向里面一层，每边的个数就减少数方阵每向里面一层，每边的个数就减少2 2个个. .知道最外面一层知道最外面一层每边放每边放1414个，就可以求第二层及第三层每边个数个，就可以求第二层及第三层每边个数. .知道各层每边的个数，知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。就可以求出各层总数。解法解法1 1：最外边一层棋子个数：（最外边一层棋子个数：（14-114-1）4=524=52（个）（个）第二层棋子个数：（第二层棋子个数：（14-2-114-2-1）4=444=44（个）（个）第三层棋子个数：（第三层棋子个数：（14-214-22-12-1）4=364=36（个）（个）.
13、 .摆这个方阵共用棋子：摆这个方阵共用棋子：52+4452+443636132132（个）（个）小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.1.晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子1414个，个，晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解法解法2 2：还可以这样想：还可以这样想：中空方阵总个数中空方阵总个数= =（每边个数一层数）层数（每边个数一层数）层数4 4进行计算。进行计算。（14-314-3）3 34=1324=132（个）（个）答：摆这个方阵共需答：摆这个方阵共需132132个围棋子。
14、个围棋子。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵明明用围棋子摆成一个三层空心方阵, ,如果最外层每边有围棋子如果最外层每边有围棋子1515个个, ,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子? ?摆这个三层空心方阵共用了摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子多少个棋子? ?解析：解析：(1)(1)方阵每向里面一层方阵每向里面一层, ,每边的个数就减少每边的个数就减少2 2个个, ,知道最外面一层知道最外面一层, ,每边放每边放1515个个, ,可以求出最里层每边的个数可以求出最里层每边的个数, ,就可以求出最里层一周放棋子
15、的总数。就可以求出最里层一周放棋子的总数。 (2)(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数, ,再乘以层数再乘以层数, ,再乘以再乘以4,4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。计算出这个空心方阵共用棋子多少个。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵明明用围棋子摆成一个三层空心方阵, ,如果最外层每边有围棋子如果最外层每边有围棋子1515个个, ,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子? ?摆这个三层空心方阵共用了摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子多少个棋
16、子? ?解解:(1):(1)最里层一周棋子的个数是最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1):(15-2-2-1)4=40(4=40(个个) ) (2)(2)这个空心方阵共用的棋子数是这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3):(15-3)3 34=144(4=144(个个) )答答: :这个方阵最里层一周有这个方阵最里层一周有4040个棋子个棋子; ;摆这个空心方阵共用摆这个空心方阵共用144144个棋子。个棋子。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.3.有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是5252人，最内层人数人，最内层人数是是28
17、28人，这队学生共多少人？人，这队学生共多少人？解析：解析：数中空方阵外层每边人数等于最外层人数数中空方阵外层每边人数等于最外层人数4 41 1，中空方阵内，中空方阵内层每边人数等于最内层人数层每边人数等于最内层人数4 41 1，利用平方做差可得。，利用平方做差可得。解解: :中空方阵外层每边人数中空方阵外层每边人数52524 41 11414（人）（人） 中空方阵内层每边人数中空方阵内层每边人数28284 41 16 6（人）（人） 中空方阵的总人数中空方阵的总人数141414146 66 6160160（人）（人） 答：这队学生共答：这队学生共160160人。人。小学数学解题研究小学数学解
18、题研究【典型例题】例例3.3. 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少3333人。人。问参加团体操表演的运动员有多少人？问参加团体操表演的运动员有多少人？解析：解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5 5，去一行、一列，去一行、一列则一共要去则一共要去9 9人，因而我们
19、可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数人数去掉的每边人数2 21 1小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例例3.3. 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少3333人。人。问参加团体操表演的运动员有多少人？问参加团体操表演的运动员有多少人？解：方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数解：方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列
20、的人数是是3333，则去掉的一行（或一列），则去掉的一行（或一列）人数（人数（33331 1）2 21717（人）（人）方阵的总人数为最外层每边人数的平方，方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为所以总人数为17171717289289（人）（人）答：参加团体操表演的运动员有答：参加团体操表演的运动员有289289人。人。 小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.1.一个正方形的队列横竖各减少一排共一个正方形的队列横竖各减少一排共2727人，求这个正方形队列原来人，求这个正方形队列原来有多少人？有多少人？解析：解析：去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数去掉一行、一列的总人数去掉
21、的每边人数2 21 1解解: :每边的人数是：（每边的人数是：（27271 1）2 21414（人）（人）原人数是：原人数是：14141414196196（人）（人）答：这个正方形队列原来有答：这个正方形队列原来有196196人。人。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.2.一堆棋子，排列成正方形，多余一堆棋子，排列成正方形，多余4 4棋子，若正方形纵横两个方向各棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少增加一层，则缺少9 9只棋子，问有棋子多少个？只棋子，问有棋子多少个？解析：解析：去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数2 21 1解解: :纵横
22、方向各增加一层所需棋子数纵横方向各增加一层所需棋子数4 49 91313（只）（只） 纵横增加一层后正方形每边棋子数（纵横增加一层后正方形每边棋子数（13131 1）2 27 7（只）（只） 原有棋子数原有棋子数7 77 79 94040（只）（只）答：棋子有答：棋子有4040只。只。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.3.学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插每边插7 7面。一共要准备多少面旗子？面。一共要准备多少面旗子？解析：解析：依据求外层个数的公式：（边数依据求外层个数的公式：（边数-1
23、-1）4 4解解: :（7-17-1）4 42424（面）（面） 答：一共要准备答：一共要准备2424面旗子。面旗子。小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例例4.4. 一个街心花园如右图所示一个街心花园如右图所示. .它由四个大小相等的等边三角形组成它由四个大小相等的等边三角形组成. .已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9 9棵花棵花. .问大问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？解析：解析：从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的从已知条件中可以知
24、道大三角形的边长是小三角形边长的2 2倍倍. .又知道每个小三角形的边上均匀栽又知道每个小三角形的边上均匀栽9 9株，则大三角形边上栽的株，则大三角形边上栽的棵数为：棵数为：9 92 21 11717（棵）。（棵）。又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：（所以大三角形三条边上共栽花：（17171 1）3 34848（棵）。（棵）。小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例例4.4. 一个街心花园如右图所示一个街心花园如右图所示. .它由四个大小相等的等边三角形组成它由四个大小相等的
25、等边三角形组成. .已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9 9棵花棵花. .问大问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？解析：解析：再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上. .再计算再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为：栽花棵数为：9 92 27 7（棵）（棵）小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例例4.4. 一
26、个街心花园如右图所示一个街心花园如右图所示. .它由四个大小相等的等边三角形组成它由四个大小相等的等边三角形组成. .已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9 9棵花棵花. .问大问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？解：大三角形三条边上共栽花：（解：大三角形三条边上共栽花：（9 92 21 11 1）3 34848（棵）（棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：（中间画斜线小三角形三条边上栽花：（9 92 2）3 32121（棵）（棵）整个花坛共栽花：整个花坛共栽花：484
27、821216969（棵）（棵）答：大三角形边上共栽花答：大三角形边上共栽花4848棵，整个花坛共栽花棵，整个花坛共栽花6969棵。棵。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.1.玲玲家的花园中玲玲家的花园中, ,有一个如下图那样有一个如下图那样, ,由四个大小相同的小等边三角由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛形组成的一个大三角形花坛, ,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花, ,已知每个小三角形每边上种鸡冠花已知每个小三角形每边上种鸡冠花5 5棵棵, ,问大三角形的一周有鸡冠花问大三角形的一周有鸡冠花多少棵多少棵? ?玲玲一共种鸡冠花多少棵玲
28、玲一共种鸡冠花多少棵? ?解析：解析：(1)(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的组成的, ,而在大三角形一条边的中间那棵花而在大三角形一条边的中间那棵花, ,是两条小三角形是两条小三角形的边所共用的的边所共用的, ,所以如果小三角形每边种花所以如果小三角形每边种花5 5棵棵, ,那么大三角形那么大三角形每边上种花的棵数就是每边上种花的棵数就是5 52-1=92-1=9棵了棵了, ,又由于大三角形三个顶又由于大三角形三个顶点上的点上的3 3棵花棵花, ,都是大三角形的两条边所共用的都是大三角形的两条边所共用的, ,所以大三所以大三小
29、学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.1.玲玲家的花园中玲玲家的花园中, ,有一个如下图那样有一个如下图那样, ,由四个大小相同的小等边三角由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛形组成的一个大三角形花坛, ,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花, ,已知每个小三角形每边上种鸡冠花已知每个小三角形每边上种鸡冠花5 5棵棵, ,问大三角形的一周有鸡冠花问大三角形的一周有鸡冠花多少棵多少棵? ?玲玲一共种鸡冠花多少棵玲玲一共种鸡冠花多少棵? ?解析：解析：数角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数数角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数的和减
30、去三个顶点上重复计算的的和减去三个顶点上重复计算的3 3棵花棵花, ,即即:9:93-3=24,3-3=24,就是大就是大三角形一周种花的棵数。三角形一周种花的棵数。(2)(2)三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和, ,等于里边小三角形一周上种花的棵等于里边小三角形一周上种花的棵数数, ,加上大三角形一周种花的棵数加上大三角形一周种花的棵数, ,再减去重复计算的再减去重复计算的3 3棵花棵花( (因为里边小三角因为里边小三角形的三个顶点上的三棵花形的三个顶点上的三棵花, ,也分别是外边大三角形每条边上的一棵花也分别是外边大三角形每条边上的一棵花) )。小学数学解题研
31、究小学数学解题研究【举一反三】1.1.玲玲家的花园中玲玲家的花园中, ,有一个如下图那样有一个如下图那样, ,由四个大小相同的小等边三角由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛形组成的一个大三角形花坛, ,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花, ,已知每个小三角形每边上种鸡冠花已知每个小三角形每边上种鸡冠花5 5棵棵, ,问大三角形的一周有鸡冠花问大三角形的一周有鸡冠花多少棵多少棵? ?玲玲一共种鸡冠花多少棵玲玲一共种鸡冠花多少棵? ?解：解：(1)(1)大三角形一周上种花的棵数是大三角形一周上种花的棵数是:(5:(52-1)2-1)3-3=24(3-3=
32、24(棵棵) )(2)(2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是小三角形一周种鸡冠花的棵数是:(5-1):(5-1)3=12(3=12(棵棵) )(3)(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是玲玲一共种鸡冠花的棵数是:24+12-3=33(:24+12-3=33(棵棵) )答答: :大三角形一周种鸡冠花大三角形一周种鸡冠花2424棵棵; ;玲玲一共种鸡冠花玲玲一共种鸡冠花3333棵。棵。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.2.同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第小明都是第5 5个，这个方阵共有多少人？个，这个方阵共
33、有多少人？解析：解析：如图，实心圆表示小明的位置，可以知道，如图，实心圆表示小明的位置，可以知道，这个队列每行都是这个队列每行都是9 9人。人。解解: :每行每列数：每行每列数：5 52 21 19 9（人）（人）共有：共有：9 99 98181（人）（人）答：这个方阵共有答：这个方阵共有8181人。人。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.3.小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200200枚棋子，枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？请问：最外边一层每边有多少枚棋子？解法一：解法一：利用利用“相邻两层之间，每层的总数相差相邻两层
34、之间，每层的总数相差8”8”的特点，的特点， 可知最外层共有棋子数：可知最外层共有棋子数： （200+8+8200+8+82+82+83+83+84 4）5 55656（个）（个） 最外层每边的棋子数：最外层每边的棋子数：56564+14+11515（个）（个）小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.3.小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200200枚棋子，枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？请问：最外边一层每边有多少枚棋子？解法二：解法二：把棋子分成相等的四部分。把棋子分成相等的四部分。 每一部分的棋子数：每一部分的棋子数：20
35、02004 45050（个）（个） 每一部分每排的棋子数：每一部分每排的棋子数：50505 51010（个）（个） 最外层每边的棋子数：最外层每边的棋子数：10105 51515（个）（个） 综合列式为：综合列式为：2002004 45 55 51515（个）（个） 答：最外边一层每边有答：最外边一层每边有1515枚棋子。枚棋子。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学目标（1）理解方阵这类题目的解题步骤，掌握方阵问题的解题思路.（2）初步了解方阵的变式题，如：实心方阵、空心方阵、正方形方阵、三角形方阵之间的联系和区别小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学策略 在讲述
36、方阵问题时可以强调学生要从画图入手，首先培养直观理解，利用数形结合，构造数学模型，从模型中发现不同、找到不同、解决问题，培养学生学习新问题的模式。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议（1）鼓励学生解决问题策略多样化的同时，又要引导学生优化方法。可以从中实方阵为引子，由易到难过渡。放手让学生自主探究一层中空方阵（一个方阵最外层每边站 3 人，最外层一共站了多少人？）的算式，得出的方法有六种：小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议方法一：4348(人)每边 3 个圆点，4 边就有 34=20，每个角上的都算重复一次，所以减去 4方法二： (51)28(人)每边
37、都只算一个端点， 这样每边都是 3 个圆点。 （取头不取尾做到不重复不遗漏）也可引导每边的圆点等于每两个圆点的间隔数。引出：（每边的圆点数-1）4=一圈的圆点数方法三：32228(人)两边算 5 另两对边算 3小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议 方法四：14+4=8（人）每边两端都不算4 再加上角落 4 个方法五：(31)48(人) 把这个中空方阵看作一个封闭图形，封闭图形的人数等于间隔数。每边（3-1）个间隔，四周共 8 个间隔，即最外层有 8 人。第五种方法和第一种方法便于让学生发现规律，抽象算法，可以设计一个按每边的数量、图形边数、四周的数量为列的表格，学生一目了然
38、地观察到数据有规律的变化，然后再在比较的过程中，优化解题方法，并将最后得到的优化方法抽象化。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议（2）适当延伸教学内容，激发学生挑战难度。问题的延伸与拓展的过程其实是一种施压的过程，有压力才有弹力，往往可以磨练一个学生的意志品质。提升问题难度可以激发一部分学生的求知欲，这是一种自我激励的良好情感态度。因此适当拓展到二层、三层、四层（例 2）等多层中空方阵，初步理解并渗透一层中空方阵与多层中空方阵的联系与区别。又延伸拓展。教材中讲解的正方形方阵，如果变成不同正多边形的空心队形，这个空心队形一共站了多少人？学生在克服困难的过程中体验成功的愉悦感， 不仅提高解决问题的数学思维能力，而且也帮助他们树立爱思考，解决困难获得成功的正确价值观。